初中数学九年级一轮复习整式与因式分解知识清单

初中数学九年级一轮复习整式与因式分解知识清单一、整式的核心概念与基础素养（一）代数式：从现实抽象到数学符号【基础】【高频考点】1、代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式。其核心在于它没有等号或不等号。2、列代数式：这是将实际问题数学化的第一步，也是建模思想的基础。关键在于准确理解问题中的数量关系，如“和、差、积、倍、分”以及“大、小、多、少”等词语的数学含义。3、代数式的书写规范：在云南中考的填空题或解答题中，书写不规范往往成为隐形失分点。（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常简写作“·”或省略不写，但数字与数字相乘时，“×”号不能省略。（2）数字与字母相乘时，数字因数要写在字母因数的前面。当这个数字因数是带分数时，必须将其化为假分数。例如，写作。（3）除法运算一般要写成分数的形式。例如，应写作。（4）如果代数式是“和”或“差”的形式，后面有单位时，必须将整个代数式用括号括起来。例如，某商品原价a元，降价10元后的售价为元，这里括号必不可少。4、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。求值的过程分为“代入”和“计算”两步，计算时要特别注意运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的）。（二）整式的分类与相关概念【基础】1、单项式：（1）定义：由数字或字母的乘积组成的式子，单独的一个数字或一个字母也是单项式。例如：，，，1。（2）系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号）叫做这个单项式的系数。需要特别注意的是，是一个无理数，是一个常数，因此在判断单项式系数时，应视为系数的一部分。例如，的系数是，次数是2。（3）次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。计算次数时，要特别注意区分字母指数与数字指数的区别。例如，的次数是，与圆周率的指数无关。2、多项式：（1）定义：几个单项式的和叫做多项式。（2）项：在多项式中，每一个单项式（包括它前面的符号）叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。（3）次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式中，次数最高的项是，次数为4，因此整个多项式的次数是4，它是一个四次三项式。（4）排列：为了便于观察和计算，我们常将一个多项式按某一字母的指数进行升幂或降幂排列。3、整式：单项式与多项式统称为整式。整式的根本特征是分母中不含字母。4、同类项：（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。（2）判断标准：两“同”——字母同，相同字母的指数同。与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关。例如，与是同类项，而与不是。（三）易错点辨析【难点】（1）系数与次数的混淆：特别是含有负号和字母时，容易出错。如单项式的系数是，次数是3，而不是4。（2）多项式的次数与单项式次数的混淆：多项式的次数是“项”中次数的最大值，而不是各字母指数之和。（3）同类项判断中的误区：只要字母及指数相同即同类项，与字母的顺序无关，如与是同类项。二、整式的运算：代数变形的根基（一）整式的加减【基础】【高频考点】1、合并同类项：（1）法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变（即一相加，两不变）。（2）步骤：一找（找出多项式中的同类项，通常用不同的标记标出）；二移（利用加法交换律和结合律，将同类项集中在一起）；三合（根据法则进行合并）。2、去括号法则：（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变。（2）括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都要改变（即“减变加不变”）。（3）去括号法则体现了乘法分配律的应用，即和。3、整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。整式加减的结果在理论上应是最简形式，即不再含有同类项。（二）幂的运算：整式乘除的基础【重要】【高频考点】幂的运算法则（其中，，，都是整数，且）：（1）同底数幂相乘：（底数不变，指数相加）（2）同底数幂相除：（，底数不变，指数相减）（3）幂的乘方：（底数不变，指数相乘）（4）积的乘方：（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）（5）零指数幂：（，任何不等于0的数的0次幂都等于1）（6）负整数指数幂：（，，即一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数）注意：这些法则可以逆用，在解决某些技巧性问题（如比较大小、求值）时非常有效。例如，若，则。（三）整式的乘除运算【重要】【高频考点】1、乘法运算：（1）单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。（2）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即。（3）多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即。2、除法运算：（1）单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即。（四）乘法公式：简化运算的工具【重要】【必考点】1、平方差公式：（1）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。（2）结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。（3）常见变形：位置变化、符号变化、系数变化、指数变化等。2、完全平方公式：（1）文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。（2）结构特征：左边是一个二项式的平方；右边是一个二次三项式，记为：首平方，尾平方，积的2倍放中央。（3）重要拓展：，，这三个公式常作为完全平方公式的变形考，是云南中考化简求值题中“整体代入”思想的重要素材。3、乘法公式的几何背景：近年来云南中考越来越注重对公式几何意义的考查，要能通过图形的面积关系来解释公式，体现数形结合思想。例如，图甲可以解释平方差公式，图乙可以解释完全平方公式。（五）整式化简求值的基本步骤与技巧【难点】【高频考点】1、步骤：一化（利用整式运算的法则和公式化简代数式），二代（把已知字母的值代入化简后的式子），三算（按照运算顺序计算出结果）。2、技巧：（1）直接代入法：当字母的值简单明确时，直接代入计算。（2）整体代入法：当已知条件不是一个字母的具体值，而是一个代数式的值时，需要将所求代数式进行变形，使其成为含有这个已知代数式的形式，然后整体代入求值。这是云南中考解答题中的常用考查方式。三、因式分解：代数变形的升华（一）因式分解的定义与本质【基础】1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、本质：因式分解是整式乘法的逆变形。整式乘法是把几个整式的乘积展开成多项式，而因式分解是把一个多项式写成几个整式的乘积。它们是一个互逆的恒等变形过程。3、判断标准：（1）结果必须是乘积的形式；（2）每个因式必须是整式；（3）各因式要分解到不能再分解为止（即在指定的数集内，通常是有理数范围内）。（二）因式分解的常用方法【重要】【必考点】1、提公因式法：（1）公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；指数取相同字母的最低次数。（2）公式：（3）注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“”号，使括号内第一项的系数为正数，但要注意括号内各项都要变号。2、公式法：（1）平方差公式：特征：二项式；两项符号相反；两项都能写成平方的形式（即次数都是偶数）。（2）完全平方公式：特征：三项式；有两项是平方项且符号相同；第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（或2倍）。3、十字相乘法（拓展）：对于二次三项式（，），若能找到两个数、，使得，且，则原式可分解为。特别地，当（即二次项系数为1）时，若找到两个数、使得且，则。（三）因式分解的一般步骤（口诀）【难点】一提（提公因式）：看各项是否有公因式，若有，则先提取公因式。二套（套用公式）：看项数。两项考虑平方差公式；三项考虑完全平方公式或十字相乘法。三检查：检查每个因式是否还能继续分解（是否彻底），检查结果是否为积的形式。（四）因式分解的应用【难点】【热点】1、简便计算：利用因式分解可以简化复杂的数字运算，如计算时，可变形为，利用平方差公式。2、代数式求值：通过因式分解将条件与结论联系起来，实现降幂或整体代入。例如，已知，，求的值，可先分解为，再代入求值。3、整除问题：判断一个代数式是否能被某个数整除，可以通过因式分解将其转化为几个整式的积，从而进行判断。4、几何问题：将几何图形的面积或边长关系转化为因式分解问题来解决。四、考点、考向与解题策略（云南中考视角）（一）考点分布与考查形式1、考点一：整式的有关概念（单项式的系数、次数；多项式的项数、次数；同类项）。考查形式：通常以选择题或填空题形式出现，分值3分左右。难度较低。2、考点二：幂的运算。考查形式：通常以选择题形式出现，考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等运算法则的正确应用。难度较低，但容易混淆出错。3、考点三：整式的乘除与乘法公式。考查形式：选择题中考查公式的几何背景或简单计算；解答题中常以化简求值题（通常是第15或16题）的形式出现，分值57分。需要综合运用整式乘法、乘法公式和合并同类项，最后代入求值。难度中等。4、考点四：因式分解。考查形式：选择题中考查因式分解的概念或判断分解是否正确；填空题中直接考查因式分解（提公因式或套用公式）。解答题中，因式分解作为工具，常渗透在分式的化简、一元二次方程的解法中。难度中等。（二）解题步骤与易错点剖析1、整式化简求值的解题步骤：（1）观察结构：先观察式子结构，看是否能用乘法公式简化运算。（2）确定顺序：按照先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的顺序进行运算。（3）准确计算：计算过程中要特别注意符号的处理，尤其是去括号和完全平方公式展开时。（4）代入求值：代入时，若字母值是负数或分数，要加上括号，避免符号出错。若运用整体代入，要找准已知代数式与所求代数式的关系。2、因式分解的解题步骤：（1）看项数：确定方法方向。（2）提公因式：优先考虑，不能遗漏。（3）套公式：根据项数选择公式，注意完全平方公式中间项的符号。（4）检查分解是否彻底：看每个因式还能不能再分解。3、常见易错点：（1）幂的运算中，法则混淆。如与的误用。（2）去括号时，符号处理错误。特别是括号前是“”号时，去掉括号和“”号后，括号内每一项的符号都要改变。（3）乘法公式掌握不牢。如完全平方公式漏掉“2倍乘积”这一项，或把平方差公式与完全平方公式混淆。（4）因式分解不彻底。分解到还能继续分解的步骤就停止，或分到最后结果不是整式乘积形式。（5）系数为1或1时，提取或化简时忽略。（三）核心思想与拓展视野1、整体思想：在求代数式的值时，不一