2025年上海市高二（下）数学开学摸底考含答案

12025届高二下学期开学摸底考试卷（上海专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。一一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）2．为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行的角的大小为.4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为2，则点C1到平面A1B1CD的距离为.5．如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是.6．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正VABC的直观图，其中O,B,=O,C,=2，则△A,B,C,的面积8．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为.9．已知异面直线a，b所成角80°,过空间定点P与a，b成50°角的直线共有条.10．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是矩形，|AP|=|AB是BC上的点，直线PB与平面PDE所成的角是arcsin3，则BE的长为.211．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°,则该魔方的表面积是.}，若对任意正整数n集合In是闭区间，则q的取值范围是.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．设α,β是两个不同的平面，直线mα,则“对β内的任意直线l，都有m丄l”是“α丄β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．已知事件A与事件B是互斥事件，则()15．设数列{an}的前n项和为Sn，若an+an+1=n+1，且存在正整数k，使得Sk=Sk+1=90，则a1的取值集16．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心，过点P的直线l与该正方体的表面交于E、F两点，现有如下命题：①线段EF在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线l与正方体12条棱所成的夹角的，则cos2为定值.下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题3三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，在四棱锥P一ABCD中，PA丄平面ABCD，正方形ABCD的边长为2,PA=3，设E为侧棱PC的中点.(1)求正四棱锥E一ABCD的体积V；(2)求直线BE与平面PCD所成角θ的大小.(1)求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}通项公式；(2)设数列且对任意正整数n，不等式cn≤2λ一1恒成立，求实数λ的取值范围.419．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.(1)若有甲（年龄38乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.520．设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA丄平面ABCD，若PA=AB=1，BC=2.(1)求PC与平面ABCD所成角的大小（用反三角函数表示(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为·,若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在△PAB内确定一点H，使CH+EH的值最小，并求此时HB的值.621．在各项均不为零的数列{an}中，选取第k1项、第k2项、…、第km项，其中m≥3，k1<k2<...<km，若新数列ak1,ak2,...,akm为等比数列，则称新数列为{an}的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列{an}，其各项与公差d均不为零.(1)若在数列{an}中，公差d=2，n=4，且存在项数为3的“等比子列”，求数列{an}的通项公式；若an=，数列ak1,ak2,...,akn为的一个长度为n的“等比子列”，其中k1=1，公比为q.当q最小时，求kn的通项公式；比子列”.72025届高二下学期开学摸底考试卷（上海专用）数学•全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。一一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）【答案】【答案】∈【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案.【解析】A∈a，且aα,:A∈α.2．为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行【答案】60【分析】根据分层抽样的定义求解即可.【解析】由题可知，三个年级共有400+500+600=1500人，抽样比例为1=60人.则抽取的学生中，高三年级有6001=60人.3．已知直线l的一个方向向量为=(1,-1,1)，平面α的一个法向量为=(1,0,-1)，则直线l与平面α所成的角的大小为.【答案】【答案】0/0o【分析】根据题意可得丄，可知l∥平面α或l平面α,即可得结果.可知l∥平面α或l平面α,所以直线l与平面α所成的角为0.故答案为：0.84．已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为2，则点C1到【答案】【答案】2【分析】利用正方体的特征及线面垂直的判定计算即可【分析】利用正方体的特征及线面垂直的判定计算即可.【解析】【解析】如图所示，E为侧面BCC1B1的中心，CC1E平面BCC1B1，所以CD丄C1E，故答案为：故答案为：25．如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是.11【答案】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解.【解析】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率故答案为：.【答案】【答案】69【解析】由直观图可知，原三角形BC边长为4，则BC边上的高为2，所以A/O/=，1【答案】512或64【分析】根据等比数列的性质可求a10的值.8 故答案为：512或.648．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为.【答案】41【分析】根据平均数相同求出m的值，从而将甲组数据从小到大排序即求出甲组数据的中位数.【解析】因为乙组数据为：27,32,34,43,46,46，又因为甲组数据与乙组数据平均数相同，所以甲组数据为：23,31,37,45,46,46，所以甲组数据的中位数为.故答案为：41.9．已知异面直线a，b所成角80°,过空间定点P与a，b成50°角的直线共有条.【答案】【答案】3【分析】将异面直线a，b平移经过P，考虑两条直线的角平分线，夹角分别为50。和40。，通过旋转得到答案.【解析】将异面直线a，b平移经过P，得到AB和CD直线，上APC=上BPD=80o，如图所示：上APD的角平分线满足与a，b成50o角，上APC的角平分线满足与a，b成40o角，往上或者往下旋转一定角度，可以有2两条直线满足条件，综上所述：共有3条直线满足条件.故答案为：3.10．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是矩形，|AP|=|AB 是BC上的点，直线PB与平面PDE所成的角是arcsin，则BE的长为.【答案】2【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面PDE的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线PB与平面PDE所成的角是arcsin，即可求得答案.【解析】由题意知在四棱锥中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是矩形，以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),D(0,4,0)，设E(2,t,0),(0≤t≤4)，设平面PDE的一个法向量为，则设直线设直线PB与平面PDE所成的角为直线PB与平面PDE所成的角是arcsin则sinθ=，即5t2+8t36=0，解得t=2（负值舍去故BE的长为2，故答案为：211．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°,则该魔方的表面积是.【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解.【解析】【解析】如图，转动了45o后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图，由图形的对称性可知，由图形的对称性可知，△ACD为等腰直角三角形，设直角边为设直角边为AC=x，则斜边为CD=2x，}，若对任意正整数n集合In是闭区间，则q的取值范围是.【分析】当n≥2时，不妨设x≥y，则x-y∈[0,a2-a1]u[an-a2,an+1-a1]u[0,an+1-an]，结合In为闭区间可得q-2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围.,a2]，故x-y∈[a1-a2,a2-a1]，此时I1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y，若x,y∈[a1,a2]，则x-y∈[0,a2-a1]，n]，则x-y∈[an-a2,an+1-a1]，而an+1-a1>an+1-an>a2-a1，故an+1-an≥an-a2对任意n≥故q-2≥-对任意的n≥2恒成立，因q>1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．设α,β是两个不同的平面，直线mα,则“对β内的任意直线l，都有m丄l”是“α丄β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义即可判断.【解析】充分性：若对β内的任意直线l，都有m丄l，利用线面垂直的定义可知m丄β;又mα,根据面面垂直的判定定理可知α丄β,因此可知充分性成立；无法确定β内的任意直线l与m的关系，因此必要性不成立.即“对β内的任意直线l，都有m丄l”是“α丄β”的充分不必要条件.故选：A14．已知事件A与事件B是互斥事件，则()【答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【解析】因为事件A【答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，则A、B不一定是互斥事件，所以P(A∩B)不一定为0，故选项A错误；因为事件A与事件B是互斥事件，所以A∩B=⑦,则P(A∩B)=0，而P(A)P(B)不一定为0，故选项B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，AB是必然事件，所以P(AB)=1，故选项D正确.故选：D.15．设数列{an}的前n项和为Sn，若an+an+1=n+1，且存在正整数k，使得Sk=Sk+1=90，则a1的取值集【答案】B所以k=18或17，分情况讨论可得答案.242不妨令S2n=90，可得n2+n-90=0，解得n=9或n=-10（舍去所以S18=90.19-S185所以a131178故选：B.16．已知P是正方体ABCD—A1B1C1D1的中心，过点P的直线l与该正方体的表面交于E、F两点，现有如下命题：①线段EF在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线l与正方体12条棱所成的夹角的，则cos2为定值.下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】利用特例法可判断①;利用长方体的几何性质，结合两直线所成角的定义可判断②选项，从而得解.当EF为正方体ABCD—A1B1C1D1的一条体对角线， 不妨设EF与线段A1C重合，EF在正方体ABCD—A1B1C1D1各面上的投影长为·2a，当EF丄平面ABCD时，EF在面ABCD、A1B1C1D1的投影长为0，EF在面AA1B1B、BB1C1C、CC1D1D、DD1A1A的投影长为a，此时ti=4a，故不是定值，①错误；对于②,当EF与正方体的棱平行时，不妨设EF丄平面ABCD垂直，当EF不与正方体的棱平行时，过点E、F分别作正方体的棱的平行线，构成长方体EHGIQMFN，设EF与棱AA1、AB、AD所成的角分别为α1、α2、α3，由图可知，cos同理可得cosα2=，cos，由长方体的几何性质可得FM2+FN2+FG2=EF2，所以cos2+cos2+cos2此时cos2所以cos2为定值，故②正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对EF的位置进行分类讨论，结合长方体的几何性质求解.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，正方形ABCD的边长为2,PA=3，设E为侧棱PC的中点.(1)求正四棱锥EABCD的体积V；(2)求直线BE与平面PCD所成角θ的大小. 【分析】（1）根据锥体体积公式求得正四棱锥E-ABCD的体积V. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BE与平面PCD所成角θ的大小. 由于PA丄平面ABCD，所以OE丄平面ABCD， （2）依题意可知AB,AD,PA两两相互垂直，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设平面PCD的法向量为=(x,y,z)，设直线BE与平面PCD所成角为θ, 由于 由于0≤θ≤,所以θ=arcsin.(1)求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}通项公式；(2)设数列且对任意正整数n，不等式cn≤2λ—1恒成立，求实数λ的取值范围.【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；求得cn，推得递减，可得cn≤c1=由不等式恒成立思想，可得所求取值范围.即数列{an+2}是首项和公比均为3的等比数列，可得递减，可得cn≤c1=对任意正整数n，不等式cn≤2λ—1恒成立，可得2λ—1≥即有的取值范围是.19．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.(1)若有甲（年龄38乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.(2)10【分析】(1)根据古典型概念公式可得；(2)根据分层抽样平均数和方差公式可得.第五组抽取0.1×20=2人，记为E（乙F，对应的样本空间的样本点为：(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)}，设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，所以（2）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s，s，2设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2，,因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差为10.20．设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA丄平面ABCD，若PA=AB=1，BC=2.(1)求PC与平面ABCD所成角的大小（用反三角函数表示(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为·,若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在△PAB内确定一点H，使CH+EH的值最小，并求此时HB的值.arctanarctan 【分析】（1）连接AC，由PA丄平面ABCD，可得上PCA即为PC与平面ABCD所成角的平面角，进而可得出答案；（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；【解析】（11）连接AC，因为PA丄平面ABCD，所以上PCA即为PC与平面ABCD所成的角，2所以PC与平面ABCD所成角的大小为arctan5；5（2）存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为3，且BG=如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，设平面PAG的法向量为=(x,y,z)，则点D到平面PAG的距离为解得所以存在，且BG=（3）如图，延长CB到C,，使得C,B=CB，连接C,E，取AD的中点E,，连接EE,，因为点E是PD的中点，所以EE,//PA且EE,=因为PA平面PAB，EE,丈平面PAB，所以PA//平面PAB，因为PA丄平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA丄BC，又AB丄BC,AB∩PA=A,AB,PA平面PAB，所以BC丄平面PAB，所以C,C,关于平面PAB对称，则CH+EH=C,H+EH≥C,E，当且仅当C,,H,E三点共线时取等号，设C,E,∩AB=H,，连接HH,，因为PA//平面PAB，平面EE,C,∩平面PAB=HH,，EE,平面EE,C,，所以EE,//HH,，所以，因为AD//BC，所以所以BH,=所以所以HH,=，因为EE,//PA，EE,//HH,，所以HH,//PA，因为PA丄平面ABCD，所以HH,丄平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以HH,丄AB，【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形