2.4 用一元二次方程解决问题（讲义）（解析版）

第二章一元二次方程2.4用一元二次方程解决问题知识点一用一元二次方程解决实际问题1.核心思想：用一元二次方程解决实际问题的核心思想是“建模思想”，即将实际问题转化为数学问题，通过列一元二次方程求解，再回归实际场景检验结果。2.解题关键：①合理设未知数，简化计算；②准确找到题目中的等量关系，这是列方程的核心；③检验所求根是否符合实际意义，舍去不合题意的解。3.一般步骤：①审题：仔细阅读题目，明确已知量、未知量，理清各量之间的数量关系，找出题目中的等量关系（核心步骤）；②设元：设合适的未知数（直接设元或间接设元），注明未知数的单位；直接设元：求什么设什么（适用于未知量直接关联等量关系的题目）；间接设元：当直接设元导致方程复杂时，设与所求量相关的中间量为未知数，简化列方程过程。③列方程：根据找到的等量关系，将已知量、未知量代入，列出一元二次方程（可先列出等式，再整理为一般形式）；④解方程：选择合适的方法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法）解一元二次方程，求出方程的根；⑤验根：检验方程的两个根是否符合实际场景（如长度、时间、人数、产量等不能为负数，也不能为不合理的数值），舍去不合题意的根；⑥作答：根据验根结果，回答题目所求的问题，注明单位。即学即练1．（2026·山东淄博·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（

）A．6210x-1=3x-1B．6210x-1=3x C【答案】D【分析】根据总价和数量求出一株椽的单价，再根据题干给出的等量关系列出方程即可．【详解】解：设这批椽共有x株，这批椽的总价钱为6210文，则一株椽的价钱为6210x依题意有：6210x2．（25-26九年级上·天津河西·期中）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于0.618的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数．如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像AB分为上下两部分，要使雕像的上部AC（腰部以上）与下部BC（腰部以下）的高度比等于下部BC与全身AB的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为AB的黄金分割点．设AB=1,BC=x，根据题意，回答下列问题：(1)填空（用含x的式子表示）：①AC可以表示为_______；②AC与BC的高度比可以表示为_______；③BC与AB的高度比可以表示为_______；(2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号）【答案】(1)1-x；1-xx(2)5【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可；（1）由题意得：AC=AB-BC=1-x；即可求解；（2）由题意ACBC=BCAB，即【详解】（1）解：由题意得：AC=AB-BC=1-x；∴ACBC=1-x（2）解：由题意ACBC=BCAB∵x≠0，两边同时乘以x，得x2解得x1∴黄金分割数为5-13．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．课题：游乐园收益大揭秘素材12026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张．素材2国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用．素材3由以往数据统计得出：若设游客人数为x万人，购买快速通道票的人数为y万人，这y万人平均每人购买z张快速通道票，则当x<2.5时，购买快速通道票的人可忽略不计；当x≥2.5时，有y=x-2，且z=3-1问题解决：(1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？(2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？【答案】(1)750万元(2)4万人【分析】（1）根据题意，列出代数式，将数值直接代入即可．（2）先判断x的取值范围，再根据范围列出票务收入的代数式，根据票务收入等于票务收入代数式列一元二次方程求解．【详解】（1）解：∵4月30日为平日票，∴门票为200元/张，∴票务收入为：200x+60y⋅z=200x+60x-2将x=3代入-30x（2）解：∵5月5日为假期，∴门票价格为240元/张，若每位游客都没有购买快速通道票，则1200÷240=5（万人），与题意不符，所以游客人数大于等于2.5万人，此时票务收入为：240x+60y⋅z=240x+60x-2则-30x2+540x-480=1200，解得x=4∵游客上限是5万人，∴x=4，即5月5日游客人数为4万人．题型01传播问题/（1）核心公式：(1+x)n=（2）x为每轮传播人数，n为传播轮数，注意区分总感染人数和新增人数；（3）求出负根直接舍去，结果取正整数。典｜例｜精｜析1．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．【答案】4名【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可．【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意，得6+6x-61+x解得x1=4，答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学．变｜式｜巩｜固1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人．A．10人 B．11人 C．12人 D．13人【答案】B【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程1+x2【详解】解：设每轮平均一人传染x人，∵最初有1人患病，∴第一轮传染后患病总人数为1+x，第二轮中每个现有患者再传染x人，第二轮新增患病x1+x∴两轮传染后患病总人数为1+x+x1+x根据题意列方程得：1+x2解得1+x=12或1+x=-12，∵传染人数为正整数，∴舍去1+x=-12，∴x=11，即每轮平均一人传染11人．2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？【答案】6【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出x个小分支，则1个主干长出x个枝干，x个枝干长出x2个小分支，再根据总数是43【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则1+x+x解得：x1=6，即这种植物每个支干长出6个小分支．题型02增长率问题/（1）连续两次变化通用公式：a1±x（2）a为初始量，b为最终量，切勿颠倒数据；（3）单次变化不用平方，仅连续两次变化套用平方公式。典｜例｜精｜析1．（2026·辽宁沈阳·一模）我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率．【答案】年均增长率为20【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为x，根据题意得：2.5(1+x)∴(1+x)∴1+x=±1.2，∴x1=0.2∵增长率不能为负数，∴x=-2.2不合题意，舍去，∴x=0.2=20%∴年均增长率为20%．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山西大同·期末）为了落实国家“乡村振兴”战略，某村大力发展特色农产品种植和销售．今年第一季度，该村通过电商平台销售特色农产品的收入为1500万元，在政府的扶持和村民的努力下，优化了物流和宣传渠道，第三季度的销售收入达到了2160万元．求该村第二、三季度的销售收入的平均增长率．【答案】20【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该村第二、三季度的销售收入的平均增长率为x，根据题意，得1500(1+x)2【详解】解：设该村第二、三季度的销售收入的平均增长率为x，根据题意，得1500(1+x)解得x1=0.2，答：该村第二、三季度的销售收入的平均增长率为20%2．（25-26八年级下·广西百色·期中）五色糯米饭是广西三月三的特色美食之一．它以黑、红、黄、紫、白五色得名，是三月三节日的必备佳肴，象征着吉祥如意、五谷丰登．在三月三期间，某特色美食店主打五色糯米饭，第一天卖出五色糯米饭200份，由于节日氛围浓厚，销量持续上涨，第三天卖出了242份，且第二天、第三天的销量增长率相同．(1)求该店五色糯米饭销量的日平均增长率；(2)若按照这个增长率，请你帮忙预测第四天能卖出多少份五色糯米饭．【答案】(1)该店五色糯米饭销量的日平均增长率为10(2)第四天能卖出267份五色糯米饭【分析】（1）设该店五色糯米饭销量的日平均增长率为x，根据题意列方程解决．（2）根据求出的增长率直接计算即可．【详解】（1）解：设该店五色糯米饭销量的日平均增长率为x．则2001+x解得x1=0.1，答：该店五色糯米饭销量的日平均增长率为10%（2）解：242×1+10%=266.2答：第四天能卖出267份五色糯米饭．题型03与图形有关的问题/（1）道路、边框题型用平移法，拼接成规则图形，简化长宽列式；（2）阴影面积=总面积−空白面积，避免重复减、漏减重叠区域；（3）所有边长、宽度结果必须为正数，舍去零和负数解。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）李大爷准备修建一个养殖园，饲养鸡、鸭、鹅三种家禽．如图，李大爷用隔离网围成一个一边靠院墙的矩形养殖园，并且在中间增设了两道隔离网．已知矩形的边AD、BC和两道隔离网均与院墙垂直，若隔离网总长为40m，则养殖园的面积能否达到120【答案】养殖园的面积不能达到120m【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练地确定等量关系，再建立方程是解本题的关键．由AB=xm，表示AD=【详解】解：养殖园的面积不能达到120m理由如下：设AB=xm∵隔离网的总长为40m∴AD=40-x根据题意得：x⋅40-x整理得：x2∵Δ∴该方程无实数根，∴养殖园的面积不能达到120m变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图(1)若纸盒的底面积为176cm(2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm【答案】(1)答：剪去的正方形的边长为4cm(2)答：剪去的正方形的边长为2cm．【分析】（1）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验，最后得出剪去小正方形的边长．（2）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去矩形的长为15cm【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为xcm，则纸盒底面长方形的边长为30-2xcm，宽为由题意得：30-2x480-60x-32x+44xx-4解得x1因为16-2x>0，所以x=19不符合题意，舍去．所以剪去的正方形的边长为4cm（2）解：设剪去的正方形的边长为acm，根据题意，剪去的矩形的长为15cm，宽为22aa-2解得a=2或a=-17，（a=-17不符合题意，舍去）．所以剪去的正方形的边长为2cm2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）为了调节学习节奏、缓解学业压力，让学生走出校园、拓展实践课堂，开展春游、研学、劳动实践．将课堂延伸至自然与社会，促进学生的身心健康发展．安徽省各地市均把首个春假定于2026年4月1日至4月3日，与清明假期连休形成6天小长假．为欢迎学生游客的到来，某景区在景点内的一块长为60米，宽为40米的长方形空地上布置了如图所示的牡丹、木绣球、郁金香、月季四种花卉的花圃（四块区域的宽相同，即AB=CD=EF），并将剩余部分修建成如图所示的宽度不一的通道（边缘宽度为a米，中间宽度为2a米）．(1)若a=1，求四块花圃的总面积；(2)为使区域能容纳更多的游客，要使通道所占面积是整个长方形空地面积的1125，求出此时边缘通道的宽（即a【答案】(1)总面积为2016(2)边缘通道的宽为3米【分析】（1）根据题意得出AB=CD=EF=20-2a，牡丹和月季的花圃长为40-2a，木绣球和郁金香之间的距离为2a，进而求得面积，将a=1代入即可求解；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：∵AB=CD=EF=60-a-2a-2a-a3=20-2a，牡丹和月季的花圃长为40-2a所以四块花圃的面积总和：3(20-2a)(40-2a)-2a(20-2a)=16当a=1时，面积为2016（2）解：由（1）得过道面积为：40×60-∴-16整理得：a2-25a+66=0，解得答：边缘通道为3米．题型04数字问题/（1）连续数字、奇数、偶数设中间数或相邻数，简化列式；（2）两位数问题：十位数字×10+个位数字，表示真实数值；（3）数字为0-9的整数，超范围、非整数解全部舍去。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（

）A．10x-3+x=xC．10+x-3=x【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为x，根据题意列方程即可．【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x-3，根据题意可得10x-3故选：A．变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为；(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．【答案】(1)123(2)小亮说法正确，理由见解析【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可；（2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可．【详解】（1）解：当小明框出3个数为24,25,26，小亮框出3个数为17,24,31，此时他俩框出数的总和最大，∴最大值为24+25+26+17+31=123；（2）解：小亮的说法是正确的．理由：设两人框的中间相同的数为x，则可得方程(x-1)(x-7)=112，即x2-8x-105=0解得x1=-7（负数舍去），但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去，因此小亮说法正确．2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：13×62=31×26=806，所以13和62是“幸福数对”．(1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由；(2)有一个两位数，十位上的数字为x+2，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为x+1，个位上的数字为x+4．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数．【答案】(1)21与48是“幸福数对”，理由见解析(2)42和36【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键；（1）根据“幸福数对”的定义计算即可；（2）根据“幸福数对”的定义计算得11x+2011x+14【详解】（1）解：21与48是“幸福数对”．理由如下：∵21×48=1008，12×84=1008．∴21×48=12×84．∴21与48是“幸福数对”．（2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0，这两个两位数，分别为10x+2+x=11x+20，10将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为10x+x+2=11x+2，10x+4+x+1=11x+41∵这两个数为“幸福数对”，∴11x+20化简，得-99x=-198．解得x=2∴11×2+20=42，11×2+14=36．经检验，符合题意，∴这两个两位数分别为42和36．题型05销售利润问题/（1）核心公式：总利润=单件利润×销售数量；（2）单件利润=售价−进价，涨价减量、降价增量，对应关系不写反；（3）严格贴合题干售价、销量限制条件，筛选合规解。典｜例｜精｜析1．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】60元/个【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(“每每”问题)，先设出涨价金额，再分别表示出单个利润和对应的销售量，最后根据总利润为10000元列方程求解，并结合“让顾客得到实惠”的条件选择较小的涨价金额．【详解】解：设该头盔的售价上涨x元/个，则实际售价为(50+x)元/个，单个利润为(50+x-40)元/个，月销售量为(600-10x)个．根据题意，列方程：(50+x-40)(600-10x)=10000，化简得：x因式分解：(x-10)(x-40)=0，解得：x1=10，∵要尽可能让顾客得到实惠，∴选择较小的涨价金额，即x=10．实际售价为50+10=60(元/个)．答：该品牌头盔的实际售价应定为60元/个．变｜式｜巩｜固1．（2026·贵州·三模）某商店用1200元购买一批新款书包进行销售．(1)当该款书包每个的进价降低5元后，商店又用900元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？(2)根据（1）中的进价，把每个书包按50元的定价销售，平均每天可售出10个．调查发现，若每个书包每降价1元，销量就增加1个．若该商店希望每天的销售利润为300元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？【答案】(1)该书包原来每个的进价是20元(2)每个书包的定价应为30元【分析】（1）利用两次购买书包数量相同的等量关系列分式方程求解，解分式方程后需要检验；（2）利用总利润=单个利润×销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合要让顾客得到实惠的条件，选择降价更多的定价即可；【详解】（1）解：设该书包原来每个的进价是x元，根据题意，可得1200x解得x=20，检验：当x=20时，x(x-5)≠0，因此x=20是原方程的解，答：该书包原来每个的进价是20元；（2）解：设每个书包降价y元，由（1）可知每个书包进价为20元，此时单个书包利润为(50-y-20)元，销售量为(10+y)个，根据题意得(50-y-20)(10+y)=300，解得：y1=0，因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即y=20，此时定价为50-20=30（元），答：每个书包的定价应为30元．2．（2026·辽宁朝阳·二模）在CBA篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款公仔玩偶B款公仔玩偶进货价（元/件）4455销售价（元/件）5967(1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件；(2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？【答案】(1)购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶10件．(2)将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元．【分析】（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶(30-x)件，根据等量关系：两款公仔玩偶共花费1430元，建立一元一次方程即可求解；（2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶(30-x)件，由题意得：44x+(30-x)×55=1430，解得：x=20，则30-x=30-20=10（件）；答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶10件．（2）解：设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元，由题意得：(y-55)12+(67-y)×6整理得：y2解得：y1=60，答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元．题型06动态几何问题/（1）设运动时间为未知数，用含参数式子表示动态线段长度；（2）依托直角三角形、面积、周长公式列方程，常结合勾股定理解题；（3）解后检验动点运动范围，超出线段长度的解直接舍去。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得AP=tcm，BQ=2t【详解】解：由题意得AP=tcm则BP=AB-AP=(5-t)cm∵△PBQ的面积等于4cm∴12即12整理得：t2解得：t1当t=4时，BQ=2×4=8(cm∴t=1，即△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为故答案为：1．变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=40cm，BC=30cm．点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运动，同时，点Q在边CB上，以2cm/s的速度由点C向点(1)当t=5时，求△PQC的面积．(2)当△PQC的面积为64cm2时，求(3)△PQC的面积能否达到120cm2？若能，求出【答案】(1)100(2)t的值为2或8秒(3)△PQC的面积不能达到120cm【分析】（1）根据t=5，可得PC，CQ的长，即可求解；（2）由题意得，PC=AC-AP=40-4t，CQ=2t，则S△PQC（3）由（2）可得S△PQC=1【详解】（1）解：当t=5时，AP=4×5=20 ∴PC=AC-AP=40-20=20cm∴S△PQC（2）解：由题意得，PC=AC-AP=40-4t，CQ=2t，∴S△PQC整理，得t2解得t1当t=2时，40-4t=40-4×2=32>0，CQ=2×2=4<30，符合题意；当t=8时，40-4t=40-4×8=8>0，CQ=2×8=16<30，符合题意；∴∴t的值为2或8秒．（3）解：不能．理由如下：由（2）可知，S△PQC令12整理，得t2∵Δ=-10∴t2∴△PQC的面积不能达到120 2．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点(1)当t=2时，△DPQ的面积为____cm2(2)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t(3)运动过程中，当△PQD恰好是直角三角形时，求t的值；【答案】(1)28(2)不能，理由见解析(3)6或3【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键．（1）当t=2时，计算出相关线段长度，根据S△DPQ（2）根据S△DPQ=AB⋅BC-S（3）当△PQD恰好是直角三角形时，∠PQD=90°，根据PQ2+D【详解】（1）解：当t=2时，AP=2，BQ=2×2=4，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=12，∴BP=AB-AP=4，CQ=BC-BQ=8，∴S=6×12-=28cm故答案为：28；（2）解：在运动过程中△DPQ的面积不能为26cm2根据题意得，AP=t，BQ=2t，∴BP=AB-AP=4-t，CQ=BC-BQ=12-2t，当S△DPQ6×12-整理得t2∵Δ=∴方程无实数根，∴△DPQ的面积不可能为26cm2（3）解：由题意知，PQ当△PQD恰好是直角三角形时，∠PQD=90°，∴PQ∴6-t2解得t1=6，即t的值为6或32题型07工程问题/（1）总工程量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数；（2）合作工作量=各队工作量之和，根据总工程量列方程；（3）工作时间、效率均为正数，舍去不合理负根。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（a>0），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．【答案】(1)乙分拣机至少工作6小时(2)a的值为2【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．（1）设乙分拣机工作x小时，则甲分拣机工作(11-x)小时，根据题意，列出不等式40011-x（2）根据题意，列出方程400+100a8-2a【详解】（1）解：设乙分拣机工作x小时，则甲分拣机工作11-x小时，根据题意列不等式，400解得x≥6答：乙分拣机至少工作6小时；（2）根据题意，甲分拣机实际效率为400+100a件/小时，实际工作时间为8-2a小时；乙分拣机实际效率为600件/小时，实际工作时间为8-a小时，根据题意列方程，400+100a8-2a解得a=2，a=-5答：a的值为2．变｜式｜巩｜固1．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．(1)若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值．【答案】(1)B生产线至少加工6小时(2)a的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．1设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11-x)小时，根据生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，列不等式求解即可；2根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11-x)小时，根据题意可得：500x+400(11-x)≥5000，

解得：x≥6答：B生产线至少加工6小时；（2）解：由题意可得：(400+100a)(8-2a)+(500+100)(8-a)=6000，

整理得：a2+3a-10=0解得a1=2，a答：a的值为2．2．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等(1)求甲计划每天整理多少本图书？(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a天，求a的值【答案】(1)600(2)50【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理x+100本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解；（2）先得出计划时间为8天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答．【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理x+100本图书，依题意，1200x+100解得x=500，经检验：当x=500时，xx+100∴x=500是原分式方程的解，∴甲计划每天整理500+100=600（本）（2）解：由（1）得甲计划每天整理600本，∵总图书4800本，则计划时间4800600依题意，甲实际每天整理600+4a本，实际完成时间8-0.04a天根据工作量关系，得方程600+4a8-0.04a展开得4800-24a+32a-0.16a²=4800，化简得8a-0.16a即a(8-0.16a)=0解得a=0或a=50，由于a=0不符合实际意义，故a=50．题型08行程问题/（1）依托公式：路程=速度×时间，找准变速、分段行驶的等量关系；（2）相遇、追及问题梳理路程差、路程和，精准列式；（3）速度、时间必须为正值，剔除不符合实际的解。典｜例｜精｜析1．（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为24km/h，经过两次速度调整后，速度提升至48.4km/A．241+x2C．241+x+241+x【答案】D【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为48.4km【详解】解：∵初始速度为24km/h∴第一次调整后速度为24(1+x)kmh第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长，因此第二次调整后速度为24(1+x)·(1+x)=24(1+x)2又∵调整后最终速度为48.4km∴可列方程241+x变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至A处时，我方侦察船正位于A处正北方向的B处，且AB=90海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？【答案】最早再过2小时能侦察到．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程．设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的