1.3 用反比例函数解决问题（第2课时）（教学设计）

2/21.3用反比例函数解决问题（2）教学设计1.教学内容本课选自苏科版九年级上册第一章《反比例函数》1.3“用反比例函数解决问题（2）”。核心知识点：1.从实际情境中提炼“积为定值”的等量关系，建立y=kx或y=a+kx型函数；2.由已知数据列方程（组）求k2.内容解析本节课立足“总量保持不变”这一数学本质，通过社会调查录入、箱包成本、蓄水池设计等多元化情境，引导学生发现并构建反比例模型。教学流程遵循“审—设—代—求—答”五步法：①审题找出不变总量，确定反比例关系；②根据情境选择y=kx或y=a+kx解析式；③利用所给数据列方程（组）求未知参数；④借助函数的单调性及图象特点求值或范围；⑤结合实际进行合理取整并作出结论。过程中突出1.教学目标•能从日常生活、经济生产和工程实践等实际情境中，提炼等量关系，建立反比例函数解析式。•掌握复合型函数y=a•会根据实际问题的需要对计算结果进行合理取整（如进一法、去尾法）。2.目标解析•通过多情境任务（录入文字、运费、铺路等），让学生识别“积为定值”的量，能独立写出y=kx或y=a+kx。•教学重点：从情境中抽象“总量＝变量×变量”的反比例关系。•教学难点：正确分离常量项与反比例项，避免误设纯反比例。九年级学生已掌握一次方程（组）、比例与反比例概念，能进行基本的代数运算；对函数思想已有初步体验。优势：对“乘积不变”直观感受强，能迅速建立y=kx。不足：1.对复合型函数y=a+kx的模型拆分及参数求解生疏；2.不善于在文字题中快速捕捉“固定总量”；创设情景，引入新课知识回顾：上节课探讨的杠杆平衡、压强计算等物理问题，其数学本质是什么？其数学本质均为“总量保持不变，两个相关变量成反比例关系”．反比例函数并非只存在于物理问题中，在我们的日常生产与生活里，它也有着极为广泛的应用．【设计意图】从学生熟悉的杠杆平衡、压强计算等物理问题情境切入，引出“反比例”与“常数＋反比例”模型，激活旧知，明确新课研究对象。探究点：反比例应用题解题步骤1.例题精讲例2小丽要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．(1)完成录入的时间t(min)与录入文字的平均速度v(字/min)有怎样的函数关系？(2)小丽每分钟至少应录入多少个字，才能保证在3h内完成录入任务？思考：①题中哪个量是固定不变的？②当总字数一定时，录入时间和录入速度满足什么关系？③第(2)问中，“至少”应如何理解？总字数＝录入速度(v)×时间(t)解：(1)由v·t＝24000，得t＝24000v答：完成录入的时间t是录入文字速度v的反比例函数．(2)把t＝180代入v·t＝24000，得v＝24000180＝4003根据反比例函数的性质，t随v的增大而减小，因此，小丽每分钟至少应录入134字，才能在3h内完成录入任务．例3某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y(元/个)由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x(个)成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个．(1)求y(元/个)关于x(个)的函数表达式；(2)若要把成本控制在32元/个，应生产多少个双肩包？思考：①成本由几部分组成？②材料成本有什么特点？加工成本有什么特点？③双肩包的成本y如何表示？有几个待定系数？（y＝a＋kx解：(1)设每个双肩包的材料成本为a元，则y关于x的函数表达式为y＝a＋kx根据题意，得40＝a＋k1000，35＝a＋k2000．解得k＝10000，a＝所求函数表达式为y＝30＋10000x(2)把y＝32代入y＝30＋10000x，得32＝30＋10000x．解得x＝5000经检验，x＝5000是原方程的解．所以应生产5000个双肩包．重点点拨：这是常数＋反比例复合型函数，不是纯反比例，审题要拆分两部分成本，不能直接设y＝kx2.知识归纳反比例应用通用解题五步：1．审：找不变总量．在题目中仔细寻找乘积为定值的两个变量，以此确定两者之间存在的反比例关系，这是解题的基础前提；2．设：设函数解析式．根据题意选择合适形式．纯反比例型设y＝kx，若存在常数项的复合型，则设y＝a＋kx3．代：代入求参数．代入已知点/两组数据得方程(组)，求参数，写出解析式；4．求：求值/范围．根据题意将已知的变量的值代入求出另一变量的值；或利用增减性分析“至少、至多”范围；5．答：结合实际取值（正数、整数）写答案．【设计意图】通过“打字”实例让学生在最熟悉的生活场景中体验“乘积为定值→反比例函数→合理取整”的完整思维链条，夯实纯反比例应用的“五步法”。1.某污水处理厂计划建造一个容积为4×104(1)求蓄水池的底面积S(m²)关于其深度h(m)的函数表达式．(2)如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？(3)如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少(结果精确到0.01)？解：(1)由Sh＝4×104，得S＝4×104h答：蓄水池的底面积S关于其深度h的函数表达式为S＝4×104h（h(2)把h＝5代入S＝4×104h中，得S＝4×104答：当蓄水池的深度设计为5m时，它的底面积应为8×103(3)根据题意，得S＝100×60＝6000(m²)．把S＝6000代入S＝4×104h，得6000h＝4×1046000＝答：蓄水池的深度至少应为6.67m．2.上题中，建造蓄水池需要运送的土石方总量为4×104(1)运输公司平均每天运送的土石方V(m3/天)与完成任务所需要的时间t(天)解：(1)由Vt＝4×104，得V＝答：平均每天运送的土石方V是完成任务所需要的时间t的反比例函数．(2)运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100m3，需要多少天才能完成该任务？工程进行了8天后，如果需要提前4天完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样解：(2)当V＝20×100＝2000时，得2000＝4×104t，解得t＝20当工程进行了8天后，还剩40000－8×2000＝24000(m3)如果需要提前4天完成任务，还需要20－8－4＝8天，每天需完成240008＝3000m3，共需要车3000100＝30辆，则公司至少需要增派30－20同样的卡车才能按时完成任务．3．有一条长80m、宽2.4m的路面，计划由两名工人用边长为40cm的正方形地砖来铺设．设每名工人平均每小时铺地砖n块，两人合作完成此项工作所需时间为th．(1)求t(h)关于n(块)的函数表达式；解：(1)路面面积为：80×2.4＝192(m2)，每块地砖面积为：0.4×0.4＝0.16(m2两人合作每小时铺地砖2n块，每小时铺的面积为0.16×2n＝0.32n(m2)t＝1920.32n＝600n（n答：t与n的函数表达式为t＝600n（n＞(2)如果这两名工人要在15h内完成此项工程，那么每名工人平均每小时至少要铺设多少块地砖？解：(2)把t＝15代入t＝600得到15＝600n，解得n