专题02 双角平分线与角n等分线（北京专用）中考数学一轮复习几何模型教学设计（九年级）

专题02双角平分线与角n等分线（北京专用）中考数学一轮复习几何模型教学设计（九年级）一、教学背景与设计立意（一）【基础】课标要求与教材地位分析在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，图形与几何领域强调对学生几何直观、推理能力以及模型观念的培养。角平分线作为最基本的几何概念之一，不仅是七年级上册图形认识初步的核心内容，更是后续学习三角形全等、相似、圆的性质乃至高中三角函数的重要基石1。北京版教材在七年级上册第三章“简单的几何图形”中首次引入角平分线，在八年级上册第十二章“三角形”中将其与全等三角形性质结合，而在九年级总复习阶段，则需要将这一知识点从单纯的运算上升为结构化、模型化的思维方式。【非常重要】“双角平分线”与“角n等分线”模型，正是将孤立的角平分线概念置于动态的、组合的几何图形中，考察学生对于角之间和差关系的整体把握。这类问题在北京中考中常以选择题填空压轴题或综合题小问的形式出现，具有较高的区分度9。通过一轮复习，学生不仅要回忆起角平分线的定义与性质，更要通过模型的提炼，形成面对复杂图形时“化整体为局部、化局部为整体”的辩证思维。（二）学情分析与教学痛点九年级学生经过两年半的几何学习，已经掌握了基本的几何语言表达，能够进行简单的推理。然而，在面对“双角平分线”问题时，普遍存在以下三大障碍：1.

【难点】图形识别困难：当两条角平分线来自不同的角，且这些角有重叠部分时，学生往往难以准确找到所求角与已知角之间的代数关系。2.

【难点】分类讨论缺失：当题目未明确给出图形的具体位置关系（如角是否包含、射线是否在形内）时，学生缺乏分类讨论的意识，导致漏解。3.

【高频考点】符号语言与图形语言脱节：学生能背诵角平分线的文字定义，但在复杂的标注中，无法快速将“平分”转化为“两角相等”的代数表达式。（三）设计理念本节课以“模型思想”为统领，遵循“从特殊到一般、从具体到抽象”的认知规律。通过“问题链”驱动，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳—应用”的全过程。引入“类比”思想，将双角平分线与学生更为熟悉的“双中点”问题进行类比，实现知识的正向迁移10。同时，基于北京中考“重思维、重过程”的命题特点，本节课将重点训练学生的逻辑闭环能力和分类讨论的严谨性。二、教学目标设定1.

【基础】知识与技能目标：学生能准确说出角平分线和角n等分线的定义；能熟练运用角的和差关系，推导出双角平分线夹角与两个原始角之间的关系；掌握连续角平分线（角n等分线）的规律探究方法。2.

【重要】过程与方法目标：通过操作几何画板或动手画图，经历从特殊角度的计算到一般结论的归纳过程；学会运用类比思想（与线段中点类比）解决角度计算问题；能够在图形不确定的情况下，针对不同位置关系进行分类讨论。3.

【热点】情感态度与价值观目标：感受几何图形的对称美与和谐美，体会数学模型的简洁性与普适性；通过解决复杂问题，培养不畏困难的钻研精神和严谨求实的科学态度。三、教学重难点1.

【非常重要】教学重点：双角平分线夹角模型的推导与运用；角n等分线规律的探究。2.

【难点】教学难点：当两角有公共部分时，对重叠角度的处理；在无图题中，根据题意画出所有可能图形并进行分类讨论。四、教学准备多媒体课件（几何画板动态演示）、导学案（含基础练习与拓展探究）、三角板、量角器。五、教学实施过程（核心环节）（一）唤醒经验，类比引入（预计用时5分钟）教师活动：在黑板左侧画出数轴，点出A、B、C三点，其中B为AC的中点。提问：回忆“双中点模型”，若点B是AC中点，点D是BC中点，那么BD与AC有何关系？若点B是AC上任意一点，M、N分别为AB、BC中点，则MN与AC有何关系？学生活动：快速写出线段关系式，并口述证明思路。设计意图：激活学生关于“中点”的记忆库。由于“中点”与“角平分线”在几何属性上具有高度的一致性（都是将对象分为两个相等的部分），利用这个类比，学生能很自然地推测出“双角平分线”可能也有类似的结论。教师顺势板书课题：专题02双角平分线与角n等分线模型。（二）模型构建——双角平分线基本型（预计用时15分钟）【基础】探究1：无公共部分的两角平分线问题情境：如图1，已知∠AOB和∠BOC是相邻的两个角（无重叠内部），且∠AOB=α，∠BOC=β。OD平分∠AOB，OE平分∠BOC。求∠DOE的度数。图1：射线OB为两角公共边，两角位于OB同侧学生活动：独立完成计算，一名学生上台板演。推导过程：∵OD平分∠AOB∴∠DOB=1/2∠AOB=1/2α∵OE平分∠BOC∴∠BOE=1/2∠BOC=1/2β∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=1/2α+1/2β=1/2(α+β)=1/2∠AOC【非常重要】模型结论1：当两条角平分线位于“大角”内部，且将大角分为三个相邻小角时，两条平分线组成的夹角等于大角的一半。【难点】探究2：有公共部分的两角平分线问题情境：如图2，已知∠AOB和∠COD，其中OB与OC重合（即两角有重叠区域）。∠AOB=α，∠COD=β，且α>β。OM平分∠AOB，ON平分∠COD。求∠MON的度数。图2：两角重叠，大角包含小角学生小组讨论：这个图形与图1最大的不同是什么？∠MON的组成部分有哪些？师生互动：引导学生发现，∠MON不再是由两个角简单相加，而是大角的一半减去小角的一半。推导过程：∵OM平分∠AOB∴∠MOB=1/2α∵ON平分∠COD，且C在OB上∴∠NOB=1/2∠COB，而∠COB=∠COD=β∴∠NOB=1/2β∴∠MON=∠MOB∠NOB=1/2α1/2β=1/2(αβ)=1/2|∠AOB∠COD|【非常重要】模型结论2：当两个角有重叠部分，且以重叠边为基准作角平分线时，两条平分线组成的夹角等于两个原角差的一半。【热点】探究3：一般性推广与符号化表示教师引导：如果不给具体字母，如何用一句话概括刚才的发现？无论是加法型还是减法型，我们能否用一个统一的公式来表达？深化总结：设大角为θ₁，小角为θ₂，若两角共顶点且共一边，则这两角的平分线所成的角等于1/2|θ₁±θ₂|。这里的“±”如何选择？关键在于两条平分线在公共边的同侧还是异侧，以及所求角是否包含公共边。更本质的规律：两角平分线的夹角等于两角之和或差的一半，具体取决于两条平分线相对于公共边的位置。几何画板演示：改变α和β的大小，动态观察∠MON的变化，验证结论的普适性。（三）模型进阶——角n等分线与连续平分（预计用时15分钟）【基础】概念回顾：角n等分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的n条射线，叫做这个角的n等分线。例如，三等分线将角分成三个相等的部分。【难点】探究4：连续平分问题（无限逼近思想）问题情境：如图3，已知∠AOB=60°，从顶点O出发，作∠AOB的平分线OC₁，再作∠AOC₁的平分线OC₂，再作∠AOC₂的平分线OC₃，如此无限继续下去。求∠AOCₙ的度数。图3：逐次平分示意图学生探究：第一次平分：∠AOC₁=1/2×60°=30°第二次平分：∠AOC₂=1/2×30°=15°=60°×(1/2)²第三次平分：∠AOC₃=1/2×15°=7.5°=60°×(1/2)³……猜想：∠AOCₙ=60°×(1/2)ⁿ【非常重要】模型结论3：经过n次连续平分（每次平分上一次的一半），最终得到的角的度数等于原始角度乘以(1/2)的n次方。拓展延伸：如果不是每次取一半，而是每次取三分之一（即每次都作三等分线），那么第n次后得到的角是多少？引导学生得出一般规律：若每次作m等分线，则∠AOCₙ=初始角×(1/m)ⁿ。【高频考点】探究5：累计平分求和问题问题情境：在上题的基础上，求∠C₁OC₂+∠C₂OC₃+∠C₃OC₄+…+∠Cₙ₋₁OCₙ的度数。小组合作：观察图形，发现每一个小角都是前一个大角减去其一半所剩下的部分。即：∠C₁OC₂=∠AOC₁∠AOC₂=30°15°=15°∠C₂OC₃=15°7.5°=7.5°……这是一个首项为15°，公比为1/2的无穷等比数列（如果n有限，则为有限项求和）。教师点拨：这种连续平分产生的角，在几何学中具有“自相似”特征，为高中学习数列和极限埋下伏笔。（四）典例精析，模型应用（预计用时20分钟）【非常重要】例1：（2024·江苏南京·中考真题改编）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线。若∠AOD=2∠BOD，求∠COE的度数。1思路分析：1.识别模型：这是典型的两角互补（邻补角）模型。OC平分∠AOD，OE平分∠BOD。2.设元求解：设∠BOD=x，则∠AOD=2x。∵A、O、B共线，∴∠AOD+∠BOD=180°，即2x+x=180°，解得x=60°。∴∠AOD=120°，∠BOD=60°。3.代入公式：根据双角平分线模型（两角无公共内部，但共用顶点，且分列OB两侧，其实质是两角之和的一半），∠COE=1/2(∠AOD+∠BOD)=1/2×180°=90°。或者：∠COE=∠COD+∠DOE=1/2∠AOD+1/2∠BOD=60°+30°=90°。【热点】变式训练：若将条件“∠AOD=2∠BOD”改为“∠AOD:∠BOD=3:2”，其他条件不变，求∠COE的度数。（学生独立完成，同桌互批。结论依然为90°，因为无论比例如何，∠AOD+∠BOD恒为180°，其一半恒为90°。）【难点】例2：已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC。求∠DOE的度数。陷阱提示：题目未给出图形，需要分类讨论。学生讨论：射线OC相对于OA和OB有几种可能的位置？归纳两种情形：情形一：OC在∠AOB外部（即两角无重叠，如图1所示）。∠DOE=1/2(80°+30°)=55°。情形二：OC在∠AOB内部（即两角有重叠，如图2所示）。∠DOE=1/2(80°30°)=25°。【非常重要】解题反思：当题目没有给出具体图形，且涉及角的和差时，必须考虑射线的不同位置关系，即“无图必有类”。这是中考数学高频失分点，务必养成严谨的分类习惯。（五）综合拓展，能力提升（预计用时15分钟）【热点】例3：（2425七年级上·陕西·校考期末）【新定义阅读理解题】1如果∠AOB的内部有一条射线OC将∠AOB分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OC为∠AOB的n倍分线。例如，如图1，∠AOC=2∠COB，则OC为∠AOB的二倍分线。（1）若∠AOB=90°，OD为∠AOB的二倍分线，且∠AOD>∠DOB，求∠AOD的度数。（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，∠EOF内部有一条射线OM。若OM分别为∠EOG和∠FOG的三倍分线（∠EOM=3∠MOG，∠FOM=3∠MOG？需准确理解题意），且∠EOF=120°，求∠EOG的度数。师生共析：（1）简单应用：由定义，∠AOD=2∠DOB，且∠AOD+∠DOB=90°，∴3∠DOB=90°，∠DOB=30°，∠AOD=60°。（2）本题是新定义与双角平分线模型的结合。关键在于理解“三倍分线”的含义，将其转化为比例关系，然后利用角的和差建立方程。设∠MOG=x，根据OM是∠EOG的三倍分线（且从图形位置判断∠EOM>∠MOG），则∠EOM=3x，所以∠EOG=4x。同理，OM也是∠FOG的三倍分线，由于OF与OE位于OG两侧，则∠FOM也应大于∠MOG，设∠FOM=3x，则∠FOG=4x。∵∠EOF=120°，且∠EOF=∠EOM+∠FOM=3x+3x=6x。∴6x=120°，解得x=20°。∴∠EOG=4x=80°。设计意图：引入新定义题型，旨在考察学生的即时学习能力和知识迁移能力。将“倍分线”与“角平分线”（n=2时的特例）统一起来，构建更一般的认知结构。（六）课堂小结，构建网络（预计用时5分钟）1.

【基础】知识层面：回顾双角平分线的两种基本模型（加法型、减法型）及其结论；回顾角n等分线的定义和连续平分规律。2.

【重要】方法层面：我们运用了哪些数学思想方法？1.3.类比思想：将线段中点类比到角平分线。2.4.从特殊到一般：从具体度数计算到字母表示，再到公式总结。3.5.分类讨论思想：面对无图题，要考虑射线的多种位置。4.6.方程思想：在比例问题中，通过设未知数列方程求解。7.

【热点】反思与评价：请学生谈谈本节课最大的收获或最难理解的地方。（七）分层作业，个性发展A层（基础巩固）：已知∠AOB=70°，∠BOC=15°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。（注意分类讨论）B层（能力提升）：如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。（1）求∠MON的度数；（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β（β<α），其他条件不变，求∠MON的度数（用含α、β的代数式表示）；（3）如果∠A