2025-2026学年上海市黄浦区金陵中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区金陵中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分36分）.1．经过，两点的直线斜率为．2．直线恒过的定点为．3．若方程表示圆，则实数的取值范围是．4．圆心为，半径为3的圆的标准方程为．5．若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是．6．直线与的夹角的大小．7．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为．8．已知方程表示对称中心在原点的椭圆，则实数的取何值范围为．9．已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于、两点，其左焦点为，则△的周长为．10．以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为．11．已知点在直线上，则的最小值为．12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为．二、单选题（本题共有4题，满分12分）13．直线的一个法向量可以是（）A． B． C． D．14．设、是两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（）A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线15．已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（）A． B． C． D．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上存在有点到原点的距离超过；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①②③ C．①② D．①③三、解答题（本题共有5题，满分52分）17．设常数，已知直线，．（1）若，求的值；（2）若，求与之间的距离．18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程．19．已知离心率的椭圆一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线方程．20．已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为、，为双曲线上一点．（1）求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程；（2）设，求△的面积．21．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．（1）求的值和抛物线的准线方程；（2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．

参考答案一、填空题（本题共有12题，满分36分）1．经过，两点的直线斜率为．解：直线经过点，，直线的斜率为，故答案为：．2．直线恒过的定点为．解：直线可化为，令，则，解得，，则所求定点为．故答案为：．3．若方程表示圆，则实数的取值范围是．解：根据题意有，故答案为．4．圆心为，半径为3的圆的标准方程为．解：圆的圆心为，半径为3，即，，，圆的标准方程为．故答案为：．5．若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是．解：由焦点，可得，由实轴长为6，即，可得，，故双曲线的标准方程为．故答案为：．6．直线与的夹角的大小．解：设直线与的夹角的大小为，则，，由题意可得，．故答案为：．7．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为．解：根据题意，，圆，则有，点在圆上，，故切线的斜率，则切线的方程为，变形可得．故答案为：．8．已知方程表示对称中心在原点的椭圆，则实数的取何值范围为且．解：由题意可得，，解得且．故答案为：且．9．已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于、两点，其左焦点为，则△的周长为8．解：椭圆的，由椭圆的定义可得，则△的周长为．故答案为：8．10．以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为．解：由题意可设双曲线的方程为，将点代入可得，则，所以双曲线的方程为，其标准方程为．故答案为：．11．已知点在直线上，则的最小值为3．解：的几何意义是到原点的距离，它的最小值转化为原点到直线的距离：．故答案为3．12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为．解：，不妨令，，，，，又由双曲线的定义得：，，，．，．在△中，，，，．双曲线的离心率．故答案为：．二、单选题（本题共有4题，满分12分）13．直线的一个法向量可以是（）A． B． C． D．解：因为直线的斜率为2，所以该直线的一个方向向量是．因为，所以与垂直，故正确；因为，所以与不垂直，故错误；因为，所以与不垂直，故错误；因为是直线的一个方向向量，不是法向量，故错误．故选：．14．设、是两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（）A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线解：因为，所以动点的轨迹是以为起点，指向方向的射线．故选：．15．已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（）A． B． C． D．解：由圆与，两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程．圆的圆心，半径．到直线的距离为，故公共弦长．故选：．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上存在有点到原点的距离超过；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①②③ C．①② D．①③解：对于①，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称，当时，，即曲线经过，，当时，方程变为，由△解得，所以只能取整数解1，当时，方程变为，解得或，即曲线经过，，由对称性得曲线还经过，，故曲线一共经过6个整点，，，，，，，故①正确；对于②，当时，由得，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，由对称性可得曲线上任意一点到原点的距离不超过，故②错误；对于③，如图，在轴上方图形面积大于矩形面积，在轴下方图形面积大于等腰直角三角形面积，因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③正确．故选：．三、解答题（本题共有5题，满分52分）17．设常数，已知直线，．（1）若，求的值；（2）若，求与之间的距离．解：（1）根据题意，直线，，若，则，解可得；（2）根据题意，若，则有，解可得或，当时，直线，，两直线重合，不符合题意，当时，直线，，即，两直线平行，此时与之间的距离．18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程．解：（1）由题意设圆心，因为，即，解得，即，半径，所以圆的标准方程为；（2）当切线的斜率存在时，设过的切线方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，此时切线的方程为：，即，当切线的斜率不存在时，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合条件；综上所述：过的切线方程为或．19．已知离心率的椭圆一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线方程．解：（Ⅰ）由题知，，，椭圆．（Ⅱ）设直线方程为，点，，，，由方程组化简得：，由△，可得．，，，解得．直线方程或．20．已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为、，为双曲线上一点．（1）求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程；（2）设，求△的面积．解：（1）因为双曲线的实轴长为8，焦距为10，所以，，所以，，所以，，所以双曲线的标准方程为，双曲线的渐近线方程为，即和．（2）设，，由双曲线的定义可得：，则有，①又由，则有，②联立①②解可得，则△的面积．21．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．（1