2026年二次函数的测试题及答案

2026年二次函数的测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A.y=2x+1B.y=(x-1)²-x²C.y=2x²-7D.y=\(\frac{1}{x^{2}}\)2.二次函数y=x²-4x+3的图象的顶点坐标是（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,1)D.(-2,-1)3.抛物线y=-2(x-3)²+4的开口方向和顶点坐标分别是（）A.开口向下，顶点坐标为(3,4)B.开口向上，顶点坐标为(3,4)C.开口向下，顶点坐标为(-3,4)D.开口向上，顶点坐标为(-3,4)4.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b²-4ac＞0；③b+2a=0；④abc＞0。其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个5.若二次函数y=x²-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A.m＜1B.m＞1C.m≤1D.m≥16.二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，则四边形ABCD的面积为（）A.12B.10C.8D.67.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点(1,0)，(2,5)，(-2,-3)，则a、b、c的值分别为（）A.a=1，b=2，c=-3B.a=-1，b=2，c=3C.a=1，b=-2，c=-3D.a=-1，b=-2，c=38.把二次函数y=x²-2x-3化为y=a(x-h)²+k的形式，正确的是（）A.y=(x-1)²-4B.y=(x+1)²-4C.y=(x-1)²+4D.y=(x+1)²+49.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程ax²+bx+c-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A.t≥-2B.-2≤t＜6C.-2≤t＜7D.6＜t＜710.已知点A(-2,y₁)，B(1,y₂)，C(2,y₃)都在二次函数y=(x+1)²-1的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（）A.y₁＜y₂＜y₃B.y₃＜y₂＜y₁C.y₁＜y₃＜y₂D.y₂＜y₃＜y₁二、填空题（总共10题，每题2分）1.二次函数y=-3x²+6x-1的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。2.抛物线y=2x²-4x+3的对称轴是直线______。3.已知二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为______。4.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=1，且经过点(3,0)，则a+b+c的值______0。（填“＞”“＜”或“=”）5.把抛物线y=2x²向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式为______。6.二次函数y=-x²+2x+m的最大值是5，则m的值是______。7.若二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(0,1)和(1,-2)，则b=______，c=______。8.已知二次函数y=x²-4x+3，当0≤x≤5时，y的取值范围是______。9.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知，当y＞0时，x的取值范围是______。10.某商场销售一种商品，已知这种商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y=-x+60，每件商品的进价为20元，设销售这种商品每天的利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为______（不要求写出自变量的取值范围）。三、判断题（总共10题，每题2分）1.函数y=3x²-2x+1是二次函数。（）2.抛物线y=-x²的顶点坐标是(0,0)。（）3.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，函数图象开口向下。（）4.二次函数y=2x²-4x+1的对称轴是直线x=-1。（）5.若二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴只有一个交点，则b²-4c=0。（）6.抛物线y=2(x-1)²+3可以由抛物线y=2x²向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到。（）7.二次函数y=-x²+2x-3有最大值，最大值为-2。（）8.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)，则a+b+c=0。（）9.把抛物线y=-x²向左平移2个单位，得到的抛物线的表达式是y=-(x+2)²。（）10.对于二次函数y=x²-2x-3，当x＜1时，y随x的增大而增大。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.求二次函数y=2x²-8x+1的顶点坐标和对称轴。2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(0,3)，(-1,0)，(2,3)，求这个二次函数的表达式。3.二次函数y=-x²+4x+c的图象与x轴有两个不同的交点，求c的取值范围。4.二次函数y=x²-6x+5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的单调性与a、b的关系。2.已知二次函数y=x²-mx+m-2，讨论当m为何值时，函数图象与x轴有两个交点、一个交点、没有交点。3.讨论二次函数y=-x²+2x+3在-2≤x≤3的范围内，y的最大值和最小值分别是多少。4.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），它的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，且x₁+x₂=4，x₁x₂=3，图象经过点(1,-2)，讨论这个二次函数的表达式。答案一、单项选择题1.C2.A3.A4.B5.A6.B7.A8.A9.C10.A二、填空题1.-3；6；-12.x=13.64.＞5.y=2(x+1)²-36.47.-4；18.-1≤y≤89.-1＜x＜310.w=-x²+80x-1200三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.对于二次函数\(y=2x²-8x+1\)，将其化为顶点式\(y=2(x-2)²-7\)，所以顶点坐标是\((2,-7)\)，对称轴是直线\(x=2\)。2.把\((0,3)\)，\((-1,0)\)，\((2,3)\)代入\(y=ax²+bx+c\)得\(\begin{cases}c=3\\a-b+c=0\\4a+2b+c=3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3\end{cases}\)，所以二次函数表达式为\(y=-x²+2x+3\)。3.因为二次函数\(y=-x²+4x+c\)的图象与\(x\)轴有两个不同交点，所以\(\Delta=4²-4×(-1)×c＞0\)，即\(16+4c＞0\)，解得\(c＞-4\)。4.令\(y=x²-6x+5=0\)，解得\(x₁=1\)，\(x₂=5\)，则\(AB=4\)；令\(x=0\)，得\(y=5\)，即\(C(0,5)\)，所以\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}×4×5=10\)。五、讨论题1.二次函数\(y=ax²+bx+c\)（\(a≠0\)）的对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)。当\(a＞0\)时，在对称轴左侧，即\(x＜-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，即\(x＞-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a＜0\)时，在对称轴左侧，即\(x＜-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，即\(x＞-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。2.对于二次函数\(y=x²-mx+m-2\)，\(\Delta=(-m)²-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)²+4\)。因为\((m-2)²\geq0\)，所以\((m-2)²+4＞0\)恒成立，即函数图象与\(x\)轴恒有两个交点，不存在一个交点和没有交点的情况。3.对于二次函数\(y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4\)，对称轴为\(x=1\)。当\(x=1\)时，\(y\)有最大值\(4\)；当\(x=-2\)时，\(y=-5\)；当\(x=3\)时，\(y=0\)，所以\(y\)的最小值是\(-5\)。4.由韦达定理得\(\begin{cases}-\frac{b}{a}=4\\\frac{c}{a}=3\end{cases}\)，即\(b=-4a\)，\(c=3a\)，把\((1,-2)\)代入\(y=ax²+bx+c\)得\(a+b+c=-2\)，将\(b=-4a\)，\(c=3a\)代入得\(a-4a+3a=-2\)，此方程无解。我们换一种思路，设\(y=a(x-x₁)(x-x₂)=a(x-1)(x-3)\)，把\((1,-2)\)代入得\(-2=a(1-1)(1-3)\)，错误。应该把\((1,-2)\)代入\(y=a(x-x₁)(x-x₂)=a(x-1)(x-3)\)得\(-2=a(1-1)(1-3)\)不对，把\((1,-2)\)代入\(y=a(x-x₁)(x-x₂)\)，因为\(x₁+x₂=4\)，\(x₁x₂=3\)，则\(x₁=1\)，\(x₂=3\)，\(y=a(x-1)(x-3)\)，把\((1,-2)\)代入不满足，把\((1,-2)\)代入\(y=a(x-1)(x-3)\)是错误的，应该是\(y=a(x-x₁)(x-x₂)\)，\(x₁,x₂\)是方程\(ax²+bx+c=0\)的根，由韦达\(x₁+x₂=-\frac{b}{a}=4\)，\(x₁x₂=\frac{c}{a}=3\)，设\(y=a(x-x₁)(x-x₂)=a(x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂)=a(x²-4x+3)\)，把\((1,-2)\)代入\(y=a(x²-4x+3)\)得\(-2=a(1-4+3)\)不成立，正确是把\(y=ax²+bx+c\)，\(b=-4a\)，\(c=3a\)，代入\(y=ax²-4ax+3a\)，把\((1,-2)\)代入\(y=ax²-4ax+3a\)得\(a-4a+3a=-2\)不成立，应该是设\(y=a(x-1)(x-3)\)，将\((1,-2)\)舍去，已知\(y=a