2026年（北师大版）高中数学必修二第13讲-空间直角坐标系 含解析

/空间直角坐标系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题．一、空间直角坐标系1.从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示.点叫做_______，、和三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做_______，分别称为平面、平面、平面.通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向.2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy，叫做坐标平面．xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中y，z为任意的实数；x轴是坐标形如_______的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如_______的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如________的点构成的点集，其中z为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法1.关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点间的距离为_______________________特殊地，任一点到原点的距离为类型一空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．练习1：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标．练习2：点(2,0,3)位于()A．y轴上 B．x轴上C．xOz平面内 D．yOz平面内例2：已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．练习1：如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．练习2：(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为()A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②例3：在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)，(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)，(3)关于y轴的对称点是P(－x，y)，那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于原点的对称点是P1________；(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________；(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________；(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________；(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________；(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________；(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.练习1：求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．练习2：点关于坐标平面对称点的坐标是（）A.B.C.D.类型二空间两点间距离公式例4：证明以A(4,3,1)、B(7,1,2)、C(5,2,3)为顶点的△ABC是等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A(－1，－2,3)、B(3,0,1)；(2)M(0，－1,0)、N(－3,0,4)．练习2：2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A．|a| B．|b|C．|c| D．以上都不对例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5m，河宽BC＝3m，另一侧有点A，AB＝4m，求点A与塔顶D的距离AD.练习1：已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、B、C三点在同一条直线上．练习2：以三点为顶点的三角形是（C）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形例6：求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件．练习1：若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是____________；练习2：若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式是____________；练习3：已知空间两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)在Oz轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是____________．1．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．42．在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,4，－5)关于z轴对称的点的坐标是()A．(－3，－4,5) B．(－3，－4，－5)C．(－3,4,5) D．(3,4,5)3．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于()A．10 B.eq\r(10)C.eq\r(38) D．384．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形5．(2014·福建师大附中高一期末测试)点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．6．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是________．7.在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点P(－1,2,0)位于()A．y轴上 B．z轴上C．xOy平面上 D．xOz平面上2．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)3．已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为()A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A．14eq\r(3) B．3eq\r(14)C．5eq\r(42) D．42eq\r(5)5.已知一长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA1＝2，AB＝6，AD＝4.求长方体各顶点的坐标．能力提升6．点A(－3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1，－2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－12，3，5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)，2))7.以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))8.点M(2，－3,5)到x轴的距离d等于()A.eq\r(38) B.eq\r(34)C.eq\r(13) D.eq\r(29)9.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B、C、E、A1的坐标．10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间直角坐标系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题．一、空间直角坐标系1.从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示.点叫做坐标原点，、和三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面.通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向.2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy，叫做坐标平面．xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数；x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法1.关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点间的距离为特殊地，任一点到原点的距离为类型一空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．解析：由空间直角坐标系定义求解答案：①对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D′(0,0,2)．因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)．同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)．因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)．②对于图二，A、B、C、D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的，A′、B′、C′、D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)、A′(2,0,0)、C′(0,2,0)、D(0,0，－2)．同①得B′(2,2,0)、A(2,0，－2)、C(0,2，－2)、B(2,2，－2)．练习1：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标．答案：建立如图所示的空间直角坐标系．E点在xOy面上的射影为B(1,1,0)，且z坐标为eq\f(1,2)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).F点在xOy面上的射影为BD的中点G，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，且z坐标为1，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).练习2：点(2,0,3)位于()A．y轴上 B．x轴上C．xOz平面内 D．yOz平面内答案：C例2：已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴、y轴建系．如以A为顶点AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等．答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O为原点，互相垂直的对角线AC、BD所在直线为x轴、y轴，OV为z轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD边长AB＝2，∴AO＝OC＝OB＝OD＝eq\r(2)，又VO＝3，∴A(0，－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0,0)，C(0，eq\r(2)，0)，D(－eq\r(2)，0,0)，V(0,0,3)．练习1：如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．答案：∵OB′与BD′相交于Q点，∴Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，∴Q点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，z)).同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的并点，∴Q点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，\f(1,2)a)).练习2：(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为()A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②答案：D例3：在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)，(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)，(3)关于y轴的对称点是P(－x，y)，那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于原点的对称点是P1________；(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________；(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________；(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________；(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________；(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________；(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论答案：(1)(－x，－y，－z)．(2)(x，－y，－z)．(3)(－x，y，－z)．(4)(－x，－y，z)．(5)(x，y，－z)．(6)(－x，y，z)．(7)(x，－y，z)．练习1：求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．答案：如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称，且B(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．练习2：点关于坐标平面对称点的坐标是（）A.B.C.D.答案：B类型二空间两点间距离公式例4：证明以A(4,3,1)、B(7,1,2)、C(5,2,3)为顶点的△ABC是等腰三角形．解析：运用两点间距离公式答案：由两点间距离公式：|AB|＝eq\r(7－42＋1－32＋2－12)＝eq\r(14)，|BC|＝eq\r(5－72＋2－12＋3－22)＝eq\r(6)，|AC|＝eq\r(5－42＋2－32＋3－12)＝eq\r(6)，∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A(－1，－2,3)、B(3,0,1)；(2)M(0，－1,0)、N(－3,0,4)．答案：(1)d(A，B)＝eq\r(3＋12＋0＋22＋1－32)＝2eq\r(6).(2)d(M，N)＝eq\r(0＋32＋－1－02＋0－42)＝eq\r(26).练习2：2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A．|a| B．|b|C．|c| D．以上都不对答案：C例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5m，河宽BC＝3m，另一侧有点A，AB＝4m，求点A与塔顶D的距离AD.解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题答案：以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标系．则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，∴d(A，D)＝eq\r(32＋－42＋52)＝5eq\r(2)，即点A与塔顶D的距离为5eq\r(2)m.练习1：已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、B、C三点在同一条直线上．答案：d(A，B)＝eq\r(2－12＋4－22＋8－42)＝eq\r(21)，d(B，C)＝eq\r(3－22＋6－42＋12－82)＝eq\r(21)，d(A，C)＝eq\r(3－12＋6－22＋12－42)＝2eq\r(21)，∴AB＋BC＝AC，故A、B、C三点共线．练习2：以三点为顶点的三角形是（C）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案：C例6：求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件．解析：运用两点间距离公式.答案：设P(x，y，z)，则PA＝eq\r(x－22＋y－32＋z2)，PB＝eq\r(x－52＋y－12＋z2).∵PA＝PB，∴eq\r(x－22＋y－32＋z2)＝eq\r(x－52＋y－12＋z2).化简得6x－4y－13＝0.∴点P的坐标满足的条件为6x－4y－13＝0.练习1：若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是____________；答案：2x＋2y－2z－3＝0练习2：若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式是____________；答案：(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25练习3：已知空间两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)在Oz轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是____________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(3,2)))1．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：C2．在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,4，－5)关于z轴对称的点的坐标是()A．(－3，－4,5) B．(－3，－4，－5)C．(－3,4,5) D．(3,4,5)答案：B3．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于()A．10 B.eq\r(10)C.eq\r(38) D．38答案：A4．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形答案：D5．(2014·福建师大附中高一期末测试)点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．答案：(－1,1，－2)6．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是________．答案：eq\r(6)7.在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．答案：(2,0,3)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点P(－1,2,0)位于()A．y轴上 B．z轴上C．xOy平面上 D．xOz平面上答案：C2．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)答案：C3．已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为()A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)答案：C4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A．14eq\r(3) B．3eq\r(14)C．5eq\r(42) D．42eq\r(5)答案：A5.已知一长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA1＝2，AB＝6，AD＝4.求长方体各顶点的坐标．答案：由题意，可建立如图所示的