2026年（北师大版）高中数学必修三第12讲-随机数的含义与应用 含解析

/随机数的含义与应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P（A）=,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.3.掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.1．几何概型的概念与计算公式(1)事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积、体积)成比例，而与A的位置与形状无关，称满足以上条件的概率模型为几何概型．注意：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形．②几何概型的特征：ⅰ)每个试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；ⅱ)每次试验的各种结果是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、长度)”之比来表示(体积、长度)．(2)几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．2．几何概型的特点(1)________，在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)__________，每个结果的发生具有等可能性．3．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有______个，几何概型要求基本事件有________个．4．随机数随机数就是____________________产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样．5．产生随机数的方法(1)用函数型计算器产生随机数的方法每次按eq\x(SHIFT)+eq\x(Ran#)键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同的．(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生的随机数的方法)①Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand()*(b－a)＋a得到．类型一与长度有关的几何概型求法例1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率．练习1：在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5) C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)练习2：在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．类型二与角度有关的几何概型求法例2：如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．练习1：在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．练习2：在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．类型三与面积有关的几何概型求法例3：已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，则点P满足|PA|≤1的概率是()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,8) C．1－eq\f(π,16) D．eq\f(π,16)练习1：(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)练习2：水池的容积是20m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h，它们一昼夜(0～24h)内随机开启，则水池不溢水的概率为()A．eq\f(5,6) B．eq\f(25,72) C．eq\f(5,18) D．eq\f(1,3)类型四与体积有关的几何概型求法例4：在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？练习1：在100m3沙子中藏有一个玻璃球，取出1m3的沙子，则取出的沙子中含有玻璃球的概率．类型五用随机数进行排序例5：试用随机数把6名同学排成一列．练习1：某校高二全年级共有20个班1200名学生，期末考试时应如何把学生随机地分配到40个考场中去．类型六用随机模拟方法估计古典概型的概率操作步骤及方法例6：同时抛掷两枚骰子，计算都是1点的概率．练习1：一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，求取出的球都是白球的概率．练习2：用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法类型七用随机模拟方法估算几何概型的概率例7：取一根长度为6m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？练习1：如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为()A．a＝a1＋8 B．a＝a1×8＋2 C．a＝a1×8-2 D.a＝a1×62．天气预报说，在接下去的一个星期里，每天涨潮的概率均为20%，这个星期里恰好有2天涨潮的概率是()A．20% B．30% C．40% D．50%3.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0～9之间的整数值的随机数，如果我们用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989，则这三天中恰有两天下雨的概率均为()A．eq\f(13,20) B．eq\f(7,20) C.eq\f(9,20) D．eq\f(11,20)4．有一根长为1m的绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于eq\f(1,8)m的概率为________．5．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于eq\f(1,4)的概率是________．6．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．7.甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人半小时，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．8．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）一、选择题1．下面关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3cm，把一枚半径为1cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)3．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为()A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(7,16)4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)5．在1000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率()A．0 B．0.002C．0.004 D．16．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)二、填空题7.(2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的概率是____________．三、解答题9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．基础巩固（2）一、选择题1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数()A．不是等可能的 B．0出现的机会少C．1出现的机会少 D．是均匀分布的2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为()A．eq\x(SHIFT)eq\x(RND) B．eq\x(SHIFT)eq\x(Ran)C．eq\x(SHIFT)eq\x(Ran#) D．eq\x(STO)eq\x(Ran#)3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为()A．a2＝a1*8 B.a2＝a1*8+2C．a2＝a1*8-2 D.a2＝a1*64．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6214，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为()A．eq\f(6,13) B．eq\f(7,13)C．eq\f(4,13) D．eq\f(10,13)5．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)6．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋mx－eq\f(1,2)m＋eq\f(15,4)＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，使得式子lgx有意义的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．0 D．1二、填空题7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是____________．8．用计算机来模拟所设计的实验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为________．三、解答题9．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．能力提升（1）一、选择题1．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径eq\r(2)倍的概率是()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,5)2．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,4)3．已知直线y＝x＋b在y轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)4．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是()A．0 B．1C．eq\f(5,9) D．eq\f(4,9)二、填空题5．如图所示，大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形即阴影部分，较短的直角边长为2，向大正方形的投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为____________．6．(2014·重庆文，15)某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730～750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min到校的概率为________．(用数字作答)三、解答题7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．8．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．能力提升（2）一、选择题1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)2．在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y＝(eq\f(1,2))x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数()A．[－1,1]，[0,1] B．[－1,1]，[0,2]C．[0,1]，[0,2] D．[0,1]，[0,1]二、填空题3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．4．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1h与2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是____________．三、解答题5．在长为24cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25cm2与64cm2之间的概率．6．如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形中的概率．随机数的含义与应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P（A）=,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.3.掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.1．几何概型的概念与计算公式(1)事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积、体积)成比例，而与A的位置与形状无关，称满足以上条件的概率模型为几何概型．注意：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形．②几何概型的特征：ⅰ)每个试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；ⅱ)每次试验的各种结果是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、长度)”之比来表示(体积、长度)．(2)几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．2．几何概型的特点(1)________，在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)__________，每个结果的发生具有等可能性．无限性等可能性3．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有______个，几何概型要求基本事件有________个．有限无限多个4．随机数随机数就是____________________产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样．在一定范围内随机机会5．产生随机数的方法(1)用函数型计算器产生随机数的方法每次按eq\x(SHIFT)+eq\x(Ran#)键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同的．(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生的随机数的方法)①Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand()*(b－a)＋a得到．类型一与长度有关的几何概型求法例1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率．[解析]从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．如图，记剪得两段绳子都不小于1m为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的eq\f(1,3)，所以事件A发生的概率P(A)＝eq\f(1,3).练习1：在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5) C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]B练习2：在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．[解析]记A＝{在AB上取一点M，使AM的长度介于6cm现9cm之间}，则P(A)即为使以AM为边的正方形面积介于36cm2与81cm2之间的概率，在AB上取点C、D，使AC＝6cm，AD＝9cm，则CD＝3cm.∴P(A)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).类型二与角度有关的几何概型求法例2：如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．[解析]以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．设事件A＝“射线OA落在∠xOT内”．事件A的几何度量是60°，区域Ω的几何度量是360°，所以，由几何概率公式得P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).练习1：在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．[答案]如图设事件A＝“作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，μA＝90－30－30＝30，μΩ＝90，由几何概率公式得P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).练习2：在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．[答案]在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的．在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为eq\f(67.5,90)＝0.75.类型三与面积有关的几何概型求法例3：已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，则点P满足|PA|≤1的概率是()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,8) C．1－eq\f(π,16) D．eq\f(π,16)[解析]如图，满足|PA|≤1的点P为图中以A为圆心，以1为半径的圆在正方形内的部分(图中阴影部分)，其面积为eq\f(π,4)，正方形的面积为4，故所求概率为eq\f(\f(π,4),4)＝eq\f(π,16).[答案]D练习1：(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)[答案]B练习2：水池的容积是20m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h，它们一昼夜(0～24h)内随机开启，则水池不溢水的概率为()A．eq\f(5,6) B．eq\f(25,72) C．eq\f(5,18) D．eq\f(1,3)[答案]B类型四与体积有关的几何概型求法例4：在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？[解析]由于带锈病的种子在1L小麦种子中的位置是随机的，所以随机取出10mL时，取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件．设事件A＝“取出的10mL麦种含有带小麦锈病的种子”．μA＝10(mL)，μΩ＝1(L)＝1000(mL)，∴P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(10,1000)＝0.01.练习1：在100m3沙子中藏有一个玻璃球，取出1m3的沙子，则取出的沙子中含有玻璃球的概率．[答案]取出1m3沙子，其中“含有玻璃球”这一事件记为A，则P(A)＝eq\f(取出沙子的体积,所有沙子的体积)＝eq\f(1,100).类型五用随机数进行排序例5：试用随机数把6名同学排成一列．[解析]S1n＝1；S2用int(rand()*6)＋1产生一个[1,6]内的整数随机数x表示学生的座号；S3执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；S4如果n≤6，则重复执行S3，否则执行S5；S5按座号的大小排列，程序结束．练习1：某校高二全年级共有20个班1200名学生，期末考试时应如何把学生随机地分配到40个考场中去．[答案]S1n＝1；S2用int(rand()*1200)＋1产生一个[1,1200]内的整数随机数x表示学生的座号；S3执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；S4如果n≤1200，则重复执行S3，否则执行S5；S5按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束.类型六用随机模拟方法估计古典概型的概率操作步骤及方法例6：同时抛掷两枚骰子，计算都是1点的概率．[解析]抛掷两枚骰子，相当于产生两个1到6的随机数，因而我们可以利用计算器或计算机产生1到6之间的取整数值的随机数，两个随机数作为一组，每组第一个数表示第一枚骰子的点数，第二个数表示第二枚骰子的点数．统计随机数总组数N及其中两个随机数都是1的组数N1，则频率eq\f(N1,N)即为投掷两枚骰子都是1点的概率的近似值．练习1：一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，求取出的球都是白球的概率．[答案]利用计算器或计算机产生1到8之间的取整数值的随机数．用1,2,3,4,5表示白球，6,7,8表示黑球．每两个一组，统计产生随机数的总组数N及两个数字都小于6的组数N1，则频率eq\f(N1,N)即为两次取球都为白球的概率.练习2：用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法[答案]B类型七用随机模拟方法估算几何概型的概率例7：取一根长度为6m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？[解析]在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,6]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,6]上的均匀随机数，其中取得[2,4]内的随机数就表示剪得两段长都不小于2m.这样取得的[2,4]内的随机数个数与[0,6]内个数之比就是事件A发生的频率．[答案]解法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共N个)0到1区间的均匀随机数，a1＝RAND.(2)经过变换a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周六等分，标上刻度[0,6](这里6和0重合)．转动圆盘记下指针指在[2,4](表示剪断绳子位置在[2,4]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝eq\f(N1,N)即为概率P(A)的近似值．练习1：如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？[解析]以圆心为原点，平行于正方形边的直线为坐标轴建立直角坐标系，则大、中、小圆的方程依次为x2＋y2＝36，x2＋y2＝16，x2＋y2＝4，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以用两个随机数一组来表示点的坐标，确定点的位置．记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}，事件C＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数(各N个)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过变换，a＝a1](3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2＋b2<16的点(a，b)数)，投中正方形内的总次数N(即满足上述－8<a<8，－8<b<8的点(a，b)数)．(4)计算频率fn(A)＝eq\f(N1,N)，fn(B)＝eq\f(N2,N)，fn(C)＝eq\f(N－N1,N)，即分别为概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值．1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为()A．a＝a1＋8 B．a＝a1×8＋2 C．a＝a1×8-2 D.a＝a1×6[答案]C2．天气预报说，在接下去的一个星期里，每天涨潮的概率均为20%，这个星期里恰好有2天涨潮的概率是()A．20% B．30% C．40% D．50%[答案]A3.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0～9之间的整数值的随机数，如果我们用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989，则这三天中恰有两天下雨的概率均为()A．eq\f(13,20) B．eq\f(7,20) C.eq\f(9,20) D．eq\f(11,20)[答案]B4．有一根长为1m的绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于eq\f(1,8)m的概率为________．[答案]eq\f(3,4)5．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于eq\f(1,4)的概率是________．[答案]eq\f(1,2)6．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[答案]在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝eq\f(亮红灯的时间,全部时间)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5).(2)P＝eq\f(亮黄灯的时间,全部时间)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15).(3)P＝eq\f(不是红灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(黄灯或绿灯亮的时间,全部时间)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).7.甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人半小时，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．[答案]如图所示：用x、y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x－y|≤30.在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形．而事件A“两人能够见面”的可能结果仅是阴影部分所示的区域.由几何概型概率的计算公式，得P(A)＝eq\f(602－302,602)＝eq\f(3,4).8．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．[答案]一级品和二级品的数量不相等，所以抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同，但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用8～10内的整数随机数x表示二级品．设事件A＝“取得一级品”(1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取得一级品，用8,9,10表示取得二级品；(2)统计试验总次数N及其中出现1～7之间的数的次数N1；(3)计算频率fn(A)＝N1/N即为事件A的概率的近似值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）一、选择题1．下面关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性[答案]A[解析]几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3cm，把一枚半径为1cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]如图，要使硬币不与平行直线l1、l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l2、l3之间，故所求概率为P＝eq\f(1,3).3．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为()A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(7,16)[答案]C[解析]由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为eq\f(2,9).故选C.4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]如下图，在AB边上取点P′，使eq\f(AP′,AB)＝eq\f(3,4)，则P只能在AP′内运动，则所求概率为P＝eq\f(AP′,AB)＝eq\f(3,4).故选C.5．在1000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率()A．0 B．0.002C．0.004 D．1[答案]B[解析]由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．∴P(A)＝eq\f(水样的体积,总体积)＝eq\f(2,1000)＝0.002.6．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]本题考查几何概型．设AC＝xcm，则BC＝(12－x)cm，∴x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10，故所求概率P＝eq\f(12－2－2,12)＝eq\f(2,3).二、填空题7.(2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]0.18[解析]由几何概型的概率可知，所求概率P＝eq\f(S阴,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∴.S阴＝0.188．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的概率是____________．[答案]eq\f(3,8)[解析]由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))”．设圆的周长为C，则P(A)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)C＋\f(1,4)×\f(1,2)C,C)＝eq\f(3,8).三、解答题9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．[解析]由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．记“飞镖落在阴影内”为事件A，则P(A)＝eq\f(△ECD的面积,正方形的面积)＝eq\f(1,4).基础巩固（2）一、选择题1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数()A．不是等可能的 B．0出现的机会少C．1出现的机会少 D．是均匀分布的[答案]D[解析]用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为()A．eq\x(SHIFT)eq\x(RND) B．eq\x(SHIFT)eq\x(Ran)C．eq\x(SHIFT)eq\x(Ran#) D．eq\x(STO)eq\x(Ran#)[答案]C3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为()A．a2＝a1*8 B.a2＝a1*8+2C．a2＝a1*8-2 D.a2＝a1*6[答案]C[解析]将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需进行的变换为a2＝a1[6-(-2)]+(-2)=a1*8-2.4．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6214，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为()A．eq\f(6,13) B．eq\f(7,13)C．eq\f(4,13) D．eq\f(10,13)[答案]B[解析]P＝eq\f(6＋1,6＋2＋4＋1)＝eq\f(7,13).5．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]D[解析]记事件“x是负数”为事件A，∵x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，∴UΩ＝6，UA＝4，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).6．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋mx－eq\f(1,2)m＋eq\f(15,4)＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，使得式子lgx有意义的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．0 D．1[答案]A[解析]Δ＝m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)m＋\f(15,4)))≤0，∴－5≤m≤3.∴集合P＝{x|－5≤x≤3}，对于x∈P，当0<x≤3时，lgx有意义，∴使式子lgx有意义的概率为P＝eq\f(3－0,3－－5)＝eq\f(3,8)，∴选A.二、填空题7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是____________．[答案]eq\f(1,π)[解析]设⊙O的半径为R，则⊙O的面积为πR2，即μΩ＝πR2.记事件A为“黄豆落到阴影区域”，μA＝eq\f(1,2)×2R×R＝R2.∴由几何概型求概率的公式，得P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).8．用计算机来模拟所设计的实验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为________．[答案]计算机随机模拟法或蒙特卡罗法三、解答题9．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．[解析]如图所示，作矩形，设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y＜log3x(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；S2：用变换rand()*3产生0～3之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用函数rand()产生0～1之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜log3x.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；如果不是，m的值保持不变；S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要判断试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束．程序结束后事件A发生的频率eq\f(m,n)作为事件A的概率的近似值．设阴影部分的面积为S，矩形的面积为3.由几可概型计算公式得P(A)＝eq\f(S,3)，所以eq\f(m,n)＝eq\f(S,3).所以S＝eq\f(3m,n)即为阴影部分面积的近似值．能力提升（1）一、选择题1．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径eq\r(2)倍的概率是()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,5)[答案]B[解析]由图可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧BC上，eq\f(\x\to(BC),圆O周长)＝eq\f(1,2).故选B.2．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,4)[答案]B[解析]如图所示，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时∠BOC＝120°，则优弧BC＝eq\f(4,3)πR，∴满足条件的概率P＝eq\f(\f(4,3)πR,2πR)＝eq\f(2,3)，故选B.3．已知直线y＝x＋b在y轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]B[解析]由几何概型的概率公式知，所求概率P＝eq\f(3－1,3－－2)＝eq\f(2,5).4．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是()A．0 B．1C．eq\f(5,9) D．eq\f(4,9)[答案]C[解析]如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4cm的正方形)内，其概率为eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，故选C.二、填空题5．如图所示，大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形即阴影部分，较短的直角边长为2，向大正方形的投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为____________．[答案]eq\f(1,13)[解析]阴影部分面积为1，故所求概率为eq\f(1,13).6．(2014·重庆文，15)某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730～750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min到校的概率为________．(用数字作答)[答案]eq\f(9,32)[解析]设小张到校时间是730－750任意时刻x，小王到校时间是730－750任意时刻y，则x、y∈[0,20]的任意实数，因为x在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min”为事件A，即y－x≥5，如图所示Ω和事件对应测度为∴所求概率P(A)＝eq\f(\f(1,2)×15×15,20×20)＝eq\f(9,32).三、解答题7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．[解析]∵假设他在0分～60分钟这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．设事件A＝“等待时间不多于10分钟”，事件A发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6).8．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程