2026年（北师大版）高中数学选修2-3第3讲-二项式定理 含解析

/二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式.1.二项式定理的概念:___________________________________________这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式；它一共有n+1项，其中叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1);(2);(3)当时，当时，;(4)类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项.练习1：在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A.3项 B.4项 C.5项 D.6项类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.练习1：的展开式中x4的系数是()A.16 B.70 C.560 D.1120类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式展开式中的常数项.练习1：在二项式的展开式中,含x4的项的系数是()A.-10 B.10 C.-5 D.5类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切都有练习1：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.1.在展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项2.展开式中偶数项的系数和为()A. B. C. D.３.若的展开式中存在常数项，则n的值可以是()A.8 B.9 C.10 D.12４.的展开式中奇次项系数的和是()A.64 B.120 C.128 D.256５.的展开式中x3的系数是()A.20 B.40 C.80 D.160６.的展开式中的常数项是()A. B. C. D.7.的展开式中,的系数与系数之和等于______.8.在的展开式中,x的系数为______.(用数字作答)____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.若(a,b为有理数),则a+b=()A.53 B.29 C.23 D.192.的展开式中所有项系数总和是()A.28 B. C.0 D.13.的展开式中,常数项为15,则n=().A.3 B.4 C.5 D.64.若的展开式的常数项是第7项,则正整数n的值为()A.7 B.8 C.9 D.105.若的展开式中有一项是则m，n的值分别为________.6.(2015北京)在的展开式中，的系数为_______．（用数字作答）7.(2015福建)的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）8.已知的展开式中偶数项的二项式系数的和比的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.能力提升１.(2015高考新标)的展开式中，的系数为()A．10 B.20 C.30 D.60２.(2015安徽)的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案）3.若的展开式中各项系数的和是256，则展开式中的系数为________.4.若且a：b=3：1，那么n=________.５.(2015陕西)二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．76.若等于（）A.2n B. C. D.7.的展开式的常数项是().A.0 B.2 C.-2 D.-288.(1)求展开式中系数最大的项;(2)求(1-2x)7展开式中系数最大的项.二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式.1.二项式定理的概念:这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式；它一共有n+1项，其中叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)(2)(3)当时，当时，(4)类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项.[解析]的展开式的通项是(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)(2)展开式的第4项的系数为(3)展开式的第4项为：练习1：在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A.3项 B.4项 C.5项 D.6项[答案]C[解析]所以为正整数,而r[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析]因为所以即解得n=14或7.当n=14时，第8项的二项式系数最大，当n=7时，第4项与第5项的二项式系数最大.练习1：的展开式中x4的系数是()A.16 B.70 C.560 D.1120[答案]D[解析]设含x4的为第所以r=4,故系数为1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式展开式中的常数项.[解析]的第r+1项为令得r=8.所以所以第9项为常数项，为练习1：在二项式的展开式中,含x4的项的系数是()A.-10 B.10 C.-5 D.5[答案]B[解析]对于,对于10-3r=4,r=2,则x4的项的系数是类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切都有[解析]因为所以．．．仅当n=1时，当n≥2时，练习1：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析]，依题意，有解得n=8.所以的展开式中，二项式系数最大的项为设第r+1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有解得5≤r≤6.所以r=5或r=6(因为r{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为1.在展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案]Ａ2.展开式中偶数项的系数和为()A. B. C. D.[答案]Ｂ３.若的展开式中存在常数项，则n的值可以是()A.8 B.9 C.10 D.12[答案]Ｃ４.的展开式中奇次项系数的和是()A.64 B.120 C.128 D.256[答案]Ｃ５.的展开式中x3的系数是()A.20 B.40 C.80 D.160[答案]Ｄ６.的展开式中的常数项是()A. B. C. D.[答案]Ｂ7.的展开式中,的系数与系数之和等于______.[答案]－2408.在的展开式中,x的系数为______.(用数字作答)[答案]7____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.若(a,b为有理数),则a+b=()A.53 B.29 C.23 D.19[答案]Ｂ2.的展开式中所有项系数总和是()A.28 B. C.0 D.1[答案]Ｂ3.的展开式中,常数项为15,则n=().A.3 B.4 C.5 D.6[答案]Ｄ4.若的展开式的常数项是第7项,则正整数n的值为()A.7 B.8 C.9 D.10[答案]Ｂ5.若的展开式中有一项是则m，n的值分别为________.[答案]17920,86.(2015北京)在的展开式中，的系数为_______．（用数字作答）[答案]407.(2015福建)的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案]808.已知的展开式中偶数项的二项式系数的和比的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案]的展开式中奇数项的二项式系数的和为的展开式中偶数项的二项式系数的和为依题意，有即解得或(舍去).所以n=4.于是，第一个展开式中的第三项为能力提升１.(2015高考新标)的展开式中，的系数为()A．10 B.20 C.30 D.60[答案]C２.(2015安徽)的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案）[答案]353.若的展开式中各项系数的和是256，则展开式中的系数为________.[答案]544.若且a：b=3：1，那么n=________.[答案]11５.(2015陕西)二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C6.若等于（）A.2n B. C. D.[答案]Ｄ7.的展开式的常数项是().A.0 B.2 C.-2 D.-28