2025~2026学年甘肃兰州市第三十五中学九年级数学试卷（二）

2025~2026学年甘肃兰州市第三十五中学九年级数学试卷（二）一、单选题1.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（）

A．B．C．D．2.下列运算正确的是（）

A．B．C．D．3.榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（）

A．B．C．D．4.《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（）

A．B．C．D．5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（）

A．－1B．0C．1D．26.如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段放大为原来的2倍后得到线段，则端点B的坐标为（）

A．B．C．D．7.已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是（）

A．B．C．D．8.如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（）

A．B．2C．D．9.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个10.如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（）

A．2B．C．D．11.如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）

A．一次函数关系，反比例函数关系B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系二、填空题12.因式分解：________．13.紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色．现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为_______．14.如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是__________．15.如图，在扇形中，已知，，正方形的顶点、、分别在、、上，把正方形的沿直线向右平移，得到正方形，其中点的对应点恰好与重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________．三、解答题16.计算：．17.解不等式组并写出它的所有整数解．18.解方程：19.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；(2)连接，请直接写出四边形的面积．20.下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告．

项目主题测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度项目背景长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容．测量工具测角仪测量示意图测量过程1．在距离禹王峰一定距离的地面处放置测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为；

2．在与地面处水平距离为的地面处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为．（C，B，D在同一水平直线上）请根据表中的测量数据，计算禹王峰的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：，，，）21.阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

双关联线段

【概念理解】

如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．

例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．【问题解决】

问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段．

证明：延长交于点F．

是等边三角形，

．

，

（依据）．

，

，

；

…任务：(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；(2)补全问题2的证明过程；(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．22.2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）．【收集、整理数据】七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图．【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

年级平均数中位数众数七年级8588.5八年级84.878【问题解决】请根据上述信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度．(2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由．(3)如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数．23.综合与探究如图1，在边长为12的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．(1)求证：．(2)若点是的中点，连接，且．①如图2，当A、、三点共线时，连接，求线段的长；②连接，在运动的过程中，当最小时，直接写出四边形的面积．24.如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．25.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点．(1)求二次函数的表达式；(2)点、为该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由；(3)点、为该二次函数图象上不同的两点，且满足，请写出、之间的数量关系，并写出推理过程．26.我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点引出两条垂直的射线与相交于点、，如果，我们就称、为点的垂等点，、为点的垂等线段，点为垂等射点．(1)如图1，在平面直角坐标系中，点为轴上的垂等射点，过作轴的平行线，则直线上的