初中9年级数学 暑假自学预习 第11讲 二次函数与一元二次方程(原卷版)

第11讲二次函数与一元二次方程内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1二次函数与坐标轴的交点题型2根据二次函数的图象确定一元二次方程的根题型3求x轴与抛物线的截线长题型4图象法解一元二次方程的近似根题型5图象法解一元二次不等式题型6利用不等式求自变量或函数值的范围题型7根据交点确定不等式的解集04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航交点、横坐标、判别式、根的个数、数形结合、近似解。1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标即对应一元二次方程的实数根。2.掌握通过判别式∆=b2-4ac判断抛物线与x轴交点个数：∆>0两个交点，∆=0一个交点，∆<0无交点。3.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想。4.经历从函数视角看方程的过程，理解函数与方程的内在联系，培养转化与综合思维能力。学习重点:二次函数图象与x轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系。学习难点:理解“交点的横坐标即方程的根”的几何意义，以及利用函数图象求方程近似解时如何确定逼近范围。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01二次函数与坐标轴的交点二次函数与坐标轴的交点知识总结1.

与y轴的交点：-求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0,c)。-特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。2.

与x轴的交点：-求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁,0)、(x₂,0)。-根的情况与交点个数：-Δ＞0：2个不同交点（方程有两个不等实根）；-Δ=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）；-Δ＜0：无交点（方程无实根）。3.

核心思想：-转化思想：将交点问题转化为解方程问题；-数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。【易错提醒】与y轴交点即(0,c)。与x轴交点即方程ax2+bx+c=0的解，个数由判别式∆=b2-4ac决定（两/一/无）。注意：∆≥0才有交点，勿忽略判别式。即时即练1．二次函数的图象与轴的交点坐标是（）．A．和 B．和C．和 D．和2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为．知识点02二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标→一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【易错提醒】函数y=ax2+bx+c\)与\(x\)轴交点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实数根。∆>0两不等根；∆=0一重根；∆<0无实根（无交点）。勿忽略判别式与根的关系。即时即练1．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（

）A．或 B．或C．或 D．或2．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解．题型1二次函数与坐标轴的交点【例1】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标为（）A．和 B．和C．和 D．和【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（

）A．， B．，C．， D．，【技巧归纳】与y轴交点：(0,c)。与x轴交点：解方程ax²+bx+c=0，根即为横坐标，个数由Δ决定。当Δ=0时一个交点（顶点在x轴）；Δ>0两交点；Δ<0无交点。代入即可。【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是．【变式1-2】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是．题型2根据二次函数的图象确定一元二次方程的根【例3】（25-26九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（

）A．1 B．3 C．2 D．0【例4】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】一元二次方程ax²+bx+c=0的根即抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标。图象与x轴有几个交点，方程就有几个实根。交点横坐标即为根，可用对称轴和顶点辅助判断根的情况。【变式2-1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题：(1)方程的根是______；(2)当时，x的取值范围是______；(3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系．题型3求x轴与抛物线的截线长【例5】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例6】（2025·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（

）A．2 B． C． D．【技巧归纳】先解ax²+bx+c=0得两交点x₁、x₂，截线长=|x₁-x₂|=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[(b²-4ac)/a²](a≠0)。也可用公式：Δ≥0时，长=√Δ/|a|。需确保两交点存在。【变式3-1】（24-25九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则．【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）

如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．

(1)若为二次函数的图象上一点，求的值；(2)求的长．题型4图象法解一元二次方程的近似根【例7】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（

）A． B． C． D．【例8】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示：则方程的一个较大的根的范围是（

）A． B．C． D．【技巧归纳】画出抛物线y=ax²+bx+c，观察与x轴交点横坐标。在交点附近取x值，计算函数值，用二分法逐步逼近使y≈0的x。也可用网格纸估读，精确到小数点后一位或两位。注意端点函数值异号。【变式4-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是．x1y【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有个实数根．题型5图象法解一元二次不等式【例9】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【例10】（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（

）A．的最大值是4B．当时，函数值C．当时，随的增大而增大D．函数的图象关于直线对称【技巧归纳】画抛物线草图，根据开口方向与x轴交点，确定函数值正负区间。不等式>0取x轴上方的x范围，<0取下方。若开口向下则相反。注意等号时包含交点，用实心点表示。无交点时全正或全负。【变式5-1】（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是．【变式5-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是．题型6利用不等式求自变量或函数值的范围【例11】（2025·四川南充·二模）已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例12】（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【技巧归纳】根据函数图象或增减性列不等式。已知y范围求x：先解方程求边界，结合图象写出对应x区间。已知x范围求y：代入端点求边界，注意开口方向决定最值在顶点或端点。分类讨论。【变式6-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是；【变式6-2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则．题型7根据交点确定不等式的解集【例13】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．或【例14】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【技巧归纳】先求出两函数交点横坐标，将数轴分成若干区间。在每个区间内比较两函数值大小（通过图象上下位置）。图象在上方则函数值大。再结合不等式方向写出对应x的范围，注意等号取交点。【变式7-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是．【变式7-2】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数．(1)该函数的顶点坐标是，与轴的交点坐标是．(2)根据图象回答：时，的取值范围是．(3)根据图象回答：当时，的取值范围是．一、单选题1．二次函数的图象与x轴的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（

）A． B． C． D．4．已知抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．或5．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（

）．A．B．方程的两根是，C．不等式的解集是D．当时，随的增大而减小二、填空题6．若抛物线与x轴没有交点，则m的值可以是_______．（写出一个即可）7．填空：（1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________；（2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________．8．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是________．9．已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______．10．如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）．①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④．三、解答题11．已知函数．(1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点；(2)若，求函数与轴的交点坐标．12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求该图象与x轴的另一个交点坐标；(3)