角的平分线课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

第14章全等三角形14.3角的平分线

情境导入定义作法性质判定OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，EPD=PE平行线的性质：两直线平行，同位角相等平行线的判定：同位角相等，两直线平行如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角平分线的判定方法呢？思考新知探究XINZHITANJIU证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，

PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.OABCPDE┐┐复习回顾FUXIHUIGU角的平分线的判定判定定理：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.判断点是否在角的平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点

P在∠AOB的平分线上.定理的作用：新知探究XINZHITANJIU思考

(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上

点到这个角两边的距离相等．

(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；

判定定理反映只要是到角两边距离

相等的点，都应在角的

平分线上．角的平分线的性质与判定定理有何关系？新知角的平分线的定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．COEBPDA归纳在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角的两边距离相等的所有点的集合．常见应用如下：点在角的平分线上点到角两边距离相等性质定理题设题设结论结论新知探究XINZHITANJIU思考

为什么要以适当长为半径画弧线？以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.ABOMNC思考

新知探究XINZHITANJIU思考“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.两弧交点在什么位置？应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.ABOMNC思考第（3）步能否说成“连接OC”？结论:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言:∵P

是∠AOB

内的一点，PD⊥OA

于D，PE⊥OB

于E，且PD=PE，∴OP

是∠AOB的平分线(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上).二、合作交流，探究新知由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.二、合作交流，探究新知应用所具备的条件：（3）垂直距离.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；得出新知用角的平分线的性质解决简单问题

证明：

深化拓展角平分线上的点到角两边的距离相等CABODEP知识点2角的平分线的性质应用定理需具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等针对训练1.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4，则PE=______.4MBCADEPABCPD（3）求∆PDB的周长.

1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=POD当堂小练1.判断题：（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（）（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（）×OBAM图2NOBAQM图1N┐Q┐×∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴DF＝BE.∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，∴AF＝AE，∴DF＝AF－AD＝AE－AD.∵BE＝AB－AE，DF＝BE，∴AE－AD＝AB－AE，∴AE＝(AB＋AD).CB