2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元测试卷2

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第25章一元二次方程单元测试卷2选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（）．A．2 B．-2 C．1 D．-12.把一元二次方程化为一般形式为()A．B． C． D．3.解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是（）．A．6 B．-6 C．8 D．-84.方程的解是（

）A．，． B．，． C．，． D．，．5.当时，关于x的方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根6.已知m是方程的实数根，则的值为（

）A．2025 B．-20265C．2025 D．-20257.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则的值是（

）A． B．C． D．．9.一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（

）A．48 B．24 C．24或48 D．48或4010．若，其中为实数且，，则（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.用配方法将一元二次方程化为的形式为______．12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____．13.若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．14.数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…．（1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；（2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.公式法解方程：；16.选择适当的方法解下列方程：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．若关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围.18.已知方程的两根是、，求的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．20.在合肥五十点中秋季田径运动会的入场式上，初三年级和初二年级的部分学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话：甲：我发现方阵最外层的人数为58人；乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人．聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程．（本题满分12分）21.已知关于的方程（为常数），设为方程的两个实数根，且满足，试求的值．七、（本题满分12分）22.一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：(1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____．(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：①用配方法解：；②用公式法解：；③用因式分解法解：．(3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值．（本题满分14分）23.安徽省黄山市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．(1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；(2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）；②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米．答案解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（）．A．2 B．-2 C．1 D．-1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和．【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，．答案：B.2.把一元二次方程化为一般形式为()A．B． C． D．【分析】化成一元二次方程的一般式的形式.【详解】解：，∴，∴.3.解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是（）．A．6 B．-6 C．8 D．-8【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答．【详解】解：∵方程有实数根，∴，即，∵是整数，∴可以是．答案：C.4.方程的解是（

）A．，． B．，． C．，． D．，．【分析】因式分解法解一元二次方程【详解】解：或解得，．答案：A.5.当时，关于x的方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论．【详解】解：，整理得，，∴，又∵，∴，即，∴原方程没有实数根．答案：C.6.已知m是方程的实数根，则的值为（

）A．2025 B．-20265C．2025 D．-2025【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：是方程的实数根，将代入方程得，整理得，∴．答案：D7.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限．【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，，可得，∵，，∴，，∴，，即，∵点的横坐标为正，纵坐标为负，∴点位于第四象限．答案：D.8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则的值是（

）A． B．C． D．．【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可．【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，．根据根与系数的关系可得，．整理得．变形得．解得．将代入得．验证判别式：，符合题意．答案：C.9.一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（

）A．48 B．24 C．24或48 D．48或40【分析】先解方程得到边长的可能值，结合三角形三边关系舍去不合理的解，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，最后计算菱形面积即可．【详解】解：解方程，分解因式得，解得或，∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，因此该对角线一半长为3，若菱形边长为3，则，不能构成三角形，舍去；若菱形边长为5，由勾股定理得另一条对角线的一半长为，∴另一条对角线长为，∴菱形面积为．答案：B.10．若，其中为实数且，，则（

）A． B． C． D．【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和．【详解】解：已知，，且，．由可得，若，等式左边为，不成立．将两边同时除以，得：，移项整理得：，因此和都是一元二次方程的根．对因式分解，得，解得方程的两个根为，．∵，因此和为方程两个不同的根．．答案A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.用配方法将一元二次方程化为的形式为______．【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果．【详解】解：，，，即．12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____．【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值．【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根，，解得．13.若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解，，整理得，．14.数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…．（1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；（2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．【分析】（1）按照题中规律将写成若干个连续奇数的和即可得到答案；（2）由题中规律得到将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，结合题中已知条件列一元二次方程求解即可．【详解】解：（1）由题中规律可得，如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是（2）由题意可得规律为，将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则，，为正整数，和是相邻的两个正整数，则由可知，．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.公式法解方程：；【分析】用求根公式解一元二次方程，注意方程先化为标准形式.【详解】解：方程变形为：，，，，∴，解得，．16.选择适当的方法解下列方程：．【分析】用因式分解法解一元二次方程较为方便【详解】解：，，，或，，．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．若关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围.【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程∴∵方程没有实数根，∴判别式，整理得解得．∴k的取值范围是．18.已知方程的两根是、，求的值．【分析】利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解．【详解】解：∵方程的两根是、，∴，，∴．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．【分析】（1）根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解．（2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．【详解】(1)证明：由题意得：，则：，不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解：将代入方程可得，解得，当时，原方程为，解得：，即方程的另一个根为．20.在合肥五十点中秋季田径运动会的入场式上，初三年级和初二年级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话：甲：我发现方阵最外层的人数为58人；乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人．聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程．【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设方阵的排数为x，列数为y，由方阵最外层的人数为58人，得，变形得，由参加方阵展示的学生一共是234人，得，变形得，解得，，当时，，当时，，综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13．（本题满分12分）21.已知关于的方程（为常数），设，为方程的两个实数根，且满足，试求的值．【分析】将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断；由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；∵为方程的两个实数根，∴，．∵∴，∴∴．将，代入，得：，解得：，∴k的值为或．七、（本题满分12分）22.一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：(1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____．(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：①用配方法解：；②用公式法解：；③用因式分解法解：．(3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值．【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得；（2）根据解一元二次方程的方法解答即可；（3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得．【详解】（1）解：由题意，得且，解得；（2）选择方程①由方程；得：，，，，，∴，；选择方程②，，，，，；选择方程③或，；（3），是一元二次方程的两根，代入得：，，且，，．（本题满分14分）23.安徽省黄山市是全国旅游胜