2026年初升高数学暑假衔接讲义：教师版 （A版）板块一

2026年高一暑假讲义

数与式

题型1乘法公式的应用题型5分式的化简求值

题型2立方和、立方差公式的应用题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移

题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）题型7齐次式计算：比值消元

题型4指数与指数幂的运算

知识点1乘法公式

【公式1】平方差公式：a2b2(ab)(ab)

【公式2】完全平方公式：(ab)2a22abb2

【公式3】完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3

【公式4】完全平方公式：(abc)2a2b2c22ab2bc2ca

【公式5】立方和公式：(ab)(a2abb2)a3b3

【公式6】立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3

知识点2指数式

、当时，n.当时，⑴零指数0，

1nNaaaanQa1(a0)

n个a

1

2、负指数an(a0).

an

n

3、分数指数amman(a0,m,n为正整数).

4、幂运算法则：

m

a

mnmnmnmnnnn⑷mn

(1)aaa,(2)(a)a,(3)(ab)ab(a,b0,m,nZ),na

a

知识点3根式

1

2026年高一暑假讲义

式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(a)2a(a0)(2)a2|a|

bb

(3)abab(a0,b0)(4)(a0,b0)

aa

如果有xna，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数．

nn

当n为奇数时，nana，当n为偶数时，a|a|a,a0.

a,a0

知识点4分式

A

1、形如：（其中B中含有字母）的式子叫作分式.

B

2、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.

AANAN

用式子表示为：(N0)

BBNBN

3、无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：x22，x31是无

理式，而x2不是无理式

4、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化

1x1x

因式.例如：x1x.

x1x(x1x)(x1x)

5、有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为

有理化因式.常用的有理化因式有：

①x1x与x1x②xy与xy

1y

6、繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或xy

x1

x1x

等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.

2

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题型1乘法公式的应用

例1、式子aba2b2可恒等变形为（）

A．a3b3B．a22abb2

C．a3ab2a2bb3D．a3ab2a2bb3

【答案】C

【详解】aba2b2a3ab2a2bb3，

故选：C.

2n

【变式训练1】若x9x3x3x81，则n等于．

【答案】4

【详解】解：x29x3x3x29x29x492，

又x29x3x3xn81，

x492xn81，

n4，

故答案为：4．

22

【变式训练2】已知ab7，ab13，则a2b2，ab．

3

【答案】10，

2

2

【详解】∵ab7

∴a22abb27①

2

∵ab13

∴a22abb213②

∴①②得，2a22b220

∴a2b210；

∴①②得，4ab6

3

∴ab．

2

3

故答案为：10，．

2

【变式训练3】（1）已知a2b2c214，abc6，求abbcac的值．

3

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（1）已知ab21,bc21，求a2b2c2abacbc

【答案】（1）11；（2）7

【详解】（1）将abc6两边同时平方得，a2b2c22ab2ab2bc36，

因为a2b2c214，所以2ab2ab2bc22，所以abbcac11；

（2）因为ab21,bc21，

所以abbcac212122，

2

所以aba22abb2322，①

2

bcb22bcc2322，②

2

aca22acc28，③

①+②+③得2a22b22c22ab2bc2ac322832214，

所以a2b2c2abacbc7.

【变式训练4】【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分

沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．

（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：

图1中S阴影，图2中S阴影；

（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：（用含字母a，b的式子表示）；

【应用】请应用这个公式完成下列各题：

（3）①已知m2n2，m2n8，则m24n2的值为：；

②计算x3x3x29；

【拓展】计算

（4）212212412812641的结果为．

22

【答案】（1）a2b2，abab；（2）ababab；（3）①16；②x481；（4）21281．

22

【详解】解：（1）图1中S阴影ab，图2中S阴影abab，

故答案为：a2b2，abab；

4

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22

（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：ababab，

故答案为：ababa2b2；

（3）①由m24n2m2nm2n，

∵m2n2，m2n8，

∴原式2816，

故答案为：16；

②x3x3x29

x29x29

x481；

（4）解：212212412812641

21212212412812641

2212212412812641

2412412812641

28128121612641

216121612641

21281．

故答案为：21281．

题型2立方和、立方差公式的应用

例2、阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用

其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3y3xyx2xyy2；

立方差公式：x3y3(xy)x2xyy2；

3xx22x4

根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x3．

x22xx38

2

【答案】，2

x2

3xx22x4

【详解】

x22xx38

3xx22x4

x(x2)(x2)x22x4

5

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31

x2x2

2

，

x2

2

当x3时，原式2.

32

【变式训练5】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还

可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3y3xyx2xyy2；

立方差公式：x3y3xyx2xyy2.

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：a38；

3xx22x42

(2)先化简，再求值：232，其中x3.

x2xx8x4

(3)利用材料因式分解：x33x24

【答案】(1)a2a22a4；(2)x2，5；(3)x1(x2)2

【详解】（1）原式a2a22a4.

3xx22x4x2x2

（2）原式

2

xx2x2x2x42

31x2x22x2x2

x2.当x3时，原式5.

x2x22x22

（3）x313x21x1x2x13x21x1(x2)2.

【变式训练6】已知函数yax2bxc(a0)满足条件：

(1)对称轴为x1；(2)y的最大值为15；(3)ax2bxc0的两根立方和为17.

求yax2bxc的表达式．

【答案】y6x212x9.

【详解】根据条件①②设二次函数的表达式为ya(x1)215ax22axa15(a0)．

215

设方程ax2axa150的两个根为x1,x2，则xx2,xx1

1212a

332，

x1x2x1x2x1x23x1x217

15

即243117,a6.

a

∴所求表达式为y6x212x9.

6

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题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）

例3、最简二次根式4a3b与b12ab6能合并，则ab．

【答案】2

【详解】解：由题意知，b12，4a3b2ab6，

解得，b1，a1，

∴ab2，

故答案为：2．

1

【变式训练7】若a，b32，则ab．

23

【答案】0

123

【详解】解：∵a23，

232323

∴ab23320，

故答案为：0．

【变式训练8】已知x，y为实数，若满足yx33x2，则xy的值为．

【答案】5

【详解】解：由yx33x2可知，x30，3x0，

∴x3，

∴yx33x22，

∴xy5．

故答案为：5．

【变式训练9】观察与计算：

3236；31312；

1

377__________；252252__________．

3

像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为

互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进

22323663232231

2

行化简．例如：2；2；31；

33382222313131

【应用】

（1）化简：

7

①；②332；

27332

7

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1111

（2）化简：．

42648620242022

73296625062

【答案】7，18，（1）①；②；（2）

9252

【详解】解：观察与计算：

12

37777；

3

22

25225225220218；

777373

（1）①2；

2733339

222

3323323323322276622966

②22；

33233233233227225

1111

（2）∴

42648620242022

42648620242022

4242646486862024202220242022

42648620242022

222222...22

42648620242022

42648620242022

...

2222

1

426486...20242022

2

1

22024

2

25062

2

【变式训练10】化简根式：

(1)843;(2)743;(3)740;(4)945625

【答案】(1)26;(2)23;(3)26;(4)-3

ab8a22

【详解】(1)8438212，故8432626

ab12b6

2

(2)74372123423

8

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ab7a22

(3)7407210，故7402552

ab10b5

22

(4)9456259220625525152513

题型4指数与指数幂的运算

例4、设a0，下列运算中，正确的是（）

32

A．a2a3a6B．a2a3

32

．26．

CaaDa2a3a3

【答案】C

32

【详解】A中，a2a3a5；B中，a2a6a3a6；C正确；D中，a2¸a3=a-1．

故选：C.

2

11

【变式训练11】阅读理解：如果a1，我们可以先将等式两边同时平方得到a1，再根

aa

1111

据完全平方公式计算得：a22a1，即a221，所以a23．请运用上面的方法

aa2a2a2

21

解决下面问题：如果x22x10，则x的值为．

x2

【答案】6

【详解】解：∵x22x10，

1

∴x2，

x

2

1

即x4，

x

11

∴x22x4，

xx2

1

∴x26，

x2

故答案为：6．

11

【变式训练】（）已知，求1的值；

121x2x25xx

11xyxy

（2）已知x、y，求的值．

23xyxy

【答案】（1）5；（2）46

9

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112

【详解】（1）因为x2x2xx125，

112

11

所以1，即22，解得，

xx21xx1x2x21

1111

可得x2x2x2x2xx15；

22

xyxyxyxy

（2）

xyxyxyxy

11

4

4xy

2346.

11

xy

23

【变式训练13】（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块

小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的

面积，发现了以下等量关系：________．

（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：

2

①ab5，ab6，求ab和a2b2的值；

11

②已知x3，求x2的值．

xx2

22

【答案】（1）mn4mnmn;（2）①1，13，②11

【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，

2

即mn4mn；

2

方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于mn，所以其面积为mn；

22

∴mn4mnmn；

22

故答案为：mn4mnmn；

22

（2）①由（1）可知ab4abab

∵ab5，ab6，

2

∴ab4652，

10

2026年高一暑假讲义

2

解得，ab1，

2

∵aba2b22ab，

∴1a2b226，

∴a2b213．

1

②∵x3，

x

2

12

∴x3

x

11

即x22x329，

x2x

1

∴x211．

x2

题型5分式的化简求值

2x4

例5、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

x1

A．x1B．x2且x1C．x2D．x2且x1

【答案】B

2x4

【详解】解：式子在实数范围内有意义，

x1

2x40且x10，

解得：x2且x1，

故选：B．

x3

【变式训练14】关于分式，下列说法错误的是（）

x24xm

A．当x1,m2时，分式有意义B．当x3时，分式的值为0

C．当x1,m3时，分式没有意义D．当x3,m3时，分式的值为0

【答案】B

【详解】解：A、当x1,m2时，x24xm14270，分式有意义，该选项说法正确，

不合题意；

B、当x3时，x30，x24xm912m3m有可能等于0，故分式可能无意义，该选

项说法错误，符合题意；

；C、当x1,m3时，x24xm1430，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意

D、当x3,m3时，x30，x24xm912m3m0，分式的值为0，该选项说法正

确，不合题意；

11

2026年高一暑假讲义

故选：B．

【变式训练15】先化简再求值：

x1x292x6x21

()，其中；()，其中．

11x2222x1

x3x26x9x4x4x3xx2

41

【答案】(1)，4；(2)，1

x3x

x1x29

【详解】（1）解：1

x3x26x9

x3x1x3x3

2

x3x3x3

2

4x3

x3x3x3

4

，

x3

4

当x2时，原式4；

23

2x6x21

（2）解：

x24x4x23xx2

2x3x21

2

x2xx3x2

21

xx2x2

2x

xx2xx2

2x

xx2

1

，

x

1

当x1时，原式1．

1

a2b22b1

【变式训练16】若实数a，b满足ab2025，ba1，则的值等于（）

a2b2ab

202620242025

A．2025B．C．D．

202520252024

【答案】C

a2b22b1

【详解】解：

a2b2ab

12

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2

a2b1

ababab

2

a2b1

abab1

ab1ab1

abab1

∵ab2025，ba1，

ab1202512024

∴原式．

ab20252025

故选C．

【变式训练17】定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个

分式为“和谐分式”．

x12xx2y21

(1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填

xx2x1y2

序号）；

a22a3

(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；

a1

3x6x1x21

(3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值．

x1xx22x

2

【答案】(1)①③④；(2)a1；(3)x3

a1

x1x11

【详解】（1）解：①1，属于“和谐分式”；

xxxx

2x2x21

②，不属于“和谐分式”；

x2x2x2x2x

x2x111

③1，属于“和谐分式”；

x1x1x1x1

y21y211

④1，属于“和谐分式”；

y2y2y2y2

∴属于“和谐分式”的是①③④，

故答案为：①③④；

a22a3

（2）解：

a1

(a1)22

a1

(a1)22

a1a1

13

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2

a1．

a1

3x6x1x21

（3）解：

x1xx22x

3x6x1x(x2)

x1x(x1)(x1)

3x6x2

x1x1

2x4

x1

2(x1)2

x1

2

2．

x1

∵该式的值为整数，

∴x1±1或x1±2，

解得x0或2或1或3．

又∵x10,x10,x22x0，

∴x0,x1,x1,x2，

∴x3．

题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移

x2k

例6、已知函数y是由反比例函数y平移得到的，求k的值.

1x12x

x2x13x133

【答案】y1k3

1x1x1x1x1x1

x2

【变式训练18】已知函数y，求y的取值范围.

3x4

41041010

xx

【答案】x211

y33333

3x43x43x43x433x43

2x1

【变式训练19】求函数y的对称中心.

x1

2x12x212x211

【答案】y2

x1x1x1x1x1

1右移个单位1下移个单位1

y1y2y2

xx1x1

对称中心：0,0右移1个单位1,0下移2个单位1,2

14

2026年高一暑假讲义

2x1

【变式训练20】已知函数y，求y的取值范围和对称中心.

x1

【答案】y2，对称中心：

2x12x232x233

【详解】y2，

x1x1x1x1x1

3

因为0，故y2

x1

3右移个单位3下移个单位3

函数图像平移：y1y2y2

xx1x1

对称中心：0,0右移1个单位1,0下移2个单位1,2

题型7齐次式计算：比值消元

x

例7、已知：x23xy2y20，则＝．

y

【答案】1或2

x

【详解】等式两边同时除以y2得到()23)20,解方程即可

y

c

【变式训练21】已知：ac0，且c43a2c2a40，则＝．

a

【答案】51

2

cc

【详解】原方程两边同时除以a4得到()43()210,

aa

c35625(51)2c51

解得()2,即得.

a244a2

c

[说明]注意()2是正数，要舍去负根

a

2x3y

【变式训练22】已知：x25xy6y20，则＝．

2xy

9

【答案】5或

13

15

2026年高一暑假讲义

2

yxy1

【详解】原方程两边同时除以x2得到1560解方程可得或1，从而原式

xyx6

y

23

9

=x5或

y

213

x

1

【变式训练23】已知x23x10，求x3

x3

【答案】18

2

11

【详解】1，故原式=

x3xx318

xxx

xy

【变式训练24】若x23y22xy，求

x2y

2

【答案】或2

5

2

2xxx

【详解】原式两边同除y，得230，解得3或1

yyy

x

1

xyy2

则或2

x

x2y25

y

一、单选题

x3

1、在函数y中，自变量x的取值范围是（）

2x

A．x3且x0B．x3且x0C．x0D．x3

【答案】A

【详解】解：由题意知：x30且2x0，

解得：x3且x0；

故选：A．

2、下列结论正确的是（）

A．(6)26B．(3)29

16

2026年高一暑假讲义

2

1616

．2．

C(16)16D

2525

【答案】A

【详解】对于A选项：(6)2366，故A正确；

22

对于B选项：333，故B错误；

对于C选项：(16)225616，故C错误；

22

16416

对于选项：，故错误

DD.

25525

故选：A.

1111

3、计算的值为（）

24466898100

491471294

A．B．C．D．

200100200200

【答案】A

111111111111

【详解】原式

224246246298100

111111111

224464698100

11149

.

22100200

故选：A.

4、如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式

（）．