小升初数学“最值问题”培优专题教学设计（六年级）

小升初数学“最值问题”培优专题教学设计（六年级）一、教学基本信息【基础】本课程针对小学六年级即将升入初中的学生设计，属于小升初衔接培优内容。课程主题为“最大与最小问题”，亦称“最值问题”或“极值问题”，是小学奥数中的核心内容，也是初中数学不等式、函数值域等知识的基础。本专题计划课时为4课时，每课时40分钟。二、教学目标设计【重要】依据课程改革理念，注重学生数学核心素养的培养，本课程教学目标设定如下：1.知识与技能：学生能够系统理解和掌握求一组数（或量）的最大值与最小值的基本方法。熟练掌握“和一定，差小积大”及其逆用“积一定，差小和小”的规律【高频考点】。掌握在限定条件下（如整数、互不相同）通过构造极端情形求最值的方法【难点】。理解并能够应用最不利原则解决保证类最值问题【热点】。初步了解离散最值问题中的逐步调整法和估计构造法。2.过程与方法：通过具体情境和典型例题，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程。培养学生的逻辑推理能力、分类讨论思想、数形结合思想以及模型意识。学会用枚举、比较、调整等方法探究最值的规律，并能清晰地表达自己的思考过程。3.情感态度与价值观：激发学生对数学优化思想的兴趣，体会数学在解决实际问题中的价值，如资源配置最优、方案设计最省等。培养学生严谨求实的科学态度和克服困难的探索精神。三、教学重点与难点【非常重要】1.教学重点：掌握“和一定，积最大”与“积一定，和最小”的核心规律及其应用；学会运用最不利原理解答保证类最值问题；掌握通过构造极端情形求特定排名量最值的方法。2.教学难点：理解为何在整数拆分中，拆出的3越多乘积越大；在复杂情境中，识别并抽象出最值问题的数学模型（如和定、积定）；正确运用逐步调整法和估计构造法解决综合最值问题。四、教学方法与准备1.教学方法：采用启发式讲授、探究式学习、变式训练相结合的方法。以问题驱动教学，引导学生从简单问题入手，发现规律，再将规律应用于复杂情境。2.教学准备：多媒体课件（动态展示数字变化与乘积关系、图形变化与面积关系）、精选例题与练习题题单。五、教学过程设计（核心环节）第一课时：奠基核心原理——“和与积”的奥秘（一）情境导入，激发思考师：同学们，在生活中，我们经常面临这样的选择：用同样多的钱，怎么买才能使买到的东西最多？用同样长的篱笆围地，怎么围才能使菜园的面积最大？这些看似不同的问题，背后其实隐藏着相同的数学原理——最大与最小问题。今天，我们就一起来揭开它的神秘面纱。（二）探究新知，发现规律1.枚举比较，初探规律【基础】出示例1：有两个自然数，它们的和是10，当这两个数分别是多少时，它们的乘积最大？引导学生一一列举所有可能的情况：1+9=10→1×9=92+8=10→2×8=163+7=10→3×7=214+6=10→4×6=245+5=10→5×5=25组织学生观察表格，提问：你发现了什么规律？学生通过观察，可以发现：当两个数的和固定时，两个数越接近，它们的乘积越大；当两个数相等时，乘积达到最大。【重要】教师总结并板书核心规律：当两个数的和一定时，它们的差越小，积就越大；当两数相等时，积最大。这可以简称为“和一定，近大积大；相等最大”。2.逆向思维，深化理解出示例2：两个自然数的乘积是36，当这两个数分别是多少时，它们的和最小？同样引导学生列举因数对：1×36=36→1+36=372×18=36→2+18=203×12=36→3+12=154×9=36→4+9=136×6=36→6+6=12学生通过对比发现：当两个数的积固定时，两个数越接近，它们的和越小；当两个数相等时，和最小。【重要】教师总结并板书逆用规律：当两个数的积一定时，它们的差越小，和就越小；当两数相等时，和最小。即“积一定，近小和小；相等最小”。3.推广至多个数师：这个规律能不能推广到三个、四个甚至更多个数呢？出示例3：用长为24厘米的铁丝围成一个长方体（长、宽、高均为整厘米数），长、宽、高如何分配时，这个长方体的体积最大？引导学生分析：长方体棱长总和24厘米，即（长+宽+高）×4=24，所以长+宽+高=6（厘米）。要使体积（长×宽×高）最大，根据刚才发现的规律，就需要让长、宽、高尽可能接近。尝试列举：1，2，3体积=6；2，2，2体积=8。显然，当长=宽=高=2厘米，即围成一个正方体时，体积最大。【重要】教师总结：这个规律同样适用于多个数。当若干个数的和一定时，这几个数越接近（相等时），它们的乘积就越大。（三）巩固练习，内化规律1.用一条长40米的篱笆围一块长方形菜地，长和宽取整米数，怎样围面积最大？最大面积是多少？2.两个自然数的和是15，这两个数的乘积最大可能是多少？第二课时：进阶应用——整数拆分与数字组数（一）回顾旧知，引入新问题师：上节课我们学习了“和一定，积最大”的基本规律。但如果和不是固定为两个数，而是可以拆分成任意多个自然数，又该如何求乘积的最大值呢？这就是我们今天要研究的整数拆分问题。（二）探究整数拆分的最值1.尝试与猜想【难点】出示例1：把自然数14拆分成若干个自然数的和，要求拆出的自然数乘积最大，应该怎样拆？最大乘积是多少？这是一个开放性问题。先让学生独立思考、尝试拆分，然后小组交流。学生可能会出现多种拆分方式，如：14=7+7，7×7=4914=6+8，6×8=4814=5+5+4，5×5×4=10014=4+4+4+2，4×4×4×2=12814=3+3+3+3+2，3×3×3×3×2=16214=2+2+2+2+2+2+2，2^7=1282.引导分析，发现规律引导学生观察比较这些乘积，发现拆分出3的乘积往往较大。教师进一步引导：为什么3是关键？可以从两个角度分析：角度一：如果拆出的数中出现大于4的数，如5，我们可以将其进一步拆分成2+3，因为2×3=6>5，所以乘积会变大。角度二：如果拆出的数中出现1，那么1与任何数a的和（1+a）可以合并为a+1，但乘积从1×a=a变为(a+1)，乘积反而减少了？实际上，引入1不会增加乘积，应尽量避免。比较2和3，2+2+2=6，积为8；3+3=6，积为9。说明3比2更“优越”。【重要】师生共同总结出整数拆分的最值规律：将一个自然数拆分成若干个自然数的和，要使这些数的乘积最大，应尽可能多地拆出3，如果最后剩下1，则应从前面借一个3，与1合并成4（即拆成3+1→2+2）。简记为：“多拆3，少拆2，无1”。3.应用规律解决问题根据规律，14=3+3+3+3+2，最大乘积为3×3×3×3×2=162。验证了之前的猜想。（三）数字组数中的最值1.【高频考点】出示例2：用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字各一次，组成一个两位数和一个三位数，要使这两个数的乘积最大，应组合成哪两个数？分析：要使乘积最大，两个乘数都应尽可能大，但还要考虑“和一定，差小积大”的规律。这两个数的和是固定的吗？不是。这里需要运用“接近原则”。第一步：确定两个数的最高位。两个数的和一定时，差越小积越大。为了和最大，两个数的最高位应尽可能大，同时还要考虑次高位。先确定首位：9和8应该分别作为两个数的首位，这样和才能最大。第二步：确定次高位。问题转化为：在9□和8□（以及剩下的数字）中，如何分配剩下的数字使乘积最大？根据“差小积大”，我们需要让这两个数尽可能接近。9□和8□，9开头的数本身已经比8开头的数大了，所以我们应该让9开头的数尽可能小，让8开头的数尽可能大，以缩小差距。因此，9后面应跟最小的数字1，即91；8后面应跟剩下的最大数字7，即87。此时两个数为91和87，差为4。第三步：剩下2、3、4、5、6五个数字。同理，要构造一个三位数和一个两位数，继续遵循“和一定，差小积大”的原则。我们将两个新数的首位分别设为剩下的最大数字6和5，即6□和5□（这里的□代表后面要跟的数字）。为了使两个数接近，让6开头的数尽可能小（后跟2），5开头的数尽可能大（后跟4），得到62和54。第四步：最后剩下3，应添加到较小的数后面？还是较大的数后面？此时已有四位数？不对，我们是在构造三位数和两位数。实际组合为：91和87已经确定，剩下数字组成的三位数和两位数是623和54？还是624和53？我们需要计算并比较。最终通过验证，得到最优组合为91和87，以及623和54？但这样乘积并非最大。经典解法是采用逐步逼近法：先确定高位，再逐位调整。经过计算和比较，一个常见的最优解是94×862或95×861等。教师在此应引导学生用计算器验证多组数据，体会“接近”原则在数位较多时的应用。最终给出一个结论：当两个数的和最大时，它们的差最小，乘积最大。因此，应从使两个数的和最大（即尽可能用大的数字占高位）的同时，尽力调整使两数差最小。【重要】教师总结数字组数求最大乘积的策略：先确定最高位（用最大的两个数），然后逐位调整，遵循“使两个数尽可能接近”的原则。（四）课堂练习1.把19拆成若干个自然数的和，怎样拆才能使乘积最大？最大乘积是多少？2.用2、3、4、5、6、7这六个数字组成一个三位数和一个三位数，怎样组合乘积最大？第三课时：模型构建——特定排名与最不利原则（一）特定排名的极值问题1.【难点】问题引入：数学考试，满分100分，6位同学的平均分是91分，他们的得分互不相同，其中得分最少的同学得了65分，那么，第三名同学至少得多少分？分析：这是一个典型的“已知总和与排名，求中间某值的最值”问题。其核心思想是“在总量固定的前提下，求某个量的最大值，就要让其他量尽可能小；求某个量的最小值，就要让其他量尽可能大”。本题要求第三名“至少”得多少分，即求第三名的最小值。那么，在总分固定的情况下，我们应让其他同学的得分尽可能高。第一步：确定总分。91×6=546分。已知最低分65分，则其余5人总分为54665=481分。第二步：构造极端情形。要使第三名尽可能小，那么第一名和第二名应尽可能大，且分数互不相同，最高为100分，其次为99分。此时，前三名（第一、第二、第三）的总分被第一、第二的高分压低了第三名的空间。但更精确的构造是：让第一名最高（100分），第二名次高（99分），同时，为了让第三名尽可能小，第四名和第五名在保证互不相同且大于65分的前提下，也应尽可能大，这样才能“挤占”第三名的分数？不对，求第三名的最小值，需要让除了第三名以外的所有人（第一、第二、第四、第五）都尽可能大，这样剩下的第三名自然就最小了。第三步：极端情况构造。第一、第二已经取最大100和99。第四名和第五名要尽可能大，且分数是整数，互不相同，还要大于65分，同时要小于第三名（因为分数排名从高到低）。我们并不知道第三名是多少，所以这是一个变量。我们可以用不等式来解决。设第三名为x分，则第四名最多为x1分，第五名最多为x2分。第四步：列不等式。100+99+x+(x1)+(x2)≥481（因为总分是481，这里用“≥”是因为我们让第四、第五尽可能大，如果这个最大值之和已经超过481，说明x太小了，需要调大；如果这个最大值之和等于481，那么x就是最小值；如果小于481，说明x可以更小，但必须满足整数条件，我们可以再调整）。化简：100+99+3x3≥481→196+3x≥481→3x≥285→x≥95。第五步：验证。x=95时，第四名为94，第五名为93，总和为100+99+95+94+93=481，符合条件。且95、94、93、65均不重复。所以第三名至少得95分。【重要】师生共同总结解题模型：求第k个量的最小值（最大值），需构造一个极端序列，让比它大的量尽可能大（小），比它小的量也尽可能大（小），然后利用总和条件列出不等式求解。（二）最不利原则1.【热点】情境引入：一个口袋里有大小相同的红球5个，黄球4个，蓝球3个。请问，至少取出多少个球，才能保证取出的球中有两种颜色？分析：“保证”一词意味着无论运气多差，都能满足条件。这就需要我们考虑“最不利”或“最不凑巧”的情况。第一步：明确目标。目标是“有2种颜色”。第二步：思考最坏情况。最坏的情况就是，我们一直在取同一种颜色的球，直到这种颜色被取完，还没出现第二种颜色。哪种颜色最多？红球最多，有5个。最坏的情况就是先取出了5个红球，此时只有一种颜色。第三步：再取一个。当我们取完5个红球后，再取任意一个球（无论是黄还是蓝），都会出现第二种颜色。第四步：得出结论。所以，至少要取5+1=6个球，才能保证一定有2种颜色。2.变式训练：至少取出多少个球，才能保证取出的球中有三种颜色？分析：目标是“有3种颜色”。最坏的情况是，我们取出了两种颜色的所有球，还没取到第三种。两种颜色总数最多的组合是红+黄：5+4=9个。取完这9个，再取1个（必然是蓝），就凑齐三种颜色。所以答案是9+1=10个。【重要】教师总结最不利原则解题思路：目标的反面是最不利情况。先找到达成目标的最坏（数量最多）的阻碍情形，然后在这个基础上加“1”，即可保证达成目标。（三）巩固提升1.5个同学的身高总和是825厘米，他们身高互不相同，都是整数厘米，其中最矮的是158厘米，那么第三高的同学最多是多少厘米？2.一副扑克牌有54张，包括大小王。至少抽出多少张，才能保证至少有2张牌点数相同？第四课时：综合拓展与建模应用（一）多集合极值问题【拓展】出示例题：某班有50名学生，报名参加语文、数学、英语三个兴趣小组。报名语文的有35人，数学的有40人，英语的有30人。问至少有多少人三个小组都报了？分析：这是一道多集合的极值问题，求的是“三个都报”的最小值。我们可以从反面考虑。三个都报的人数最少，意味着“至少有一个小组没报”的人数最多。全班总人数为50。没报语文的有5035=15人，没报数学的有10人，没报英语的有20人。假设这些“没报”的人都是不同的人，那么至少有一个小组没报的人数最多为15+10+20=45人。因此，三个小组都报了的人数最少为5045=5人。【重要】教师总结模型：求多个集合交集的至少问题，一般转化为求各个集合补集的并集至多问题。即：全部人数(各集合补集人数之和)=交集至少数。这里需要假设补集之间互不重叠，以使并集最大。（二）实际生活中的优化问题1.出示例题：某商店运来一批衬衫，成本每件80元。若按每件100元出售，每天可卖出200件。市场调查发现，每降价1元，日销售量可增加10件。问售价定为多少元时，商店每天的利润最大？分析：这是一个典型的二次函数最值问题，可以用小学的“和一定”规律来解决。设降价x元，则售价为(100x)元，每件利润为(100x)80=(20x)元。日销量为(200+10x)件。总利润=(20x)×(200+10x)。为了应用“和一定”规律，我们观察两个因式(20x)和(200+10x)。它们的和：(20x)+(200+10x)=220+9x，这不是一个定值，而是随x变化的。因此不能直接套用。我们可以将(200+10x)变形为10(20+x)。那么总利润=10×(20x)(20+x)。现在要求(20x)(20+x)的最大值。这两个数的和是(20x)+(20+x)=40，是一个定值！根据“和一定，差小积大”，当20x=20+x时，即x=0时，乘积最大？这显然不对，因为降价通常会增加利润。问题出在哪里？注意，x是降价，x不能为负。当x=0时，和为40，差为0，积为400，利润为4000。但若x=5，则(15)×(25)=375，小于400。如果x=5(即涨价5元)，则(25)×(15)=375，同样小于400。这说明在x=0时，乘积确实最大。但实际经验告诉我们，往往需要降价。我们需要检查变量的定义域。如果允许涨价(x为负)，则x=0是最优点。但问题在于，当x为正时，(20x)和(20+x)的和依然是40，但随着x增大，两数差(2x)增大，积减小。所以，从纯数学角度，不降价利润最大。然而，很多题目设定中，单位利润与销量存在反向关系，最终利润往往在中间某点取得最大值。这是因为此处我们错误地配凑了。正确配凑应为：设提价x元，则利润=(20+x)，销量=(20010x)，总利润=(20+x)(20010x)=10(20+x)(20x)。此时(20+x)与