4.5函数的极值与最值及其应用

数列极限的定义01.收敛数列的性质02.内容小结03.01020403函数的极值经济问题举例最大值与最小值内容小结第五节函数的极值与最值及其应用

第五节函数的极值与最值及其应用一、函数的极值任意，都有.在的邻域内函数值最大.

任意，都有.在的邻域内函数值最小.

第五节函数的极值与最值及其应用定义1

设函数

在区间内有定义，是在区间内一点.如果存在点

的某去心邻域，对去心邻域

内的任何点,总有（或）则称

是函数的一个极大值（或极小值）.而称

为函数

的极大（或极小）值点

（统称为极值点）.注：（1）函数的极大值和极小值概念是局部的.如果对于

的整个定义域来说，

是极值但是不一定是最值．第五节函数的极值与最值及其应用（2）若函数有极值，则其极值不一定唯一.，是

极大值，

，，是极小值极大值

比极小值还小.此函数在极值点的处的切线是水平的.未取得极值第五节函数的极值与最值及其应用定理1(极值存在的必要条件)

设函数

在点

处可导，且在

处处取得极值，那么函数

在处的导数为,即.注：（1）可导的极值点一定是驻点.（2）可导的函数的驻点不一定是极值点.例如：，，是驻点，但不是极值点.

(3)在导数不存在的连续点处，函数也可能取得极值.例如:在处导数不存在，但在该点却取得极小值0.第五节函数的极值与最值及其应用定理2(第一充分条件)设函数

在处连续，且在

的某去心邻域内可导.(1)如果当

时，；而

时，；那么函数

在处取得极大值；(2)如果当

时，；而

时，；那么函数

在处取得极小值；(3)如果当

时，的符号保持不变，那么

在处没有极限.第五节函数的极值与最值及其应用根据上面的定理，我们可以按下列步骤来求函数的极值：(1)求导数；(2)求

出的全部驻点与不可导点；（3）考察这些点两侧的

符号.（4）确定这些点是否是极值点，并求

的极值.第五节函数的极值与最值及其应用例4-45

求函数

的极值.解函数

的定义域为.令,求得驻点.

极大值极小值第五节函数的极值与最值及其应用因此函数

的极大值为极小值为

，.第五节函数的极值与最值及其应用例4-46

求函数

的极值.解函数

的定义域为不存在极大值.第五节函数的极值与最值及其应用定理3(第二充分条件)设函数

在处具有二阶导数且

，，那么(1)当

时，函数在处取得极大值；(2)当

时，函数在处取得极小值；证（1）当在的足够小的去心邻域内时，第五节函数的极值与最值及其应用但,所以.因此，当

时，；

当

时，.所以

在处取得极大值．类似地可以证明情形(2)．注：如果函数

在驻点的二阶导数不等于零，那么该驻点

一定是极值点.第五节函数的极值与最值及其应用例4-47

求函数

的极值.解函数

的定义域为令，得

或.因此

是函数的一个极大值.，因此

是函数的一个极小值..第五节函数的极值与最值及其应用例4-48

求函数

的极值.解函数

的定义域为.令，得

,

,.

因，故在处取得极小值，极小值为因，用定理3无法判别．第五节函数的极值与最值及其应用考察一阶导数

在驻点

及左右邻近的符号.当取左侧邻近的值时，，

当取右侧邻近的值时，，

所以

在处没有极值.同理

在处没有极值.注：第一充分条件可以用来判断一阶导数等于零的点和导数不存在的点是否为极值点，第二充分条件只能用来判断驻点是否为极值点.第五节函数的极值与最值及其应用二、最大值与最小值在现实生活中，工农业生产、工程技术及科学实验中，经常会遇到这样的问题：？?？怎样才能使产量最多、成本最低、用料最省、利润最高、效率最高？这些问题常常涉及到如何在给定的条件（或约束条件）下实现最优解

,在数学上称为优化问题.有些优化问题可归结为求某个特定函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题．第五节函数的极值与最值及其应用函数的最大值和最小值统称函数的最值．显然，函数的最值是指某区间上的最大值和最小值，是整体性概念.下面我们分两种情况来讨论.1.目标函数在闭区间上连续函数

在闭区间

上连续，在上一定有最大值和最小值.第五节函数的极值与最值及其应用求连续函数在闭区间上最值的步骤:（1）求出

在内的驻点，，，及不可导点

，，，;（2）计算出,及.（3）比较（2）中各个值的大小，其中最大的值是

在上的最大值，最小的值是

在上的最小值.第五节函数的极值与最值及其应用例4-49求函数

在上的最大值和最小值.解

由于

在上连续，故函数在有最大值和最小值.令，得

(舍),.

因为,，，.所以在闭区间的最大值为，最小值.第五节函数的极值与最值及其应用例4-50求函数

在上的最大值和最小值.解

在处不可导，令

，得驻点.因为.所以函数

在的最大值是

，最小值是.第五节函数的极值与最值及其应用

例4-51

铁路线上AB段的距离为km．工厂C距A处为km,AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂C修筑—条为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处?公路.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为.

解

设(km),那么

，

总运费（为某个正数）（）第五节函数的极值与最值及其应用令，得(km).由于，，其中以

最小，因此当km时，总运费为最省．第五节函数的极值与最值及其应用开区间内的连续函数不一定有最大、最小值。2.目标函数在开区间内连续若函数满足下列两个条件：（1）在开区间内有且仅有最大（小）值；（2）在开区间内只有一个可能取得极值的点.那么可断定这个极值点一定是函数的最大（小）值点.第五节函数的极值与最值及其应用例4-52

敌人乘汽车从河的北岸

处以的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸处向正东追击，速度为.已知河的北岸和南岸平行，且两岸间的垂直距离为，且点到点的初始水平

距离为.问我军摩托车何时射击最合适？解设我军从

处发起追击至射击的时间为.

敌人到我军的距离为.第五节函数的极值与最值及其应用令，得.这是目标函数在

内唯一的驻点，故一定是最小值点，因此我军摩托车在开始追击后的

是最佳射击时机.第五节函数的极值与最值及其应用三、经济问题举例例4-53已知一家企业的总收益为

，总成本.企业追求最大利润，政府对企业按单位产量征收税收，每单位产品需缴纳税额.（1）在企业取得最大利润的情况下，求政府征税收益的最大值及此时对应的单位产品税额

；（2）分别求出企业在征收税收前后的最大利润.第五节函数的极值与最值及其应用解

因为企业的每单位产品需缴纳税额,所以纳税后的总成本函数是：

由,得驻点由

及驻点的唯一性知：

是最大值点.第五节函数的极值与最值及其应用此时的征税收益函数为由,得唯一驻点.由

，知当时，，此时取得最大值.(2)征税后的最大利润：

征税前的利润：

征税后的最大利润：第五节函数的极值与最值及其应用例4-54

某科技公司正在研发一款新的智能手环.据初步估算，这款手环的固定开发和生产准备成本为

元.此外，每个手环的生产成本（包括材料费和直接劳动成本）为

元.市场调研显示，手环的销售价格（元/个）与预计销量（个）之间的关系可以表示为,这里

是单个手环的售价，

是销量.假设公司的生产和销售处于平衡状态,

确定能使公司利润最大化的手环售价.第五节函数的极值与最值及其应用解

成本函数驻点为：.由

及驻点的唯一性知

，

时，

利润最大.第五节函数的极值与最值及其应用例4-55某房地产公司有

套公寓要出租，当租金定为每月

元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加

元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费

元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？

解

设房租为每月

元，则租出去的房子有

套，故每月总收入为第五节函数的极值与最值及其应用令时，可得.是内唯一的驻点，一定是最值点.故每月每套租金为

元时，收入最高，且最大收入为第五节函数的极值与最值及其应用拓展题例4-56

设函数

由参数方程确定，求的极值和曲线

的凹凸区间及拐点.解第五节函数的极值与最值及其应用令

，得当

时，，且，因此

是函数的极小值.令

，得凸拐点凹拐点凸第五节函数的极值与最值及其应用例4-57设函数

在的某邻域内有直到

阶的连续导数，且试证：