正方形的判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章

特殊平行四边形4

正方形的性质与判定

第2课时

正方形的判定

知识关联探究与应用 课堂小结与检测1.探索并证明正方形的判定定理，会进行相关的证明与计算，进一步发展推理能力。2.了解中点四边形。3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。学习目标正方形的定义正方形的性质正方形的对角线相等并且互相垂直平分。有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。正方形的四个角都是直角，四条边相等。如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？知识回顾四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系四边形平行四边形正方形菱形两组对边分别平行(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)两条对角线互相平分两组对角分别相等四条边都相等有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等，且有一个角是直角有三个角是直角有一个角是直角（或对角线相等）有一组邻边相等(或对角线互相垂直)距形有一个角是直角(或对角线相等)

【探究】正方形的判定定理【思考·交流】

满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?探究与应用

判定一个四边形是正方形的基本方法:(1)直接用正方形的定义判定,即先判定四边形是平行四边形,若这个平行四边形有一个角是直角,并且有一组邻边相等,那么就可以判定这个平行四边形是正方形;(2)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形;

【探究】正方形的判定定理【思考·交流】满足什么条件的菱形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?探究与应用

判定一个四边形是正方形的基本方法:(3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形,那么这个四边形是正方形.

后两种判定方法均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.问题1 满足什么条件的矩形是正方形?你能证明这两个猜想吗?ADBCO平行四边形四个角为90°对角线相等邻边相等（利用正方形的定义猜想）对角线垂直（利用正方形的性质猜想）猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。ADBCO

【探究】正方形的判定定理求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。求证：四边形ABCD是正方形。证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。ABCD∟

【探究】正方形的判定定理探究与应用

【探究】

正方形的判定定理

证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴BD是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴矩形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

证明:对角线互相垂直的矩形是正方形.

已知:如图,在矩形ABCD中,AC⊥BD,求证:矩形ABCD是正方形.正方形的判定定理定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形。定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。ABCDO

【探究】正方形的判定定理问题2 满足什么条件的菱形是正方形?你能证明这两个猜想吗?ACBDO平行四边形四边相等对角线互相垂直有一个角是直角（利用正方形的定义猜想）对角线相等（利用正方形的性质猜想）ADBCO猜想：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。

【探究】正方形的判定定理求证:有一个角是直角的菱形是正方形。如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证:四边形ABCD是正方形。证明:∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。

【探究】正方形的判定定理探究与应用

【探究】

正方形的判定定理

证明:对角线相等的菱形是正方形.

已知:如图,四边形ABCD是菱形,且AC=BD.

求证:四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形。定理4：对角线相等的菱形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形。ABCDO

【探究】正方形的判定定理探究与应用

【探究】

正方形的判定定理

注意：

1.由于判定平行四边形、菱形、矩形的方法各异,所给出的条件各不相同,所以判断一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形是矩形,所以是菱形又是矩形的四边形是正方形.

【理解应用】探究与应用

例

已知:如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.

探究与应用

【探究】

正方形的判定定理【尝试·思考】(1)如图,四边形ABCD是正方形,以它四边的中点为顶点的四边形,是一个怎样的四边形?先猜一猜,再证明你的猜想.如果四边形ABCD是矩形呢?(2)类比上述问题,你还能提出什么问题?你能解决它们吗?(3)在上述问题的解决过程中,你发现了什么规律?请说明理由.

你能总结中点四边形的形状吗？

MN∴四边形A1MON是平行四边形，∴∠MA1N=∠AOB=90°。∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。

【探究】

正方形的判定定理矩形的中点四边形矩形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形是菱形。你能试着证明这个结论吗？

【探究】

正方形的判定定理已知：如图，点E，F，G，H

分别是矩形ABCD

各边的中点。求证：四边形EFGH

为菱形。证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD。∴四边形EFGH为平行四边形。又∵四边形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）。

【探究】

正方形的判定定理菱形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形。你能试着证明这个结论吗？菱形的中点四边形

【探究】

正方形的判定定理已知：如图，点E，F，G，H

分别是菱形ABCD

各边的中点。求证：四边形EFGH

为矩形。证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD。∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形。又∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°。∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）。原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形菱形菱形矩形正方形正方形（3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。探究与应用

【拓展提升】

如图,M是矩形ABCD的边AD的中点,P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并说明理由;(2)在(1)的情形下,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF为正方形?为什么?解：（1）矩形ABCD的长与宽满足AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．理由如下：∵AD=2AB，M点为AD的中点，∴AB=AM=DM=CD，∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，∴∠AMB=45°，∠DMC=45°，∴∠BMC=90°.∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠PEM=∠PFM=90°，∴四边形PEMF为矩形；探究与应用

【拓展提升】

（2）当P点运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．理由如下：∵P点为BC的中点，∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，∴PE=PF，∴矩形PEMF变为正方形．

如图,M是矩形ABCD的边AD的中点,P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F.(2)在(1)的情形下,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF为正方形?为什么?

【小结】课堂小结与检测4种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组