数学广角-数与形-2024-2025学年六年级上册数学人教版

7"匚上二数与形

二—

【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】

:】f】

编者的话：同学们，恭喜你己经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的

B学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面清讲,

易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、

1单元知识点解决问题!2024年8月D

目录导航资料说明

第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。

第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。

第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。

第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。

第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。

第一部分思维导图

从简单图形入手分析

息结数的规律

用规律解决图形问题

数与形

数形结合

充度不根据题意，画出图形

找出规律，根据规律计算

第二部分知识精讲

知识清单+方法技巧

【算术中的规律知识点归纳】

在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的

结果.

例如：1X1=1；

11X11=121；

111X111=12321；

1111X1111-1234321；

通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1,且个数相同.积里的数字呈对称形式，

且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出.

①一个数乘11,101的规律

一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算.

如：123X11=1353

123

卜N\

一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算.

如:58734X101=5932134

5935134

②一个数乘5,15,25,125的规律

一个数乘5,转化为一个数乘10,然后，再除以2.

如：28X5=28X10+2=280+2=140

这种情况可以概括为“添。求半”.根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2,再乘10.

如:28X5=284-2X10=14X10=140.即“求半添0”的方法.

一个数乘15,可分解为先用这个数乘10,再加上这个数乘5,乘5的方法同上.

如：264XI5=264X10+264X5=2640+264X104-2=2640+26404-2=2640+1320=3960.

这种情况可以概括为“添0补半”

一个数乘125,因为125X8=1000,所以，可将一个数乘125转化为先乘1000,再除以8,或先除以8,

再乘1000.

如：864X125=864X10004-8=8640004-8=108000.

【数列中的规律知识点归纳】

按一定的次序排列的一列数，叫做数列.

（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中.

例如：1,2,3,4,5,6…相邻的差都为1；

1,2,4,8,16,32…相邻的两数为2倍关系.

（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律.

例如；1,0,0,1,1,0,0,1…从左到右，每四项为一组；

1,2,3,5,8,13,21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和.

（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律.

例如，12,15,17,30,22,45,27,60…在这里，第1,3,5・・•项依次相差5,第如4,6…项依次相差

15.

（4）相邻两数的关系中隐含着规律.

例如，18,20,24,30,38,48,60…相邻两数依次差2,4,6,8,10,12—

式”的规律知识点归纳】

把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容.在探索“式”的规律时，要从组成“式”

的要素中去探索.

【数与形结合的规律知识点归纳】

在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对弥和左右对称），另一方面要考虑数的排列

规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题.

【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】

列方程解应用题的步骤：

①弄清题意，确定未知数，并用x表示.

②找出题中数量之间的相等关系.

③列方程，解方程.

【解答】解：（1）第五次摆法如图:

o•o•O

••0•0

000*0

Q。。。。

(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

=(1+19)X104-2

=20X104-2

=100(枚)

答：摆第10次时，一共需要100枚棋子.

(3)3+7+11+15=36(枚)

1+5+9+13=28(枚)

答：摆第8次时，黑棋子一共有36枚，白棋子一共有28枚.

故答案为：100；36；28.

【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图形的规律，并运用规律做题.

例题2：明明用用棋子摆出了下面三个图案。

・••••

如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？

【答案】25枚。

【分析】根据图案得出规律，每个图案中间是一枚黑色围棋子，第I个图案外围每边各有I枚，共有I

X4+l=5（枚）；第2个图案，外围每边各有2枚，共有2X4+1=9（枚），第3个图案外围每边各有3

枚，共有3X4+1=13（枚），以此类推即可。

【解答】解：根据分析可知，第1个图案共有1X4+1=5（枚）;

第2个图案共有2X4+1=9（枚）；

第3个图案共有3X4+1=13（枚）；

第〃个图案共有〃X4+1=（4n+l）（枚）；

所以第6个图案共有6X4+1=25（枚

故答案为：25枚。

【点评】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联

想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论。

例题3：像如图那样用小棒摆三隹形，请你算一算。摆1（）个三角形用多少根小棒？摆〃个三角形呢？

【答案】21根：（2〃+1）根。

【分析】根据图示发现：摆I个三角形需要小棒：（1+2）根；摆2个三角形需要小棒：（1+2+2）根；摆

3个三角形需要小棒：（1+2+2+2）根；依此类推……摆〃个三角形需要小棒：（2X〃+1）根。据此解答。

【解答】解：摆〃个三角形需要小棒：2X〃+1=（2/7+1）根

当〃=10时，

2X10+1

=20+1

=21（根）

答:摆10个三角形用21根小棒;摆〃个三角形用（2〃+1）根小棒。

【点评】本题主要考查数与形结合的规律，解题关键是根据图示发现这组图形的规律，并运用规律解决

问题。

例题4：一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人.像这样共几张

桌子拼起来可以坐50人.

△△△△11

△△

△△△△△△

【答案】见试题解答内容

【分析】由一张桌子坐6人，两张桌子坐10人，三张桌子坐14人,可以发现每多一张桌子多4个人,

由此用字母表示这一规律，然后代值计算.

【解答】解：1张桌子可坐2X1+4=6人，

2张桌子拼在一起可坐2X4+2=10人，

3张桌子拼在一起可坐4X3+2=14人,

所以五张桌子坐4X5+2=22人,

那么〃张桌子坐（4〃+2）人.

当共有5（）人时，

"+2=50

4〃=48

〃=12

答：这样共12张桌子拼起来可以坐50人.

【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律，利用规律解决问题.

第四部分高频真题

1.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，第6个图形需要黑色棋子

多少个？则第〃（〃是大于0的整数）个图形需要黑色棋子多少个？

△ooo

2.海安某步行街要铺设一条人行道，人行道长400米，宽1.6米.现在用边长都是0/米的红、黄两种正

方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）.

（1）请帮忙算一算，铺设这条人行道一共需多少块地砖？（不计损耗）

（2）铺设这条人行道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗）

3.校如图方式摆放餐桌和椅子，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，……30张桌子可以坐多少人？

O。OOOOOOOO。O

CIIdII1IIIId

4.一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，13张桌子并一

排可以坐多少人？如果一共有42人，需要并多少张桌子才能坐下？

O。。O。ooooooo

o|Hoo|I|oo|II|o

oooooooooooo

5.某饭店的餐桌都是能坐4人的正方形，当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条，

但每张桌子不能有空位，问如果团体客人是22人，那么需要几张桌子？

6.已知摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根……按照这样的

规律，摆15个三角形需要多少根小棒？用79根小棒可以摆多少个三角形？

7.一块长方形农田，种大豆的面积比整块农田的一半少300平方米，其余的1200平方米种玉米。这块农

田的面积是多少平方米？（先在图中标出种大豆和玉米的面积，再解答）

8.观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？

IW1[-ZV1

<><><s>…

9.按下面的方式楔桌子和椅子，一张桌子可以坐4人，两张桌子可以坐6人……

（I）照这种方式摆下去，10张桌子可以坐多少人？

（2）〃张桌子可以坐多少人？

（3）坐60人需要多少张桌子？

◎—cQOQ.…

10.住住摆小棒（如图），照这样摆下去，第5个图形有多少根小棒？第8个呢？

口口口口口口…

11.把表格补充完整并I可答问题.

（1）下图是用火柴棍摆出的长方形.填表后，想一想有什么规律.

摆长方形23456

的个数

用火柴的

根数

12.探索与发现。

圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个BI柱的底面直

径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）

明明用下面这样的方式进行研究：

序号图①图②图③...

图形G……

Fa

圆柱的个数136……

绳子的长度/厘米87r811+8X38K+8X6……

（1）若按此规律继续摆，图④中有_________个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是______________

（2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图◎中绳子长度是多少厘米？（n取3.14）

13.用小棒摆六边形，如图所示。

六边形的个数图形小棒的根数

r1o$]

2CO6+5

3COO6+5+5

•••••・

（1）你能发现什么规律？按这个规律摆〃个六边形，需要__________一根小棒。

（2）按这个规律摆150个六边形，需要__________根小棒。

14.按照前两组的规律填数，你知道第三组的“？”处应该填几吗？

电⑥境

15.六（2）班教室有一些大小一样的塑料凳。1个塑料凳的高度是41。〃?,2个叠放在一起的高度是45。〃,

3个叠放在一起的高度是4加7〃，如图。按照这种规律，。个图料凳叠放在一起的高度是多少

16.如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。

（1）如果连续用“十字”分割4次，分成了个正方形。

（2）如果连续用“十字”分割〃次，会分成个正方形。

（3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割次。

17.用一根长96。〃的绳子在地上摆正方形.当这根绳子摆出4B个正方形时，正方形的边长是多少厘米？

顶点有几个？

□田二-

18.工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放I根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆

木材一共有20层，一共有多少根木材?

19.附加题.

用火柴棒搭六边形.

000000…

(I)m=___________

（2）用2016根火柴棒能搭成多少个六边形？

20.表中一共有50个奇数，实线框出的5个数之和是115,仔细观察后回答问题.

5：791519

21：23:252729333353739

414345：475：53555759

：61:6365：67697：73757779

：81：8385：8789993959799

（1）你能发现每次框出的5个数的和与中间数有什么关系？

（2）如果框出的5个数的和是255,应该怎样框？（用彩笔住图中框一-框）

（3）能框出和是200的5个数吗？为什么？

（4）一共可以框出多少个大小不同的和？

21.孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变;II的孙悟空也

能每次拔•根亳毛变成一个孙悟空，每次变化的时间是2秒钟（一个孙悟空•次只能拔•根亳毛）。如果

要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？请你用喜欢的方式将你的想法展示出来。（画图、列表、列

式等方式均可）

22.如图所示，这是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去,当每边摆上20根火柴棒时（即

〃=20）,需要多少根火柴棒？

△&

23.

我用火柴棍摆了15个三角金

△△△形。

4我用和你同样多的火柴棍摆

矍，

五边形，能摆多少个？

24.一张长方形桌子可以坐6个人,按照卜.图的方式摆放桌椅。

OOOOOO

§□§§m§OO

o|II|o

OOOooo

（1）像这样摆下去，X张桌子可以坐多少人？

（2）当x=15时，一共可以坐多少人？

（3）像这样，摆多少张桌子可以坐60人？

25.如图是由边长为1的正方形按照某种规律排3可而成的。

I.口

—►——

B™m■—<■

（1）观察图形，填写下表。

图形①②③

正方形的个数818

图形的周长

（2）推测第〃个图形中，正方形的个数为,周长为o

26.用正力形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个举行侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两

种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）

4方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面

现有19章硬纸板，裁剪时x张用4方法，其余用B方法

（1）用x的代数式分别表示出裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做出多少个盒子?

27.先观察前三题计算结果，再直接写出最后两题的得数。

0.110.11=0.21

0.1+0.11+0.111=0.321

0.1+0.11+0.111+0.1111=0.4321

0.1+0.11+0.111+0.1111+-+0.1111111=

0.1+0.11+0.111+0.1U1+-+0.111111111=

28.观察如图，回答问题。

（1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？

（2）摆第〃个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。

AA7AAA7V

①②③④

29.我们在初中的数学学习中将会经常用到后面的这个公式：〃2-力2=（a+b）X（〃-〃），这个公式我们称

为平方差公式，请你利用这个公式，解决下面这个数学问题。如图所示，边长分别为1、2、3、4、…、

2013、2014的正方形叠放在一起，则图中阴影部分的面积是多少？

0123420112014

30.晨晨用火柴棒摆出如图这个图形，摆两个独立的这样的图形一共要用多少根火柴棒？

zW\

31.小红用黑白两种方块照下图这样拼图.

於出

//

图I图2IM3

（1）观察图形并填表.

图序123……

图中黑方块的个数4……

（2）思考问题并填空.

①图序为10的图中黑方块有个；图序为〃的图中黑方块有个.

②小红拼成的一个图中白方块有26个，这个图的图序为.

32.一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起.

（1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子拼在一起可坐多少人？

（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼

成8张大桌子，共可坐多少人？

（3）若在（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐多少人？

33.用6根同样长的小棒可以摆成一个正六边形（如图①），再接着摆下去（如图②、③、④），图⑧一共

需要多少根小棒？

OCPCPDCRP

①②③④

34.辉辉和同桌合作摆三角形（如图），摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒……请你根据

这样的条件，把如表填写完整。

摆1个摆2个摆3个……摆6个……摆10个

3根5根......

根根根

35.按如图中的方式摆放三角形积木，如果最下层放21块，那么共需放几层？

AA.

36.用小棒摆三角形如图：

摆1个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形

要用9根小棒。

（1）照这样，摆5个三角形要用根小棒，摆6个三角形要用根小棒。

（2）照这样摆下去，摆20个三角形要用_______根小棒。摆〃个三角形要用___________根小棒.

（用含有〃的算式表示）

A△/△△△△/

3根5根7根<，根

37.如图所示，用同样的小棒摆三角形。

①像这样摆下去，摆〃个三角形，需要____________根小棒。

②当〃=go时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数.5

A<7AAA7V

38.•种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐集按如图方式进行拼接.

（1）若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐人；若把8张这样的餐桌拼接起来，四周

分别可坐人.

（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

0|…|0

39.快乐提升：

如图，摆一个三角形用3根小棒，增加2根，可以摆出一个平行四边形，继续增加2根，摆出一个梯形，

照这样摆下去，21根小棒能摆出一个什么样的图形？51根呢？

△夕q

40.己知1个正方形□需要4根棒，2个正方形匚□需要7根棒，3个正方形需要10根棒，问；15

个正方形需要多少根棒？

41.一个表面涂满了颜料的长方体小盒子平放在桌面上（如图1）,它的长是5厘米，宽是4座米，高是2

厘米。现在将它沿着最长的棱解转第一次（如图2位置），接又沿着最长的棱翻转第二次（如图3）,然

后又沿着最长的棱翻转第三次……，这样翻转后拿走小盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹。

（翻转第2次）

图1附图3

（1）如图2所示,翻转第一次后（不计算图1小盒子原来在桌面上的印迹）形成的印迹面积是平

方厘米。

（2）如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第4次翻转结束，留下的印迹总面积是平方厘

米。

（3）如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第2023次翻转结束，留卜的印迹总面积是平

方厘米。

参考答案与试题解析

1.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，第6个图形需要黑色棋子

多少个？则第〃（〃是大于。的整数）个图形需要黑色棋子多少个？

AoOO

【答案】见试题解答内容

【分析】根据图示，第一个图形可以摆：1X3=3个棋子；第二个图形可以摆棋子个数：2X4=8（个）;

第三个图形可以摆棋子个数:3X5=15（个）;……第三个图形可以摆棋子个数：（〃+2）〃个,据此解答.

【解答】解：第一个图形可以摆棋子数：1X3=3个

第二个图形可以摆棋子数：2X4=8（个）

第三个图形可以摆棋子数：3义5=15（个）

第6个图形可以摆棋子数:

（6+2）X6

=8X6

=48（个）

第〃个图形可以摆棋子数：（〃+2）〃个

答：第6个图形需要黑色棋子48个：则第〃（〃是大于0的整数）个图形需要黑色棋子（〃+2）〃个.

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力.

2.海安某步行街要铺设一条人行道，人行道长400米，宽1.6米.现在用边长都是0/米的红、黄两种正

方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）.

（I）请帮忙算一算，铺设这条人行道一共需多少块地砖？（不计损耗）

（2）铺设这条人行道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗）

【答案】（1）4000

（2）1000

【分析】（1）利用长方形面积公式：S=ah,计算人行道的面积，然后用人行道的面积除以每块地砖的面

积，就是所需块数.

（2）根据图形的排列规律，每4X4=16（块）方砖中，有4块是红色的，求所需地砖块数包含几个16,

再乘4,计算所需红色地砖的块数即可.

【解答】解：（I）400X1.6+0.42

=6404-0.16

=4000（块）

答：铺设这条人行道一共需4（X）0块地砖.

（2）4000+16X4

=250X4

=1000（块）

答：铺设这条人行道一共需要1000块红色地砖.

【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现地砖排列的规律.

3.按如图方式撰放餐桌和椅子，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，……30张桌子可以坐多少人？

O。OOOOOOOO。O

IIz~xz~xIIIIIII

【答案】122A.

【分析】第一张餐桌上可以坐6人，进一步观察发现：多一张餐桌，多坐4人；〃张餐桌共可以坐6+4

Cn-1）=4〃+2人。

【解答】解：观察图形可知：〃张餐桌共可以坐：6+4（〃-1）=4〃+2人，

当〃=30时，一共可以坐:4X30+2=122（人），

答：30张桌子可坐122人。

【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力；对于找规律的题目首先应找出

哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

4.一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，13张桌子并一

排可以坐多少人？如果一共有42人，需要并多少张桌子才能坐下？

。O。O。O。O。OO。

OOOOOOOOOOOO

【答案】54人；10张。

【分析】1张桌子坐6人,6=2+4：2张桌子坐10人，10=2+4+4：3张桌子坐14人，14=2+4+4+4；...；

所以〃张桌子并起来坐（2+4,1）人；据此解答即可。

【解答】解：1张桌子坐6人：6=2+4

2张桌子坐10人：10=2+4+4

3张桌子坐14人：14=2+4+4+4

所以〃张桌子并起来坐（2+4/2）人

13X4+2

=52+2

=54（人）

4〃+2=42

4〃=42-2

4〃=40

〃=10

捽：13张桌子并一排可以坐54人：如果一共有42人，需要并10张桌子才能坐下。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

5.某饭店的餐桌都是能坐4人的正方形，当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条,

但.每张桌子不能有空位，问如果团体客人是22人，那么需要几张桌子？

【答案】见试题解答内容

o【分析】把餐桌拼成w长条，如图：coo-

1张桌子可坐：4人

2张桌子可坐：4+2=6（人）

3张桌子可坐：4+2+2=8（人；

……〃张桌子可坐：

4+2（n-1）=（2n+2）人

由此求出当有22人时需要的桌子数量即可.

【解答】解：1张桌子可坐：4人

2张桌子可坐：4+2=6（人）

3张桌子可坐：4+2+2=8（人）

……〃张桌子可坐：

4+2(〃-1)=2〃+2(人)

2/7+2=22

2/1+2-2=22-2

2〃=20

〃=10

答：需要10张桌子.

【点评】本题先画出图，结合图找出规律，再利用规律求解.

6.已知摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根……按照这样的

规律，摆15个三角形需要多少根小棒？用79根小棒可以摆多少个三角形？

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意得到摆1个三角形所需火柴棍的根数是3,2个三角形所需火柴棍的根数是5=3+2Xl,

3个三角形所需火柴棍的根数是7=3+2X2,干是得到楔15个三角形所需火柴棍的根数=3+2X14

=31,进而可得摆〃个三角形所需火柴棍的根数是3+2（〃-I）=2〃+1,〃为正整数，据此解答.

【解答】解：（1）3+2X14

=3+28

=31（根）；

（2）由分析可知:

摆〃个三角形所需火柴棍的根数是,?为正整数，

2n+l=79

2〃=78

n=39

答：摆15个三角形需要31根小棒：用79根小棒可以摆39个三角形.

【点评】本题考查/数与形结合的规律，解决本题先由已知条件找到一般规律，再根据规律求解.

7.块K方形农田，种大豆的面枳比整块农田的半少300平方米，其氽的1200平方米种玉米。这块农

田的面积是多少平方米？（先在图中标出种大豆和玉米的面积，再解答）

300平玉米

方米!

I

■

1200炉方米

9

【答案】1800平方米。

【分析】由题意可得：一块长方形农田，种大豆的面积比整块农田的一半少300平方米，其余的1200

平方米种玉米，即其中的一半为大豆的面积和300平方米，另外一半的面积种玉米，由此可求出整块农

1200-300=900(平方米)

900X2=1800(平方米)

答：这块农田的面积是1800平方米。

【点评】此题考查学生对数形结合的理解和应用。关键在于准确地画出各部分之间的关系。

8.观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？

(◊A

【答案】见试题解答内容

【分析［对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各

部分的变化规律后用•个统•的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.

【解答】解：根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成(1-1)X4个；

2个正方形有4个三角形，可以写成(2-I)X4个；

3个正方形有8个三角形，可以写成(3-I)X4个；

4个正方形有12个三角形，可以写成(4-1)X4个；

所以当正方形的个数为。时，三角形的个数可以写成：(a-1)X4个；

设需要画〃个正方形才得到200个直角三角形，则根据(2)中的结论可得：

(«-1)X4=200,

解得4=51,

答：如果要得到200个直角三角形,一共应画51个正方形.

【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.

9.按下面的方式摆桌子和椅子，一张桌子可以坐4人，两张桌子可以坐6人……

（1）照这种方式摆下去，10张桌子可以坐多少人？

（2）〃张桌子可以坐多少人？

（3）坐60人需要多少张桌子？

【答案】见试题解答内容

【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人.由此规律即

可解决问题.

【解答】解：（1）〃=1时，可坐4人，可以写成2X1+2：

〃=2时，可坐6人，可以写成2X2+2；

〃=3时，可坐8人，可以写成2X3+2：

所以当〃=10时，可坐2X10+2=22（人）

答：10张桌子可以坐22人；

（2）根据（1）发现规律：

“张桌子可坐（2/1+2）人.

答：〃张桌子可以坐（2«+2）人；

（3）2n+2=60

■=29（张），

答：坐60人需要29张桌子.

【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出

哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.

10.住住撰小棒（如图），照这样撰下去，第5个图形有多少根小棒？第8个呢？

□口口口□□…

【答案】20：32。

【分析】根据图示可知，摆一个独立的图形长方体需要4根小棒，第几个图形就摆几个长方形，据此利

用乘法计算小棒的根数即可。

【解答】解：5X4=20（根）

8X4=32（根）

答：第5个图形有20根小棒；笫8个图形有32根小棒。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

11.把表格补充完整并回答问题.

（1）卜图是用火柴棍摆出的长方形.填表后，想一想有什么规律.

摆长方形123456……

的个数

用火柴的……

根数6II16212631

【答案】见试题解答内容

【分析】观察火柴棒所摆图形可得，摆1个长方形需要6根火柴棒，摆2个长方形需要6+5X1=11根火

柴棒，摆3个长方形需要6+5X2=16根火柴棒，每增加一个长方形，那么火柴棒的根数就增加五根，依

此类推，摆4个长方形需要6+5X3=21根火柴棒，摆5个长方形需要6+5义4=26根火柴棒，摆6个长

方形需要6+5义5=31根火柴棒…；摆〃个长方形，需要6+5义（〃-1）=5〃+1根火柴棒.

【解答】解：摆1个长方形需要6根火柴棒，

摆2个长方形需要6+5X1=11（根）火柴棒,

摆3个长方形需要6+5X2=16（根）火柴棒,

摆4个长方形需要6+5X3=21（根）火柴棒,

摆5个长方形需要6+5X4=26（根）火柴棒,

摆6个长方形需要6+5X5=31（根）火柴棒.

摆长方形123456

的个数

用火柴的

根数61116212631

故答案为：6,II,16,21,26,31.

【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每一个图形，找出有关图形个数的通项

公式.

12.探索与发现。

员I柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳了•捆扎圆柱形物体。如图中每个圜柱的底面直

径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）

明明用下面这样的方式进行研究:

绳子的长度/厘米8n8n+8X38n+8X6

（1）若按此规律继续摆，图④中有10个圆柱,表示图④中绳子长度的算式是87T+8X9。

（2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（n取3.14）

【答案】（1）10,8n+8X9；

（2）45,217.12厘米。

【分析】（1）图①圆柱的个数是1个；绳长为8n厘米；

图②圆柱的个数是3个，3=1-2；绳长为（811+8X3）厘米，8TT+8X3=8TT+8X（2-1）X3；

图③圆柱的个数是6个，6=1-2+3；绳长为（811+8X6）厘米，8TT+8X6=8TT+8X（3-1）X3；

图④圆柱的个数是10个，10=1+2+3+4；绳长为（81T+8X9）厘米，8ir+8X9=8n+8X（4-1）X3；

图〃圆柱的个数是（1+2+3+...+〃）个，绳长为［8n+8X（.n-1）X3］厘米。

即图〃中圆柱的个数是：1+2+3+……+〃，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底

面圆的周长，即8n厘米，直线部分是每条边上的（〃-1）条直径的长度，共3条边，即［8X（n-I）X

3］厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是［8n+8X（〃-1）X3］厘米。

（2）根据（1）的规律，计算当〃=9时圆柱的个数及绳子的长度即可。

【解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为8n厘米；

国②圆柱的个数是3个，3=12；绳长为（81118X3〉厘米，8ni8X3=8ni8X（2-1）X3；

图③圆柱的个数是6个，6=1-2+3；绳长为（81T+8X6）匣米，8TT+8X6=8TT+8X（3-1）X3；

图④圆柱的个数是10个，10=1+2+3+4；绳长为（8R+8X9）厘米，8K+8X9=8TT+8X（4-1）X3；

图〃圆柱的个数是（1+2+3+……+〃）个，绳长为［8n+8X（w-1）X3］厘米。

即图〃中圆柱的个数是：1+2+3+……+〃，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底

面圆的周长，即87T厘米，直线部分是每条边上的（〃-1）条直径的长度，共3条边，即［8X（n-I）X

3］厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是［8n+8X（〃-1）X3］座米。所以：

（1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是871+8X9。

（2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是：

8X3.14+8X24

=25.12+192

=217.12（厘米）

答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.24厘米。

故答案为：10，8TT+8X9。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

13.用小棒摆六边形，如图所示。

六边形的个数图形小棒的根数

1O6

36+5+5

（!）你能发现什么规律？按这个规律摆〃个六边形，需要（5〃+1）根小棒。

（2）按这个规律摆150个六边形，需要751根小棒。

【答案】（5〃+1）；751o

【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个需要11根小棒，摆3个需要16根小棒,

由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可；

（2）根据（1）中的规律，代人求出答案即可。

【解答】解：（1）摆1个六边形需要6根小棒，

摆2个六边需要11根小棒，可以写作：6+5=6+5X1=11(根)；

摆3个六边需要16根小棒，可以写成：6+5+5=6+5X2=16(根);

摆4个六边需要小棒，可以写成：6+5+5+5=6+5X3=21(根)；

摆〃个六边需要小棒，可以写成:6+5+5+......+5=6+5X(n-1)；

6+5X(〃-1)

=6+5〃-5

=5〃+1

所以我发现每多摆一个六边形，就会增加5根小棒。

答：我发现每多摆一个六边形，就会增加5根小棒。摆〃个六边形，需要(5〃+1)根小棒。

(2)当〃=150时，代入得：

5/1+1

=5X150+1

=751(flO

答：按这个规律摆150个六边形，需要751根小棒。

故答案为:(5n+l)；751o

【点评】此题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力“

14.按照前两组的规律填数，你知道第三组的“？”处应该填几吗？

【分析】左下角、右下角以及中间这三个数的和等于最上面那个数，据此求解即可。

【解答】解:35+18+30

=53+30

=83

【点评】解答此题的关键是，根据所给出的数列的数的特点，找出规律，再根据规律解决问题。

15.六（2）班教室有一些大小一样的塑料髡。1个塑料党的高度是41c〃?，2个叠放在一起的高度是45c〃?,

3个叠放在••起的高度是49c〃?，如图。按照这种规律，9个塑料凳叠放在一起的高度是多少c”?

【答案】73厘米。

【分析】由题意可知：每多叠放一个塑料凳，高度就会增加（45-41）厘米，据此先用45厘米减去41

厘米，求出多叠放一个塑料凳多出的高度，然后用最下面的1个塑料凳的高度加上多叠放的（9-1）个

塑料凳多出的高度即可。

【解答】解：45-41=4（厘米）

41+4X（9-1）

=41+32

=73（厘米）

答：9个塑料凳叠放在一起的高度是73厘米。

【点评】解答本题需准确分析叠放的塑料凳个数与多个塑料凳叠放在一起的高度之间的关系，灵活找规

律解答。

16.如图所示