数学学案（新教材人教A版强基版）第九章统计与成对数据的统计分析93一元线性回归模型及其应用

一元线性回归模型及其应用

【考试要求】1.了解样本柱关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模

型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.

■落实

阴1识梳理】

1.变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一

个的程度，这种关系称为相关关系.

(2)相关关系的分类：和.

⑶线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且敢点落在

附近，我们就称这两个变量线性相关.

2.样本相关系数

⑴『错误!.

(2)当时，称成对样本数据；当r<0时，称成对样本数据.

(3)|r|Wl；当|八越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越；当川越接近0时，成

对样本数据的线性相关程度越.

3.一元线性回归模型

⑴我们将尸/沈称为V关于x的经验回归方程，

其中错误！

(2)残差：观测值减去称为残差.

【常用结论】

1.经验回归直线过点(K,歹).

2.求〃时，常用公式.=错误!.

3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能

犯错误.

【思考辨析】

判断卜.列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)相关关系是一种非确定性关系.()

(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.()

（3）经脸回归直线y=Z>x+。至少经过点（巾，y\）,（X2,门），…，（％,y〃）中的一个点.（）

（4）样本相关系数的绝对值越接近I,成对样本数据的线性相关程度越强.（）

【教材改编题】

1.在对两个变量x,y进夕亍回归分析时有下列步骤：

①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据（为，州），i=l,2,…，〃；③求经验回归方

程；④根据所收集的数据绘制散点图.

则下列操作顺序正确的是f）

A.①@④③B.③®®①

C.②③①④D.①

2.对于x,y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数厂如下，则线性

相关性最强的是（）

A.—B.C.—D.

3.某单位为了了解办公楼用电量p（度）与气温x（C）之间的关系，随机统计了四个工作日的

用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温（℃）181310-1

用电量（度）24343864

由表中数据得到经验回归方程y=-2x+m当气温为一4c时，预测用电量约为（）

A.68度B.52度C.12度D.28度

■探究核心题型

题型一成对数据的相关性

例1（1）（2023•保定模拟）已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据:

X34567

——

y

根据表格中的数据求得经验回归方程为;=必+。.则下列说法中正确的是（）

AAAA

A.a>0>b>0B.«>0,h<0

AAAA

C.a<0,b>0D.«<（）,h<0

（2）对两个变量x,y进行线性相关分析，得到样本相关系数门=5,对两个变量〃，。进行线

性相关分析•，得到样本相关系数，?=—8,则下列判断正确的是（）

A.变显x与y正相关，变:最“与0负相关，变量x与y的线性相关性较强

B.变量x与y负相关，变量“与P正相关，变量x与y的线性相关性较强

C.变量x与y正相关，变量“与r负相关，变量〃与。的线性相关性较强

D.变量x与y负相关，变量”与。正相关，变量〃与方的线性相关性较强

听课记录：__________________________________________________________________

思维升华判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到

右下角，则两个变量负相关.

(2)样本相关系数：当/>()时，正相关；当r<()时，负相关；，|越接近1,相关性越强.

AA

(3)经验回归方程：当b>0对，正相关；当*0时，负相关.

跟踪训练1(1)某公司2017〜2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出我单位：百万元)

的统计资料如表所示：

年份201720182019202020212022

利润X1618

支出y1

根据统计资料，则利润中位数()

A.是16,x与y有正相关关系

B.是17,x与y有正相美关系

C.是17,x与y有负相关关系

D.是18,x与y有负相关关系

⑵已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y=%ln肉x)与)，=依%+岳拟合时的样本相

关系数分别为"，/?则比较小，/2的大小结果为()

题型二回归模型

命题点1一元线性回归模型

例2(2023・蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与R存款总量的关系进行调研，发现存款利率每

上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：

利率上升百分点x

日均存款总额y(亿元)

(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图;

A

().9「

「

0.8:1

0.7T

「

0.6「

().5:TJ

0.4=

().3T

().2

zTl

().1m

().1().2().30.40.50.6x

(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程;=云+田

(3)已知现行利率下的口均存款总额为亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测口均存款总

额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？

参考公式及数据：①%=错误!,

a=y-bx,②错误!必=,错误E=0.55.

命题点2非线性回归模型

例3(2023・保山模拟)某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现

对2013年以来的乡村经济收入六单位：亿元)进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其

中年份代码x的值1—10分别对应2013年至2022年.

9G乡村经济收入)•(亿元)

80.■・,

7。

6().,

01234567891()年份代码x

(1)若用模型①②y=a+b由拟合y与x的关系，其样本相关系数分别为门=9,

尸2=1，试判断哪个模型的相关程度更强？

(2)根据(1)中相关程度更强的模型，求y关于x的经验回归方程(系数精确到)，并估计该县

2026年的乡村经济收入(精确到).

参考数据：1=；错误L,、“3心，\工七,、京=3.873.

错误!(.*—错误!&-

错误!（右一工）OL错误!(力一1\(yi~

yt

X2，）2

)>'）)')

参考公式：对于一组数据网，yi）,“2,”），…，（tn,y,r）,经验回归方程y=4+。中的斜率和

截距的最小二乘估计公式分别为力=错误!，〃=y-bl.

思维升华求经验回归方程的步骤

r~------------------------------1

底£二«少算出应3或咨（XT2，LV）J

I夕：一£（凡-幻2的值

（步.二H利用公式计算

（步［三卜［写出经脸回归方程；，=标十圆

跟踪训练2（2022・南充模拟）某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外

卖份数M单位：份）与收入M单位：元）之间有如下的对应数据：

外卖份数M份）24568

收入六元）3040605070

（1）在给出的坐标系中画出数据散点图:

（2）请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于份数x的经验回归方程;

（3）据此估计外卖份数为12时，收入为多少元.

参考数据公式：错误¥=145,错误！通=1380,

6=错误!=错误!，a=y-bx.

题型三残差分析

例4(1)(多选)下列说法正确的是()

A.在经验回归方程j=-x+中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量;平均减少个单

位

B.在经验回归方程;=-x+中，相对于样本点(1,)的残差为一

C.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

D.若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的

原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从20