24.1.4 圆周角·2025-2026学年初中数学人教版九年级上册

24.1.4圆周角24.1.4圆周角一、情境导入展示足球场上球员射门的场景图，提问学生：“在不同位置的球员，射门角度有什么差异？”再展示圆形露天剧场中观众观看表演的视角图片，引导学生思考这些生活现象与圆中角的联系，进而引出本节课要学习的圆周角知识，让学生体会数学在实际生活中的应用，激发学习热情。二、圆周角的概念（一）定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。例如在\(\odotO\)中，\(\angleBAC\)，顶点\(A\)在圆上，\(AB\)、\(AC\)两边都与圆相交，\(\angleBAC\)就是一个圆周角。通过在圆中多画出不同位置、不同形状的圆周角，让学生直观感受圆周角的特征，同时对比圆心角，明确两者的区别。（二）判别圆周角给出一些角的图形，让学生判断哪些是圆周角，哪些不是，并说明理由。如有的角顶点不在圆上，有的角只有一边与圆相交等情况，强化学生对圆周角定义的理解，加深对其本质特征的把握。三、圆周角定理及其探究（一）操作与猜想在圆形纸片上画出一个圆心角\(\angleAOB\)，再画出同弧\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角\(\angleACB\)，用量角器测量\(\angleAOB\)和\(\angleACB\)的度数，多次改变圆周角和圆心角的位置，重复测量。引导学生观察测量结果，大胆猜想同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系。（二）分类讨论与证明圆心在圆周角的一边上已知：在\(\odotO\)中，\(\angleACB\)是圆周角，\(\angleAOB\)是圆心角，且圆心\(O\)在\(AC\)上。求证：\(\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB\)。证明：因为\(OA=OB\)（圆的半径相等），所以\(\angleA=\angleB\)。又因为\(\angleAOB\)是\(\triangleAOB\)的外角，根据三角形外角性质，\(\angleAOB=\angleA+\angleB=2\angleA\)，而\(\angleACB=\angleA\)，所以\(\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB\)。圆心在圆周角的内部作直径\(CD\)，将\(\angleACB\)分成\(\angleACD\)和\(\angleBCD\)，\(\angleAOB\)分成\(\angleAOD\)和\(\angleBOD\)。由第一种情况可知\(\angleACD=\frac{1}{2}\angleAOD\)，\(\angleBCD=\frac{1}{2}\angleBOD\)，所以\(\angleACB=\angleACD+\angleBCD=\frac{1}{2}(\angleAOD+\angleBOD)=\frac{1}{2}\angleAOB\)。圆心在圆周角的外部同样作直径\(CD\)，\(\angleACB=\angleBCD-\angleACD\)，\(\angleAOB=\angleBOD-\angleAOD\)，由第一种情况可得\(\angleBCD=\frac{1}{2}\angleBOD\)，\(\angleACD=\frac{1}{2}\angleAOD\)，所以\(\angleACB=\frac{1}{2}(\angleBOD-\angleAOD)=\frac{1}{2}\angleAOB\)。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。四、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。因为同弧或等弧所对的圆心角是固定的，根据圆周角定理，它们所对的圆周角也必然相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，\(90^{\circ}\)的圆周角所对的弦是直径。例如在半圆中，所对的圆心角是\(180^{\circ}\)，根据圆周角定理，圆周角为\(90^{\circ}\)；反之，当圆周角为\(90^{\circ}\)时，它所对的圆心角为\(180^{\circ}\)，对应的弦就是直径。五、典型例题（一）例1：圆周角定理的应用题目：在\(\odotO\)中，弧\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆心角\(\angleAOB=120^{\circ}\)，求弧\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角\(\angleACB\)的度数。解答：根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，可得\(\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB=\frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}\)。（二）例2：圆周角定理推论的应用题目：如图，\(AB\)是\(\odotO\)的直径，点\(C\)、\(D\)在\(\odotO\)上，若\(\angleCAB=30^{\circ}\)，求\(\angleADC\)的度数。解答：因为\(AB\)是\(\odotO\)的直径，根据“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”，所以\(\angleACB=90^{\circ}\)。在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=180^{\circ}-\angleACB-\angleCAB=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。又因为同弧所对的圆周角相等，\(\angleADC\)和\(\angleB\)都是弧\(\overset{\frown}{AC}\)所对的圆周角，所以\(\angleADC=\angleB=60^{\circ}\)。六、课堂练习已知在\(\odotO\)中，同弧所对的圆周角\(\angleA\)与\(\angleB\)，若\(\angleA=40^{\circ}\)，则\(\angleB\)的度数为（

）A.\(20^{\circ}\)B.\(40^{\circ}\)C.\(80^{\circ}\)D.\(100^{\circ}\)如图，\(AB\)是\(\odotO\)的直径，弦\(CD\)与\(AB\)相交于点\(E\)，\(\angleACD=60^{\circ}\)，求\(\angleBAD\)的度数。在\(\odotO\)中，\(\angleAOB=100^{\circ}\)，\(C\)是圆上一点（不与\(A\)、\(B\)重合），求\(\angleACB\)的度数。七、课堂小结回顾圆周角的定义，强调顶点在圆上且两边都与圆相交的关键特征。总结圆周角定理及其推论，通过提问的方式让学生复述定理和推论内容，强化记忆。梳理在应用圆周角定理及推论解题时的思路和方法，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识，提高运用圆周角相关知识解决问题的能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理

解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.

（难点）导入新课1.圆心角的定义？顶点在圆心的角叫圆心角.2.把圆心角∠AOB

的顶点O

拉到圆上，得到∠ACB.

∠ACB有什么特点？∠ACB的顶点在圆上边AC，BC

都与圆相交顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．圆心角圆周角区别联系顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个角的两边都与圆相交下列图形中的角是圆周角的是（）做一做圆周角必须满足两个条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交.C探究分别测量图中所对的圆周角∠ACB

和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？∠AOB=120°AB∠ACB=60°∠ACB=∠AOB探究在⊙O

上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.证明在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？证明1∵

OA=OC，∴

∠A=∠C．又∵

∠BOC=∠A+∠C，∠BAC=∠BOC．如图，连接AO并延长交⊙O于点D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，∠BAD=∠BOD.同理，∠CAD=∠COD.∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOC.证明2证明3你会证明吗？定理情况图示结论一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心在圆周角的一条边上圆心在圆周角的内部圆心在圆周角的外部∠BAC=∠BOC．思考AB

所对的两个圆周角，∠ACB

与∠ADB

之间有什么关系？同弧所对的圆周角相等．思考AB=BC，∠ADB

与∠BEC

之间有什么关系？等弧所对的圆周角相等．推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.符号语言：如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=∠AOB思考“同弧或等弧所对的圆周角相等”反过来成不成立？不成立.如图，∠APB=∠CPD，但AB

≠CD

.O1O2半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？等于90°推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.符号语言：如图，在⊙O

中，若AB

为⊙O

的直径，则∠C1=∠C2=∠C3

=90°.若∠C1(或∠C2，∠C3)=90°，则AB

为⊙O

的直径.思考若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？不一定成立，因为一条弦所对的圆周角有两种情况.如图，⊙O

的直径AB

为10cm，弦AC

为6cm，

ACB

的平分线交⊙O

于点

D，求BC，AD，BD

的长．例题4解：连接OD.

∵

AB是⊙O的直径，∴

ACB=

ADB=90°．在Rt△ABC中，∵

CD

平分

ACB，∴

ACD=

BCD，∴

AOD=

BOD．∴

AD=BD．在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，∴

AD=BD=

=（cm）．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.圆内接四边形的四个角之间有什么关系？思考如图，连接OB，OD.∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为，又和所对的圆心角的和是周角，BCDBAD∴

∠A+∠C==180°.同理∠B+∠D=180°.BCDBAD360°2圆内接四边形的性质：1圆内接四边形的对角互补.符号语言：如图，∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.如∠1=∠A.随堂练习【教材P88练习第1题】1.判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：（1）（2）（3）（4）（5）√理由：(1)(2)中的角的顶点不在圆上，(4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交，(3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交.故(3)中的角是圆周角.2.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD

把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？

为什么？【教材P88练习第2题】解：∠1=∠4，∠3=∠6，

∠2=∠7，∠5=∠8.理由：同弧所对的圆周角相等.3.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵

∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC，∠AOB=2∠BOC，

∴∠ACB=2∠BAC.ABCO【教材P88练习第3题】4.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？

有几种方法？与同学交流一下.解：根据90º的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点即是圆心.【教材P88练习第4题】5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长

线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.【教材P88练习第5题】解：

∠ADE=110°.返回1．如图，四边形ACBD中，A，B，C三点均在⊙O上，点D在⊙O外，则图中的圆周角有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个A返回2．[2025重庆育才中学月考]如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝25°，∠B＝55°，则∠AOC的度数为(

)A．115°B．120°C．125°D．130°B3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是(

)A．45°B．60°C．65°D．70°D返回【