河北省衡水市部分中学2026届高三数学下学期4月阶段性检测试题【含答案】

河北省衡水市部分中学2026届高三下学期四月阶段性检测数学试卷一、选择题1．若，则A的真子集个数为(

)A.3 B.4 C.7 D.82．若复数，则(

)A. B. C. D.3．若，，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则(

)A.在上单调递增 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递减5．若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为(

)A. B. C. D.6．已知正项数列的前n项和为，且，若，则下列结论不正确的是(

)A.数列为等差数列 B.数列为等比数列C.数列的前n项和为 D.7．若函数有且只有一个零点，则m的取值范围为(

)A. B. C. D.8．在长方体中，，，P为长方体表面上一动点，且，则点P的轨迹的总长度为(

)A. B. C. D.二、多项选择题9．已知向量，，，则(

)A. B.C.c可以用a，b线性表示 D.b在a上的投影向量为10．一个不透明的口袋中装有6个完全相同的乒乓球，其中2个标有数字1，4个标有数字2，记事件A表示“第一次取到标有2的球”，事件B表示“第二次取到标有1的球”，则下列说法正确的是(

)A.若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这2个球上的数字相同的概率为B.若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为3的概率为C.若从口袋中不放回地取球两次，每次取1个，则A，B互斥D.若从口袋中不放回地取球两次，每次取1个，则A，B相互独立11．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为右支上一点（异于右顶点），M为圆上一点，则(

)A.的渐近线方程为 B.的内切圆与x轴切于定点C.的最大值为 D.的最小值为三、填空题12．若，则________.（用m，n表示）13．已知椭圆的左、右焦点分别为，A为C上一点，且，则C的离心率的取值范围为________.14．若，，则a的取值范围为________.四、解答题15．某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表.课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时/天35

60小时/天

10

合计

100（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；（2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求的值.17．已知函数，且.（1）求的值；（2）若.（i）求在上的最大值和最小值；（ii）若，，，求实数m的取值范围.18．如图，圆台的上、下底面半径分别为2，3，侧面积为.（1）求圆台的高；（2）半轴截面与侧面交于PQ，且，R为下底面圆周上一点，.（i）求证：；（ii）求平面与平面CDR夹角的余弦值.19．已知抛物线经过点，其焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点.（1）求C的方程；（2）若l的斜率为1，分别求C在点M，N处的切线方程；（3）直线上是否存在定点D，使得DB平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．答案：A解析：因为，所以，所以A的真子集个数为.故选A.2．答案：C解析：.故选C.3．答案：A解析：对于p，由，得，则，对于q，由，得或，所以p是q的充分不必要条件.故选A.4．答案：B解析：因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.故选B.5．答案：C解析：由题得，所以，则，因为，所以，所以，所以，所以，则.故选C.6．答案：D解析：因为，所以数列为等差数列，因为，所以数列也为等差数列，故A正确；因为，即，所以，因为，所以，所以数列为等比数列，故B正确；因为0，所以，，，，故数列的公差为1，所以数列的前n项和为，故C正确；因为，，，所以数列的公比为3，则，，所以，故D错误.故选D.7．答案：D解析：，因为有且只有一个零点，所以，解得.故选D.8．答案：B解析：若点P在平面内，则，如图，点P的轨迹为，其长度为；若点P在平面内，则，如图，点P的轨迹为，其长度为，由对称性可知，点P在平面内的轨迹长度也为；点P不可能在平面ABCD内，在平面，内时分别位于点处，所以点P的轨迹的总长度为.故选B.9．答案：BCD解析：因为，所以a，b不垂直，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以a，b不共线，所以c可以用a，b线性表示，故C正确；b在a上的投影向量为，故D正确.故选BCD.10．答案：AB解析：对于A，若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这2个球上的数字相同的概率为，故A正确；对于B，若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为3的概率为，故B正确；对于C，由题得，所以A，B不互斥，故C错误；对于D，，，则，所以A，B不相互独立，故D错误.故选AB.11．答案：ABD解析：因为双曲线的渐近线为，由题，所以的渐近线方程为，故A正确；设分别与的内切圆切于点A，B，C，则，又，所以，，所以的内切圆与x轴切于定点，故B正确；易知，，则，，当与相切时，取得最大值，最大值为，故C错误；设，则，，当时，取得最小值，则的最小值为，故D正确.故选ABD.12．答案：解析：因为，所以，所以.故答案为.13．答案：解析：由，得，由椭圆的定义得，又，所以，因为，即，当且仅当时等号成立，所以，所以，因为，所以C的离心率的取值范围为.故答案为.14．答案：解析：由题可得，，，由不等式可知，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，又时，，时，，所以.因为，所以，所以原不等式等价于，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，所以要使对成立，所以，解得，又，所以，则a的取值范围为.故答案为.15．答案：（1）1050人；（2）列联表见解析，学生的视力健康与课外阅读时间无关解析：（1）由题可得课外阅读时间小时/天的学生中视力不良的有人，所以估计全校学生中视力不良的学生人数为.（2）补全列联表：课外阅读时间视力健康情况合计视力正常视力不良小时/天352560小时/天301040合计6535100零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，，所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关.16．答案：（1）；（2）解析：（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.（2）因为，由正弦定理得，所以，整理得，所以.17．答案：（1）0；（2）（i）最大值为，最小值为；（ii）解析：（1）因为，所以，则，所以.（2）（i）由（1）得，，因为，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，，又，，所以在上的最大值为，最小值为.（ii）因为，，，所以，由（i）可知在上的最大值为，由，，所以，所以实数m的取值范围为.18．答案：（1）3；（2）（i）证明见解析；（ii）解析：（1）设圆台的高为h，则，解得.（2）（i）由题可知，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为平面，平面BCR，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以.（ii）以为原点，所在直线分别为y，z轴，以过点且垂直于的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.由（i）可知为平面的一个法向量，设平面CDR的一个法向量为，则，取，得，所以.设平面与平面CDR的夹角为，则，所以平面与平面CDR夹角的余弦值为.19．答案：（1）；（2）C在点M处的切线方程为，C在点N处的切线方程为；（3）存在定点解析：（1）因为抛物线经过点，所以，所以C的方程为.（2）由题得l的方程为，即，联立，取，由，得，所以点N处的切线的斜率为2，则C在点N处的切线方程为，即，显然C在点M处的切线方程为.（3）由题可知l的斜率存在，设，，，联立，得，则，，.当时，，此时点B为线段MN的中点，过点B作l的垂线，其方程为，与