辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题1．函数的单调递减区间是A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B．2 C．9 D．213．52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（

）A． B． C． D．4．已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（

）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，且，，，则（

）A．162 B．243 C．384 D．5127．甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（

）A． B．C． D．8．若方程在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（

）A． B． C．1 D．210．在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．数列的前1000项和大于11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最小值为三、填空题12．已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．13．已知随机变量，，且，若，则__________．14．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________．四、解答题15．已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.(1)

求数列的通项公式；(2)

设数列满足，为数列的前项和，求.16．已知函数，.(1)若函数在点处的切线方程为，求，的值；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.17．2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；(2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；(3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差．18．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的取值范围.19．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)讨论函数的单调性；(3)函数有两个零点，求证：．参考答案题号12345678910答案DBBDCCCCCDBC题号11答案ABC1．D解析：函数f（x）=log2（4+3x-x2），令t=4+3x-x2＞0，求得-1＜x＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2在定义域内的减区间为.故选D．2．B解析：法一：利用等差数列的基本量运算由，即，又.法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，，由，所以.故选：B.3．B解析：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则.4．D解析：因为定义在上，所以中的式子要有意义，需满足，解得.因为，所以，即，设函数，则在定义域上单调递减.要求，则当，即时，，即，所以，解得或，所以；当，即时，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，当时，有，显然成立；综上，的解集为.故选：D.5．C解析：由已知条件和分期付款公式，可得，∴．故选：C6．C解析：因为，即，所以，可得数列为等比数列，首项为，公比，所以，所以.7．C解析：由题意可知，每局比赛乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，乙战胜甲有两类互斥情况：第一类：乙连胜2局，那么第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么，故乙战胜甲的概率为8．C解析：由得，即，即.设，则，因为，所以在上单调递增，所以，即，设，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以.故选：C.9．CD解析：令函数，求导得，由，得，即函数在定义域上单调递增，由，得，不等式，即，解得，所以所求的值可能为1，2.10．BC解析：由题意知，，，.因为，，是公比为的等比数列，所以，，，即，，解得，，故B正确.，故A错误.，，，故C正确.因为为等差数列，所以.所以，则数列的前项和.，故D错误.11．ABC解析：依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知，，，，，所以A，B正确,，，故C正确，D错误.故选：ABC.12．（答案不唯一，满足即可）解析：等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵，，∴.由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵，等差数列为递减数列，且恒成立，∴为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值.13．解析：，，，，即，解得，，由对称性可得，又，，．故答案为：．14．0解析：由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则，即．令，得，，由于中，且，分析：由于，可知，又由于，且，所以零点的组合不能是或，故的组合只能是，这样只能是，，可计算得，满足题意，此时，．令，得或，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，则由单调性可知，的极大值为．故答案为：015．（1）

（2）解析：由题可知，且即可得16．(1)(2)解析：（1）由题，，因为在处的切线为，所以，代入得切点为，切点在切线上，则.（2）由题，求导得，由在上单调递增，得在上恒成立，当时，，因此在上恒成立，又，则17．(1)(2)的分布列为012数学期望为(3)的分布列为0123方差为解析：（1）依题意，得，解得．（2）依题意，成绩在的人有（人），成绩在的人有（人），用分层随机抽样的方法抽取5人，则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人．所以的所有可能取值为0，1，2，则，，所以的分布列为012所以．（3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率，所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为．又全公司中成绩在范围的人有（人），所以的可能取值为0，1，2，3，且．所以，，，．所以的分布列为0123所以，所以．18．(1)因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，，当时，，即，所以，，因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为.(2)(3)解析：（1）略（2）由（1）可得，则当时，，也满足，故，.（3）由可得，令，则则，即，所以，数列为单调递增数列，则，因此，的取值范围是.19．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是(2)当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(3)，因为函数有两个零点，，不妨设，则，所以，整理可得，即，要证，即证，即证，令，即证，令，其中，则，所以函数在上为增函数，则，即，即，故原不等式得证．解析：（1）函数的定义域为当时，函数，所以令，解得，所以函数的减区间是．令，解得，所以函数的增区间是．（2）函数的定义域为，又，①当时，对任意的，，当，；当，，此时函数在上单调递减，在上