第02讲8.5空间直线、平面的平行+8.6空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)

第02讲8.5空间直线、平面的平行+8.6空间直线、平面的垂直题型一：证明线面平行典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接．当为上不与点重合的一点时，证明：平面.例题2．（2023上·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，，设O为与的交点，点P为的中点．求证：平面；

精练核心考点1．（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面；2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.题型二：补全线面平行的条件典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

3．（2022上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.题型三：线面平行的性质典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：.例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.例题3．（2024·全国·高三专题练习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：.精练核心考点1．（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.2．（2024·全国·高三专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：平面EAC．(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.

题型四：由线面平行求其他量典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（

）

A． B． C． D．例题2．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

例题3．（2023下·高一课时练习）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

精练核心考点1．（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为．2．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.题型五：证明面面平行典型例题例题1．（2021下·湖南张家界·高一慈利县第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面；精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.题型六：补全面面平行的条件典型例题例题1．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.例题2．（2019上·福建南平·高一校考期中）如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．例题3．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．精练核心考点1．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.

(1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.2．（2023下·陕西铜川·高一校考期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．3．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，请说明理由.题型七：面面平行的性质定理应用典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且．求证：平面.例题2．（2023上·上海虹口·高二校考期中）已知直四棱柱，，，，，．

(1)证明：直线平面；(2)若该四棱柱的体积为，求的长．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．求证：∥平面.2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

题型八：证明线面垂直典型例题例题1．（2023下·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）如图，在正方体中，

(1)求证：平面；(2)求证：平面；例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB；精练核心考点1．（2022下·广东·高三统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：(1)平面ABCD；(2)平面PAD.2．（2023下·陕西西安·高二统考期末）如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．题型九：补全线面垂直的条件典型例题例题1．（2023下·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（

）

A． B． C． D．例题2．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为.

例题3．（2022上·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．(1)求证：平面；(2)求点C到平面的距离；(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．精练核心考点1．（2023下·山东枣庄·高一统考期末），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为.

2．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.

(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由；(3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等.3．（2006·山东·高考真题）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的大小；(3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面．题型十：线面垂直的性质定理应用典型例题例题1．（2023上·高二单元测试）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有个.例题2．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：．例题3．（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）在四棱锥中，平面为的中点，．

(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．精练核心考点1．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在长方体中，，，点在线段上.(1)求证：；(2)当是的中点时，求点到平面的距离.2．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点是的中点，分别是的中点．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．3．（2022上·陕西延安·高一校考期末）在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

(1)平面；(2).题型十一：证明面面垂直典型例题例题1．（2024上·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．例题2．（2020上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：(1)平面；(2)平面平面.例题3．（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.精练核心考点1．（2022上·海南儋州·高二校考期末）平面内是直角三角形且C是直角顶点，若.

(1)求证：平面平面PBC(2)是等腰直角三角形且斜边，，求棱锥的体积2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面．证明：平面平面；

3．（2023·四川成都·校联考一模）如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.题型十二：补全面面垂直的条件典型例题例题1．（2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点．(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.例题3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.精练核心考点1．（2022上·陕西安康·高二校考期末）如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点．(1)求证：；(2)当M在上的何处时，有平面平面.2．（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.(1)求四棱锥体积；(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.3．（2023上·北京·高二北理工附中校考阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.

(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.题型十三：面面垂直的性质定理应用典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．例题2．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，.

(1)证明：平面；(2)若，求点F到平面的距离.精练核心考点1．（2024·陕西榆林·统考一模）在三棱锥中，为的中点.(1)证明：⊥平面.(2)若，平面平面，求点到平面的距离.2．（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．

(1)求证：平面；(2)求证：⊥平面；(3)求三棱锥的体积．第02讲8.5空间直线、平面的平行+8.6空间直线、平面的垂直题型一：证明线面平行典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接．当为上不与点重合的一点时，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】由三角形中位线的性质得到，即可得证.【详解】因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．例题2．（2023上·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，，设O为与的交点，点P为的中点．求证：平面；

【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的判定定理证明.【详解】如图，四边形为平行四边形，所以为的中点，且为的中点，所以在中，为中位线，所以,且面，面,所以平面.精练核心考点1．（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面；【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的判定定理直接证明即可.【详解】分别为的中点，．又，所以，又平面，平面，所以平面.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.【答案】证明见解析【分析】根据线面平行判定定理证明平面，然后再由线面平行的性质定理可证.【详解】证明：∵平面平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.题型二：补全线面平行的条件典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明．【答案】点为棱中点时，证明见解析【分析】根据题意确定点为棱中点，通过线面平行的判断定理证明即可.【详解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行，证明如下：∵点分别为棱和中点，∴，∵平面，平面，∴平面．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.【答案】存在，【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理确定的值，使平面.【详解】当时，平面PDE，证明如下：过点C作，交的延长线于，在PE上取一点M，使得，连接HM，FM，因为，，所以且，因为D是AC的中点，且，所以且，所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即，又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.

例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由.【答案】存在，【分析】先假设符合题意的点存在，然后根据线面平行的性质进行判断，并求得.【详解】存在，；理由如下：假设存在，连接并延长，交于E，连接．因为平面，平面平面，平面，所以，则，因为正方形中，，所以，假设成立.则此时..精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？【答案】为的中点时，平面.【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来确定点的位置.【详解】当点为的中点时，平面，证明如下：由已知，所以四边形为矩形，所以，，已知，点为的中点，则，又，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以在上存在一点，使得平面.’2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】存在，且【分析】根据线面平行的性质定理以及平行线分线段成比例证得结论成立.【详解】存在，且，理由如下：连接，，连接，因为是矩形，且为的中点，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以．

3．（2022上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论；（2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定.【详解】（1）连接，分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面.（2）假设在棱上存在点，使得平面，延长交于，连接交于，，为中点，为中点，，，，平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，；当时，平面.题型三：线面平行的性质典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：.【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接，，先证明，可得平面，再根据线面平行的性质定理可得结论.【详解】证明：取的中点，连接，，因为是的中点，所以，，因为三棱台中，，，，所以，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以．例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.【答案】证明见解析【分析】根据题意，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，即可得到证明.【详解】因为点，分别为棱、的中点，则，在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，则，因为平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，，故．例题3．（2024·全国·高三专题练习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：.【答案】证明见解析【分析】先根据图1中几何关系，得到，进而得平面，可证.【详解】在图1中，因为，，，所以，，又，所以，因为，，所以，故，在图2中，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以；精练核心考点1．（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行.【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以，同理可证，因此.2．（2024·全国·高三专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：平面EAC．(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明；（2）根据线面平行的性质定理完成证明.【详解】（1）连接交于，连接，因为四边形是平行四边形，所以为中点，又因为为中点，所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面平面，平面，所以.3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.

【答案】证明见解析【分析】先证明平面，再利用线面平行的性质定理可得结论.【详解】因为在三棱柱中，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，.题型四：由线面平行求其他量典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解.【详解】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面，由于平面,平面平面,故，又，故．在等腰梯形MDEQ中，，，在中，，，则，故梯形的高为，故．故选:D．例题2．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

【答案】/【分析】根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质进行求解即可.【详解】如图，连结交于点，连结.

因为，所以，因为平面，平面平面平面，所以，所以.故答案为：例题3．（2023下·高一课时练习）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【答案】【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解.【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，，如图所示，连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，则，且，因为平面PBD，且平面，平面平面，所以，所以，又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以，在直角中，，，所以，所以.

精练核心考点1．（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为．【答案】【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值.【详解】过点分别作交于点，交于点，连接，要想平面，则四边形为平行四边形，故，设，则，故，由勾股定理得，其中，当且仅当时，等号成立，故.故答案为：2．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.【答案】【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长.【详解】根据题意，因为平面，平面，且平面平面所以.又是的中点，所以是的中点.因为在中，，故.故答案为：3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.【答案】【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解.【详解】如图，连接，交于点，连接，为的中点，且平面平面，平面，平面，，为的中点，即实数的值为．题型五：证明面面平行典型例题例题1．（2021下·湖南张家界·高一慈利县第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行和面面平行的判定定理证明即可；（2）由棱锥的体积公式求解即可.【详解】（1）证明：∵M，N分别为，的中点，∴，又平面，平面，∴平面.在中，，，∴.又，∴.∵平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.（2）∵，，，∴，∴三棱锥的体积.例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面；【答案】证明见解析【分析】由四边形是平行四边形，得，由线面平行的判定定理得平面，同理平面，即可得证.【详解】解：连接，如图所示：依题意，，则四边形是平行四边形，于是，而平面，平面，因此平面，同理平面，∵，平面，∴平面平面．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；【答案】证明见解析【分析】根据中位线的性质和平行四边形的性质得到‖，‖，然后根据面面平行的判定定理证明即可．【详解】连接，，∵为正方体，为平面的中心，∴‖，‖，，为中点，∵为中点，为中点，∴‖‖，，∴四边形为平行四边形，‖，∵分别为中点，分别为中点，∴‖，‖，∴‖，∵平面，平面，∴‖平面，∥平面，∵，平面，∴平面∥平面．2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接，即可得到，从而证明平面，再说明四边形是平行四边形得到，即可得到平面，从而得证.【详解】连接交于，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面．题型六：补全面面平行的条件典型例题例题1．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，为中点【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得为的中点.（2）通过证明面面平行的方法来确定点的位置.【详解】（1）连接，设，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，又底面为平行四边形，所以为的中点，所以为的中点．（2）存在，为中点时，平面平面，因为为中点，为的中点，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于，平面，所以平面平面.

例题2．（2019上·福建南平·高一校考期中）如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；（2）点为线段的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面平面．【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．因为为的中点，所以，．又，，所以，．因此四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）解：如图所示，取的中点，连接，，所以又，所以．又，所以四边形为平行四边形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因为，故平面平面．例题3．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可；（2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面故在线段上存在一点，使平面平面．精练核心考点1．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.

(1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面；(2)在（1）的条件下，求几何体的体积.【答案】(1)存在，证明见解析(2)2【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用几何体之间的体积关系，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）与的中点，可以使得平面平面，证明：在三棱柱中，∵与为与的中点，∴与平行且相等，故四边形为平行四边形，∴，∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形

故，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，而，

平面，平面，∴平面平面；

（2）∵，，.2．（2023下·陕西铜川·高一校考期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在点，证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点的位置，即可证明.【详解】（1）因为分别是的中点，所以，且平面，平面，所以平面；（2）存在，点是的中点，此时，连结

因为分别是的中点，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，且，且平面，所以平面平面，所以上存在中点，使平面平面.3．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在点，【分析】（1）由平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论；（2）当时，由线面平行的判定可分别证得平面，平面，由面面平行的判定可知平面平面.【详解】（1），，即，，又，，平面，平面，平面.（2）存在点，，使得平面平面，证明如下：当时，连接，，，，平面，平面，平面，由（1）知：，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，存在点，当时，平面平面.题型七：面面平行的性质定理应用典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且．求证：平面.【答案】证明见解析【分析】先证明平面，平面，可得平面平面，进而可得结论.【详解】因为四边形是菱形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．例题2．（2023上·上海虹口·高二校考期中）已知直四棱柱，，，，，．

(1)证明：直线平面；(2)若该四棱柱的体积为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长.【详解】（1）证明：在直四棱柱中，，因为平面，平面，所以，平面，因为，平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，因此，平面.（2）解：因为，，，，，所以，，所以，，解得.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．求证：∥平面.【答案】证明见解析【分析】根据题意先证∥平面，∥平面，可得平面∥平面，结合面面平行的性质定理分析证明.【详解】由题意可得∥，且平面，平面，可得∥平面；因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥，且平面，平面，可得∥平面；且，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面．2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接、、，易证四边形为平行四边形，得到，从而得到平面，同理得到平面，然后利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性质定理证明.【详解】证明：如图所示：

取的中点，连接、、，因为且，故四边形为平行四边形，所以且，因为为的中点，所以且，因为、分别为、的中点，所以且，所以且，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，、平面，所以平面平面，因为平面，故平面．题型八：证明线面垂直典型例题例题1．（2023下·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）如图，在正方体中，

(1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线线平行即可求证线面平行，（2）由线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可求证.【详解】（1）因为在正方体中，可知，而平面，平面，所以平面.（2）因为在正方体中，可知平面，且平面，所以，又因为、是正方形的对角形，因此，又，且，平面，所以平面.例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB；【答案】证明见解析【分析】由勾股定理证得，由矩形得，进而证得AD⊥平面PAB.【详解】∵ABCD为矩形∴∵PA=2，AD=2，∴∴又∵，平面PAB∴AD⊥平面PAB.精练核心考点1．（2022下·广东·高三统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：(1)平面ABCD；(2)平面PAD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证；（2）利用线面垂直的性质可知，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证.【详解】（1）因为M，N分别是PA，PB的中点,所以.又因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD是矩形，所以.又，平面PAD，所以平面PAD.2．（2023下·陕西西安·高二统考期末）如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）由线面垂直的判定证明；（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.【详解】（1）∵底面，底面，∴．又，，平面，∴平面．（2）由题意易知四边形为直角梯形，∴．∴．题型九：补全线面垂直的条件典型例题例题1．（2023下·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案.【详解】平面，平面，则，，，故，取为上靠近的四等分点，则，故，

现在说明此时平面，平面，平面，故，又，，平面，故平面，平面，故，且，又，，平面，故平面，故的轨迹为线段，，故的最大值为.故选：A.例题2．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为.

【答案】【分析】取的中点，证得，，得到平面，得到，进而证得平面，得到点在线段上运动，结合，即可求解.【详解】解：取的中点，连接，因为为的中点，所以，因为，所以，所以四边形为正方形，所以，所以，又因为，且为的中点，所以，因为平面，且平面，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以点在线段上运动，在等腰直角中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，可得线段的长的最大值为.故答案为：.

例题3．（2022上·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．(1)求证：平面；(2)求点C到平面的距离；(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）连交于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；（2）连交EF于点N，由题可得，进而点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，然后根据等积法即得；（3）由线面垂直的性质证明，作，垂足为M，由线面垂直的判定证明平面，最后得出AM的长.【详解】（1）连交于点F，连EF，∵是菱形，∴F是中点，又∵E是中点，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）连交EF于点N，棱柱中是平行四边形，且E，F分别为，中点，∴，又平面，∴点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，∵菱形中，，又，∴，，，又平面ABCD，平面ABCD，∴，又，∴，∴，因为，，，∴面积为，的面积为，由得，其中h是到平面的距离，∴，∴点C到平面的距离为；（3）∵平面ABCD，平面平面ABCD，∴平面，∵平面，∴，∵菱形，，，平面，∴平面，又平面，∴，在中，过F作，垂足为M，又，平面，所以平面，∴存在M满足条件，在中，，，F是中点，∴，∴．精练核心考点1．（2023下·山东枣庄·高一统考期末），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为.

【答案】【分析】根据图形关系找出一个面垂直于，从而得到点的轨迹，进而得到点的轨迹所围成图形的面积.【详解】取中点，连接，设，则，，，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为正方体中面，面，所以，因为面，，所以面，因为正方体中面，面，所以，所以点的轨迹为矩形，在直角中，所以矩形面积为.即点的轨迹所围成图形的面积为.故答案为：2．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.

(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由；(3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等.【答案】(1)；(2)存在，，理由见解析；(3)【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案；（2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面；（3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案.【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得，在长方体中，平面，又平面，所以.因为，平面，所以平面，又平面，所以，即异面直线与所成的角的大小为；（2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下：当时，，因为BC＝1，所以，所以，则，所以，即，在长方体中，平面，又平面，所以.因为，所以平面，又平面，所以.同理可证，又，所以直线平面；（3）设与平面的斜足为O，因为，，所以,则.若，则，故.所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即．3．（2006·山东·高考真题）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的大小；(3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面．【答案】(1)；(2)45°；(3)见解析.【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质得到PO⊥BD，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解；（2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可；（3）连接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝．【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD又，由平面几何可得：，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB∴又AB∥DC∴四边形EBCD是平行四边形．∴∴E是AB的中点，且，又，∴PEA为直角三角形，∴在△PED中，由余弦定理得故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为；（2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°，∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小为45°；（3）连接MD，MB，MO，∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PC⊥OM，在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝，∴PM＝，MC＝，∴，故λ＝时，PC⊥平面BMD．题型十：线面垂直的性质定理应用典型例题例题1．（2023上·高二单元测试）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有个.【答案】4【分析】根据线面垂直的性质得到线线垂直，再由，即可得到平面，即可判断.【详解】因为平面，平面，所以，，，即、为直角三角形，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以、也为直角三角形，即以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形有个.故答案为：例题2．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于点，连接，可证得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点，由得，由余弦定理得，所以是等腰直角三角形，所以，从而平面，进而得结论.【详解】（1）连接交于点，连接，由于底面为平行四边形，所以为的中点．在中，为的中点，所以又因为平面平面，所以平面．（2）取中点，连接．因为，所以，又，所以，又，所以由余弦定理得，即，所以是等腰直角三角形．又点是的中点，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以．例题3．（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）在四棱锥中，平面为的中点，．

(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用体积转换法得，从而可求解.（2）取中点，证明平面，从而可证.【详解】（1）由题知：，，所以在中，又因为，所以，在中，，因为平面，为的中点，所以，故三棱锥的体积.（2）证明：取中点，连接，，，如下图所示，

由（1）知，且为中点，所以，因为，得，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.故证：.精练核心考点1．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在长方体中，，，点在线段上.(1)求证：；(2)当是的中点时，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）取的中点，连接，证明，再利用等体积法求解即得.【详解】（1）在长方体中，连接，由，得，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）取的中点，连接，四边形是长方体的对角面，则四边形是矩形，，而是的中点，则，因此，即共面，显然，则，等腰底边上的高，的面积，的面积，设点到平面的距离为，由，得，于是，解得，所以点到平面的距离.2．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点是的中点，分别是的中点．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，根据线面垂直可证平面，进而可得结果；（2）连接，根据锥体的体积公式运算求解.【详解】（1）因为平面，平面，则．在中，，由勾股定理可得．连接，因为，点是的中点，则，在中，，所以．连接，在等腰三角形中，点是的中点，则．因为平面，平面，则，由∥，且，则，且平面平面，所以平面．因为平面，所以，又平面平面，所以平面．因为，所以，点共面，故平面，所以．（2）连接，因为分别是的中点，所以，所以，由于，则，故三棱锥的体积．3．（2022上·陕西延安·高一校考期末）在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

(1)平面；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，然后根据线面平行的判定定理证明即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明面，即可得出结论.【详解】（1）

如图，连结，在正方体中，因为，为棱的中点，所以为的中位线，所以，又因为平面，不在平面内，所以平面.（2）在正方体中，由面，面，所以，又，面，面，，所以面，又由面，所以.题型十一：证明面面垂直典型例题例题1．（2024上·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可；（2）根据几何图形特征转化求出到平面的距离即可.【详解】（1）因为底面为正方形，平面，平面,所以，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）易知平面，故到平面的距离即到平面的距离，过作，平面平面，由上结论可知平面，由题意面为正方形，平面，平面，则，所以,显然是等腰直角三角形，又四边形为平行四边形，故是等腰直角三角形，所以,故四棱锥的高为1.例题2．（2020上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；（2）由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，面面垂直.【详解】（1）连接，交于点，连接，因为底面为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，故平面；（2）平面，平面，∴，∵底面为矩形，.又，平面，平面.又平面，平面平面.例题3．（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别作的中点，证得，得到，再由，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面.（2）过作于，求得，，设点到平面的距离为，结合，即可求解.【详解】（1）证明：分别作的中点，连接，因为分别为的中点，且四边形为等腰梯形，可得，所以，在等腰梯形中，因为，，可得，所以，因为是正三角形，是中点，所以，又由，可知又因为，所以，所以，因为，，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，且为的中点，可得，过作于，因为，则为的中点，且，所以，又由，所以，设点到平面的距离为，则，解得，所以点到平面的距离为.精练核心考点1．（2022上·海南儋州·高二校考期末）平面内是直角三角形且C是直角顶点，若.

(1)求证：平面平面PBC(2)是等腰直角三角形且斜边，，求棱锥的体积【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先证线面垂直，然后由面面垂直的判定定理得出即可；（2）直接利用锥体的体积公式即可.【详解】（1）证明：因为PA，，故，又，，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）因为是等腰直角三角形且斜边，所以，.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面．证明：平面平面；

【答案】证明见解析【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到结果.【详解】因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.3．（2023·四川成都·校联考一模）如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）利用等体积法即可求解.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，又平面，平面，平面，平面平面；（2）由（1）可知平面，又平面，由题意可知，，，，设点到平面的距离为，由可得，，即，解得.所以点到平面的距离为.题型十二：补全面面垂直的条件典型例题例题1．（2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答.（2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答.【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得，由正方形，得，而平面平面，平面平面，且平面，则平面，又平面，于是，而平面，所以平面.（2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，

于是，由正方形，得，则，令，显然是正的中心，，，又平面平面，平面平面，则平面，平面，即有，而平面，则平面，平面，在平面内过作交于，显然，而平面，因此平面，连接并延长交于，连接，于是平面平面，过作，则有，，，，，则，又，，从而点是线段的中点，，过作交于，于是，即，显然，因此，所以在棱上存在点N使平面平面成立，.例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点．(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在点N为AB中点，证明见解析【分析】（1）通过证明底面来证得.（2）取为的中点，通过证明平面来证得平面平面.【详解】（1）正三角形中，为的中点，故，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以底面，又底面，所以；（2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下：由（1）知：底面，又底面，所以，因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，而平面，所以平面，又平面，所以平面平面；

例题3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，且点为棱的中点【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）当点为棱的中点时，推导出平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）证明：取的中点，连接、、，因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，因为为的中点，则且，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面.（2）解：当点为的中点时，平面平面，

因为四边形为矩形，则，因为，则，因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形，因为为的中点，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，平面平面，因此，当点为的中点时，平面平面.精练核心