适用于新教材强基版2025届高考数学一轮复习教案第九章统计与成对数据的统计分析94列联表与独立性检验新人教A版

§9.4列联表与独立性检验

【考试要求】1.通过实例，理解2X2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应

用.

■落实主干知识

【学问梳理】

1.分类变量

为了表述便利，我们常常会运用一种特别的随机变量，以区分不同的现象或性质，这类随机

变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.

2.列联表与独立性检验

(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2X2列联表：

Y

X合计

r=oK=1

才=3aba+b

/=1cdc+d

合计a+cb+d〃=a+6+c+d

(2)计算随机变量犬=7丁+而+/+7利用X，的取值推断分类变量I和尸是否独立的

方法称为小独立性检验.

如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.010.0050.()01

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【思索辨析】

推断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)2X2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(V)

(2)事务力和8的独立性检验无关，即两个事务互不影响.(X)

(3)/的大小是推断事务月和8是否相关的统计量.(J)

(4)在2X2列联表中，若|ad一8c|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.(X)

【教材改编题】

1.某机构为调杳网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200

名爱玩网游，在40()名女生中有50名爱玩网游.若要确定网游爱好是否与性别有关时、用下

列最适合的统计方法是()

A.均值B.方差

C.独立性检验1).回来分析

答案C

解析由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验推断.

2.如表是2X2列联表，则表中a,〃的值分别为()

度合计

X\a835

X2113445

合计b4280

A.27,38B.28,38

C.27,37I).28,37

答案A

解析a=35—8=27,b=a+11=27+11=38.

3.已知P(二26.635)=601,P(炉210.828)=().00].在检验宠爱某项体育运动与性别是

否有关的过程中，某探讨员搜集数据并计算得到y=7.235,则依据小概率值a=________

的/独立性检验，分析宠爱该项体育运动与性别有关.

答案0.01

解析因为6.635<7.235<10.828,所以依据小概率值。=0.01的炉独立性检验，分析宠爱

该项体育运动与性别有关.

■探究核心题型

题型一列联表与力的计算

例1(1)为了解某高校的学生是否宠爱体育熬炼，用简洁随机抽样方法在校内内调查了12()

位学生，得到如下2X2列联表:

男女合计

宠爱ab73

不宠爱C25

合计74

则a—6—c等于()

A.7B.8C.9D.10

答案c

解析依据题意，可得。=120—73—25=22,<3=74-22=52,6=73—52=21,

补充完整2X2列联表为：

男女合计

宠爱522173

不宠爱222547

合计7446120

；・a——52——21——22=9.

(2)为加强素养教化，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成果进行了调

查统计，结果如表：

体育课不及格体育课及格合计

文化课及格57221278

文化课不及格1643b9

合计73264337

在对体育课成果与文化课成果进行独立性检验时，依据以上数据可得到Y的值为()

A.1.255B.38.214

C.0.0037D.2.058

答案A

EL-nad-be

解析2x-=~~~-：

a十bc-\-da-rcb+d

337X57X43-16X2212

=----------------------------七］255

278X59X73X264

思维升华2X2列联表是4行4歹"，计算时要精确无误，关键是对涉及的变量分清类别.

跟踪训练1某次国际会议为了搞好对外宣扬工作，会务组选聘了50名记者担当对外翻译工

作，在如表“性别与会外语”的2X2列联表中，叶方+d=.

会外语不会外语合计

男ab20

女6d

合计1850

答案44

解析由题意得a+力+什6=50,

所以a+6+450—6=44.

题型二列联表与独立性检验

例2(2024•吉林模拟)共享单车是指企业与政府合作，在校内、地铁站点、公交站点、居

民区、商业区、公共服务区等供应单车共享服务，是共享经济的一种新形态.为了探讨广袤

市民共享单车的运用状况，某公司在某市随机抽取了200名用户进行调查，得到如下数据:

单位：人

每周运用次数1次2次3次4次5次6次及以上

男866141660

女1210881240

合计2016142228100

⑴假如认为每周运用超过3次的用户为“宠爱骑行共享单车”，请完成2X2列联表;

单位：人

不宠爱骑行共享单车宠爱骑行共享单车合计

男

女

合计

(2)依据小概率值。=0.05的独立性检验，分析“宠爱骑行共享单车”是否与性别有关.

nad—be

附：*=a—bm'

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)由题中表格可得2X2列联表如下:

单位：人

不宠爱骑行共享单车宠爱骑行共享单车合计

男2090110

女306090

合计50150200

(2)零假设为/九”宠爱骑行共享单车”与性别无关.将2X2列联表中的数据代入公式计算

得，

2200X90X30—60X2()2

*=50X150X110X90「6.06>3.841=m05,

所以依据小概率值。=0.05的独立性检验，推断及不成立，即认为“宠爱骑行共享单车”

与性别有关.

思维升华独立性检验的一般步骤

⑴依据样本数据制成2义2列联表.

⑵依据公式/=不畸篝不尹算.

(3)比较x?与临界值的大小关系，作统计推断.

跟踪训练2为了削减自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得

不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知状况，某地探讨机构将“90后与00后”作为A

组，将“70后与80后”作为片组，并从48两组中各随机选取了100人进行问卷调查，整

理数据后获得如下列联表：

单位：人

认知状况

年龄段合计

知晓不知晓

力组(93后与00后)7525100

6组(70后与80后)4555100

合计12080200

2_______nad-bd

附:n=a~\-b-\-c~\~d.

Xa+bc~\~出+cb-\-cf

a0.10.050.010.0050.()01

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例支配的分层随机抽样方法随机抽取

16人，问应在力组、组中各抽取多少人？

⑵能否依据小概率值。=0.001的独立性检验,分析对“绿色消费”意义的认知状况与年

龄有关？

754匚

解(1)由题意知，在月组中抽取的人数为16义亩=10.在4组中抽取的人数为16X-^-=6.

1乙U14

(2)零假设为"：对“绿色消费”意义的认知状况与年龄无关.

./曰2200X75X55—25X45--…八

由题总'得x=[20X80X100X100=18.75〉10.828=胸.岫,

故依据小概率值0=0.001的独立性检验，推断〃不成立，即认为对“绿色消费”意义的认

知状况与年龄有关.

题型三独立性检验的综合应用

例3体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2024—

2030）》（下面简称“体育健康促进行动方案”）中明确提出青少年学生每天在校内参加不少于

60分钟的中高强度身体活动的要求.随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运却受到

各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.某中学老师为了了解体育

运动对学生的数学成果的影响状况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取100C名学

生，调查他们平均每天的体育运动状况以及本次月考的数学成果状况，得到如表数据：

数学成果[133,

[30,50)[50,70)[70,90)[9(),110)[110,130)

（分）153]

人数（人）2512535030015053

运动达标

104514520010743

的人数（人）

约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成果排在年级前

50%以内（含50%）的为“数学成果达标”.

（1）求该中学高三年级本次月考数学成果的65%分位数；

（2）请估计该中学高三年级本次月考数学成果的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表）；

（3）请依据已知数据完成下列列联表，并依据小概率值0=0.001的独立性检验，分析“数学

成果达标”是否与“运动达标”相关.

数学成果达标人数数学成果不达标人数合计

运动达标人数

运动不达标人数

合计

附：函=再一标二为+和"c十功.

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

解(1)每组的频率依次为0.025,0.125,0.350,0.300,0.150,0.050,

V0.025+0.125+0.350=0.500<0.65,0.025+0.125+0.350+0.300=0.800>0.65,

且。.5。。：。.8。。=065,

而三年级本次月考数学成果的65%分位数位于［90,110)内，且为［90,110)的中点100,

该中学高三年级本次月考数学成果的65%分位数为100.

(2)该中学高三年级本次月考数学成果的平均分

x=0.025X40+0.125X60+0.350X80+0.300X100+0.150X120+0.050X140=91.50,

估计该中学高二年级本次月考数学成果的平均分为91.50分.

⑶列联表如表所示:

数学成果达标人数数学成果不达标人数合计

运动达标人数350200550

运动不达标人数150300450

合计5005001000

零假设为〃：“数学成果达标”与“运动达标”尢关，

2

21000X350X300-290X1501000...................°

x=550X450X500X500=11190.9>10.828=8,⑼,

・•・依据小概率值。=0.001的独立性检验，推断外不成立，即认为“数学成果达标”与“运

动达标”有关.

思维升华独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考杳，这类问题的求解往往

按各小题及提问的依次，一步步进行下去，是比较简洁解答的，考查单纯的独立性检验往往

用小题的形式，而且V的公式一般会在原题中给出.

跟踪训练3某网红奶茶品牌公司支配在/市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店

的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表

示在5个区域开设分店的个数，尸表示这4个分店的年收入之和.

x（个）23456

了(十万元)2.5344.56

⑴该公司经过初步推断，可用阅历回来模型拟合y与x的关系，求y关于x的阅历回来方程;

(2)假如该公司最终确定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，依据市场调查得到如下

统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，其次分店每天的

顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.依据个概率值。=0.1的独立性检验，分

析两个店的顾客下单率有无差异.

2%匕一〃ay

/j八41——onad—be

参考公式：'=———，a=y—bx；.=，+儿+而+”+-^-=2.706.

中22

工XLnx

/-i

解⑴由题意可得，二=2+3+：+5+6=%

—2.5+3+4+4・5+6

y=5=%

5

EX»=2X2.5+3X3+4X4+5X4.5+6X6=88.5,

/=!

X^=22+32+42+52+62=90,

/=!

设y关于A■的阅历回束方程为Ia，

5____

2%凹一5xy

88.5-5X4X4

则2----------------=90-5X42=°-85

Z第一57

a=y-bx=4-0.85X4=0.6,

关于x的阅历回来方程为y=0.85x+0.6.

(2)零假设为篇：两个店的顾客下单率无差异，则

由题意可知2X2列联表如表所示:

不下单下单合计

分店一25530

分店二602080

合计8525110

110X25X20—5X6()244八八八……

:.x30X80X85X25=51^°,863<2.706=吊」，

・•・依据小概率值。=0.1的独立性检验，没有充分证据推断幕不成立，即两个店的顾客下单

率没有差异.

课时精练

网基础保分练

1.视察下列各图，其中两个分类变量X,y之间关系最强的是（）

^3-^2

c

答案1）

解析视察等高积累条形图易知D选项两个分类变量之间关系最强.

2.下列关于独立性检验的说法正确的是（）

A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验

B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系

C.利用小独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

系时，则我们可以说在1。）个吸烟的人中，有99人患肺病

D.对于独立性检验，随机变量/的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

答案D

解析对于A,独立性检验是通过卡方计算来推断两个变量存在关联的可能性的一种方法，

并非检验二者是否是线性相关，故错误；

对于B,独立性检验并不能100与确定两个变量相关，故错误；

对于C,99$是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，

故错误；

对于D,依据卡方计算的定义可知该选项正确.

3.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调杏40人，得到如下数据：

流感

药物

患流感未患流感

服用218

未服用812

下表是犬独立性检验中几个常川的小概率值和相应的临界值:

a0.10.050.010.005

Xo2.7063.8416.6357.879

依据表中数据，计算x?=八心+d若由此认为“该药物预防流感有效果”，则

该结论出错的概率不超过（：）

A.0.05B,0.1C.0.01I）.0.005

答案A

-kJ240X2X12—8X16c、、c

解析由题意知，x=ic、/，“=4.8>3.841=%.05,

1UAJU人ZU入ZU

由临界值表可知，认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过0.05.

4.（多选）（2024•郑州模拟）为考察一种新型药物预防疾病的效果,某科研小组进行动物试验，

收集整理数据后将所得结果填入相应的2X2列联表中，曰列联表中的数据计算得小g*616.

参照附表，下列结论正确的是（）

附表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.依据小概率值。=0.001的独立性检验,分析认为“药物有效”

B.依据小概率值。=0.0。1的独立性检验,分析认为“药物无效”

C.依据小概率值。=0.005的独立性检验,分析认为“药物有效”

D.依据小概率值。=0.005的独立性检验,分析认为“药物无效”

答案BC

解析因为犬生9.616,所以7.879</。0.828,所以依据小概率值。=0.（）01的独立性检

验，分析认为“药物无效”.

依据小概率值。=0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”.

5.（多选）（2024•南通模拟）依据分类变量x与y的视察数据，计算得到炉=2.974,依据

表中给出的/独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列推断，正确的是（）

a0.10.050.010.0050.001

x«2.7063.8416.6357.87910.828

A.依据小概率值。=0.05的独立性检验，分析变量x与y相互独立

B.依据小概率值。=0.05的独立性检验，分析变量x与y不相互独立

C.变量x与y相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

D.变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

答案AD

解析因为/=2.974〉2.706,所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过

0.1.

6.为考查某种养分品对儿童身高增长的影响，选取部分」童进行试验，依据100个有放回简

洁随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是（）

身高

养分品合计

有明显增长无明显增长

食用a1050

未食用b3050

合计6040100

参考公式：x'a+@3b+d其中〃=a+b+c+d

参考数据：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.ci=5=30

B.*2^12.667

3

C.从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该养分品且身高有明显增长的儿童的概率是之

□

D.依据小概率值。=0.0。1的独立性检验，可以认为该养分品对儿童身高增长有影响

答案D

解析由题可知2=50—10=40,。=50—30=20,所以A错误;

100X40><30-10X2/

勺16.667>10.828=沏.0CI9

50X50X60X40

所以依据小概率值0=0.001的独立性检验.

可以认为该养分品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确；

402

从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该养分品且身高有明显增长的儿童的概率是诉==,

1UOt>

所以C错误.

7.如表是对于“宠爱运动”与性别是否有关的2X2列联表，依据表中的数据，得到

犬弋（结果保留到小数点后3位）.

宠爱运动不宠者运动合计

男402868

女51217

合计454085

答案4.722

85X40X12—28X5?

解析*2=45X40X68X17^4,722,

8.一项探讨同年龄段的男、女生的留意力差别的脑功能试验，其试验数据如表所示:

留意力稳定留意力不稳定

男生297

女生335

则犬=（精确到小数点后三位），依据概率值。=0.05的独立性检验，该试验

该年龄段的学生在留意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）.

答案0.538支持

解析由表中数据可知a=29,6=7,(?=33,d=5,〃=a+b+c+d=74,

nad-bd

依据r=

a+cc+db+曲+6

74X145-2312

计算可知x20.538<3.841=照,05,

29+33X33+5X7+5X29+7

所以没有充分证据认为学生在留意力的稳定性上与性别有关，

即该试验支持该年龄段的学生在留意力的稳定性上对于性别没有显著差异.

9.（2024•全国甲卷改编）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，

为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了20（）件产品，产品的质量状况统计

如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

⑵依据小概率值。=0.01的独立性检验能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有

差异？

附：x--Wb+d片a+6+c+d

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)依据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是诉=0.75,乙机床生产的

产品中一级品的频率是加=0.6.

⑵零假设为〃：甲机床的产品质展与乙机床的产品质最无差异,

依据题表中的数据可得

2400X150X80-120X502

200X200X270X130

400

=~T7T^10.256>6.635=照.01,

所以依据小概率值。=0.01的独立性检验，推断及不成立，即认为甲机床的产品质量与乙

机床的产品质量有差异.

10.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，儿“在试验地分别用甲、乙方法培

育该品种花苗.为观测其生长状况，分别在试验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分,

将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为

优质花苗.

频率

组距|

al..........................

O.O25^....................

0.020|----------------------L-J——

o.oiol------1—

o.oo5r--i-

0506()7()8()9()1(山综合评分

(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数：

(2)填写下面的2X2列联表，并依据小概率值＜7=0.01的独立性检验，分析优质花苗与培育

方法是否有关，请说明理由.

优质花苗非优质花苗合计

甲培育法20

乙培育法10

合计

附：其中〃=a+》+c+d

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(D由直方图的性质可知,0.005X10+0.010X10+0.025X10+10a+0.020X10=1,

解得a=0.040,

因为(0.02+0.04)X10=0.6>().5,所以中位数位于［80,90)内，

设中位数为心则有0.020X10+0.040X(90—*)=0.5,解得x=82.5.

故综合评分的中位数为82.5.

⑵由(1)得优质花苗的频率为0.6,

所以样本中优质花苗的数量为60.

得如下列联表：

优质花苗非优质花苗合计

甲培育法203050

乙培育法401050

合计604010()

零假设为优质花苗与培育方法无关,

100X20X10-30X44?

=-60X40X50X50-416.667>6.635=xo.oi,

所以依据小概率值。=0.01的独立性检验，推断〃不成立，即认为优质花苗与培育方法有

美.

0综合提升练

11.在某病毒疫苗的研发过程中，须要利用基因编辑小鼠进行动物试验.现随机抽取100只

基因编辑小鼠而该病毒疫亩进行试验，得到如下2X2列联表(部分数据缺失)：

被某病毒感染未被某病毒感染合计

注射疫苗1050

未注射疫苗3050

合计30100

计算可知，依据小概率值。=的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫

苗能起到预防该病毒感染的效果”()

附：X、+黑之cb+d〃=a+"+c+d

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.0.001B.0.05

C.0.01D.0.005

答案B

解析完善2X2列联表如下:

被某病毒感染未被某病毒感染合计

注射疫苗104050

未注射疫苗203050

合计3070100

零假设为小：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”.

2100X10X30—40X2()2

因为*=—--4.762,3.841<4.762<6.635,

3UX/UX3UXDU

所以依据小概率值。=0.05的独立性检验，推断A不成立，

即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.

12.（多选）有两个分类变量M匕其列联表如表所示.

Y

X合计

YxY2

力a20-a20

Xz15-a30+a45

合计155065

其中a,15—a均为大于5的整数，若依据。=0.05的独立性检验可以认为r与Y有关,则a

的可能取值为（）

A.6B.7C.8I）.9

答案CD

解析依据於5且15—a>3,aEZ,知a可取6,7,8,9.曰表中数据及题意，得

2

265X[c/30+a—15—a20—a]13X13a—60"人人加AA-TN#讣，

*=20X45X15X50=20X45X3X1841=m。5,~口口选儿知a的可耻取

值为8,9.

区拓展冲刺练

13.（多选）在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的状况，得到如下

列联表：（单位：人），则（：）

晕机

性别