双曲线 教学设计

双曲线

【知识要点】

1.双曲线的定义

第一定义：平面内与两个定点B、F2的距离的差的绝对值是常数(小于IFF小的点的轨

迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

第二定义：平面内到定点V的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨

迹叫做双曲线，即卫也;e(e>l).

d

F为直线1外一定点，动点到定直线的距高为d,e为大于1的常数.

2.双曲线的标准方程与几何性质

?222

厂)厂…八yx~

标准方程——--r-=1(a>0,b>0)-z----=1(a>0,b>0)

CTb~crh~

简图

中心0(0,0)0(0,0)

顶点Ai(-a,0),A2(a,0)Ai(0,a),A2(0,-a)

范围冈沁lyl^a

焦点F)(-C,0).F2(C,0)F|(0,-C).F2(0,C)

a2a2

准线x=±—y=±—

,b.a

渐近线y=±—xy=±—x

ab

3.焦半径公式

厂

M(xo,yo7、一7-r=l右支上的点，贝iJ|MFi|=exo+a,|MF|=exo-a.

a-b~2

x2v2

⑴当乂仪⑨为二-二丁口左支上的点时,|MB|=(a+ex),|MF2|二ex-a.

crb~

(2)当M(x,y)为二・匚二1上支上的点时，|MF,|=ey0+a,|MF2|=ey0-a.

ao

【基础训练】

1.（2004年春季北京）双曲线二一t二1的渐近线方程是

)

49

3294

A.y=±—xB.产土铲C.v=±—xD.y=±—x

4

v-2

2.过点（2,-2）且与双曲线、一）2二1有公共渐近线的双曲线方程是（）

22

3.如果双曲线L—二=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的右准线距离

6436

是（）

A.IOB.叱且C.2V7D.—

75

22

4.已知圆。过双曲线三一”二1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心

916

到双曲线中心的距离是.

5.求与圆儿（x+5）2+/=49和圆/（才-5）2+/=1都外切的圆的圆心〃的轨迹方程为

【典型例题】

题型一:求双曲线的标准方程

例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：

22

（1）与双曲线工一匚=1有共同的渐近线，且过点（一3,273）；

916

2

r「

（2）与双曲线有公共焦点，且过点（372,2）.

164

（3）实轴长为16,离心率为e=*

4

(4)经过两点P(-3,2V7)Q(-6V^-7)

题型二:双曲线的定义及应用

例2、（2002年全国，19）设点P到点M（-1,0）、N（l,0）距离之差为2加，到x轴、

j轴距离之比为2,求〃z的取值范围.

22

例3、如下图，在双曲线v台一去x•可的上支上有三点A（xi，yi）,B（及，6）,C（物力），

它们与点尸（0,5）的距离成等差数列.（1）求.川+》的值；

(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

变式：、已知42,1)，厂(VI0),多是曲线炉一丁2=心>0)上一点,当|尸川+匚|尸尸］

取最小值时，P的坐标是___________,|尸4|+J|P用最小值是_________.

2

题型三:双曲线的性质及应用

22

VV厂

例4、已知双曲线4=1的离心率6>1+血，左、右焦点分别为人、出,左准线为

a~b~

/,能否在双曲线的左支上找一点P,使得IPFil是P至I"的距离d与|尸尸2|的等比中项？

22

变式：过双曲线二一二二1.的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M,交双曲线的左右两

a~b~

支于A、B两点，求双曲线离心率的取值范围。

例5、设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为学且点…5）到此双曲

线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.

小结：

本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本

节问题应注意以下几点：

1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式

（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

(2)已知渐近线的方程Z?x±a)=O,求双曲线方程，可设双曲线方程为序/一，尸二%

(4W0),根据其他条件确定力的值.若求得4>0,则焦点在x轴上，若求得4V0,则焦

点在)，轴上.

2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特

别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.

3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量.

【考题再现】

22

1、(07湖北)过双曲线上一匕=1左焦点耳的直线交曲线的左支于M,N两点，鸟为

43

其右焦点，贝”咋|+|N周一|M¥|的值为

2、(07全国)设大，落分别是双曲线「一2T的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使

a~h~

^AF2=90且|"；|=3k周，则双曲线的离心率为()

A.B.----C.---D.y/5

222

3、(07江苏)在平面直角坐标系x°v中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近

线方程为x—2y=0,则它的离心率为()

V5

A.\/5C.GD.2

2

4、双曲线。1：夕一方=1(〃>0,8>0)的左准线为/,左焦点和右焦点分别为匕和F”

抛物线C的准线为/,焦点为工；G与G的一个交点为M，则”}-P驾等于

\MFA\MF2\

()

A.-1B.1・

2

5、(07陕西)已知双曲线C：二一与二1(。>()">()),以C的右焦点为圆心且与C的渐

a~h~

近线相切的圆的半径是()

(A)a(B)b(C)而(D)J/+一2

6、(07北京)矩形ABC力的两条对角线相交于点历(2,0),AB边所在直线的方程为

x-3y-6=0,点7(-1,1)在4。边所在直线上.

(I)求AO边所在直线的方程；

(II)求矩形A8CQ外接圆的方程;

(Ill)若动圆P过点N(—2,0),且与矩形ABC。的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹

方程.

双曲线作业

1.(2004年天津，4)设P是双曲线与一片二1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x

a29

-2y=0,月、B分别是双曲线的左、右焦点.若|PB|=3,则|P3|等于()

A.1或5B.6C.7D.9

2.(2005年春季北京,5)%从0”是“曲线ox2+旅二］为双曲线”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

22

3.(2003年上海)给出问题：Q、F2是双曲线匚一二二1的焦点，点尸在双曲线上.若点

1620

尸到焦点用的距离等于9,求点P到焦点B的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长

为8,由||PR|—|PBII=8,即|9一|P尸刎=8,得|P尸2|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将

正确结果填在下面横线上..

2

4.过点A(0,2)可以作条直线与双曲线f一二=1有且只有一个公共点.

4

5.己知双曲线的方程是16^-9/=144.

(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程：

(2)设R和3是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PH|・|PBI=32,求N

居尸F2的大小.

6.已知双曲线『一二二1与点P(1,2),过。点作直线/与双曲线交于A、A两点，若P

2

为A8中点.

(1)求直线A8的方程；

(2)若Q(l,1),证明不存在以Q为中点的弦.

【基础训练】

1.（2004年春季北京）双曲线二一匚二1的渐近线方程是

)

49

3294

A.y=±-xB.}=±-xC.y=±-xD.y=±-x

9

解析：由双曲线方程可得焦点在1轴上，。=2,b=3.

/.渐近线方程为），二土」4土3x.

a2

答案：A

v2

2.过点（2,-2）且与双曲线5一>2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）

_JRd一）'-1

AZ-----1B.——----1

2442

c工222

———=1D.—————=1

4224

v2

解析:可设所求双曲线方程为L一丁-4，把（2,-2）点坐标代入方程得4--2.

2.

答案：A

22

3.如果双曲线二一二=1上一点尸到它的右焦点的距离是8,那么尸到它的右准线距离

6436

是（）

A.10B.四互C.2V7D.—

75

QQQO

解析：利用双曲线的第二定义知尸到右准线的距离为-二8X2=三.

e1（）5

答案：D

22

4.已知圆C过双曲线三一”二1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心

916

到双曲线中心的距离是.

解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆。的圆

心的横坐标为4.故圆心坐标为（4,土生自）.易求它到中心的距离为3.

33

答案:与

5.求与圆A：（x+5）2+y=49和圆B：（x—5）耳9二］都外切的圆的圆心P的轨迹方程为

解析：利用双曲线的定义.

X2y2

答案：--^-=1（A>0）

916

【典型例题】

题型一:求双曲线的标准方程

例I、根据下列条件，求双曲线的标准方程：

22

（1）与双曲线L一二二1有共同的渐近线，且过点（一3,26）；

916

2?2

（2）与双曲线二一二二1有公共焦点，且过点（372,2）.

164

（3）实轴长为16,高心率为e

4

（4）经过两点P（-3,2行）。（-6嫄7）

剖析：设双曲线方程为5一二二1,求双曲线方程，即求。、b,为此需要关于。、b

a2b2

的两个方程，由题意易得关于。、方的两个方程.

22

解法一：（1）设双曲线的方程为三一二二1,

a2b2

rb_4

­=一,

a3

由题意，得，,「、

（-3）2（2扬2

——L~-----；­=।，

9

解得/=乙，/=4.

4

所以双曲线的方程为之一二二1.

94

4

22

（2）设双曲线方程为二一二二1.

a~b~

由题意易求。二2后.

又双曲线过点（372,2）,

,（3@24।

♦,丁一丁

又•：/+〃=（2石）2,

a2=12,Z?2=8.

22

故所求双曲线的方程为二一二二1.

128

22

解法二：（1）设所求双曲线方程为二一”二月（4#0）,

916

将点(一3,2百)代入得力=’,

4

y2V21

所以双曲线方程为二一2-

9164

(2)设双曲线方程为――

\6—k4+k

22

将点(3Vl2,2)代入得;4,所以双曲线方程为r二一2v_=1.

128

评述：求双曲线的方程，关键是求。、b,在解题过程中应熟悉各元素(〃、b、c、e

及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程办土力=(),可

设双曲线方程为/f—尻)，2=4(H#()).

X2

(4)--1.

2575

题型二:双曲线的定义及应用

例2、(2002年全国，19)设点P到点M(—1,0)、N(1,0)距高之差为2机，到x轴、

)，轴距离之比为2,求〃z的取值范围.

剖析：由|PM]一|PM=2加,得||PM|—|PM=2|m|.知点尸的轨迹是双曲线,由点P到x轴、

j轴距离之比为2,知点夕的轨迹是直线，由交轨法求得点尸的坐标，进而可求得，〃的取

值范围.

解：设点尸的坐标为(/,)，)，依题意得昌=2,即产±2x(xWO).

©

因此，点、P(x,丁)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线，得||PM-|PN||V|MN=2.

V||PA/|-|PN]|=2|w|>0,

・・・0<|刑<1.因此，点P在以M、N为焦点,实轴长为21M的双曲线上.

②

2，、

将①代入②’并解得八Z1%52

*/1~m2>0,1—5m2>0.

解得,

即，〃的取值范围为（一或，0）U（0,—）.

55

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析

问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.

22

vx

例3、如下图，在双曲线？一一二二1的上支上有三点八（xi，m），B（X2,6）,C（x3,力），

1213

它们与点尸（0,5）的距离成等差数列.

（1）求丁|十丁3的值；

（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

剖析：可以验证厂为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有

三点纵坐标成等差数列，由此易得巾+），3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出

A与C关于y轴的对称点与C'.由双曲线的对称性，易知A'与C'也在双曲线上，且

4'、8、C'满足题设条件，所以A'C'的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于），轴对

称.所以定点应在y轴上.

（1）解：c=J12+13=5,故/为双曲线的焦点，设准线为/,离心率为e,由题设有

2\FB\=\FA\+\FC\.

①

分别过A、B、C作x轴的垂线A4、BBz、9,交/于4、B]、G，则由双曲线第二

定义有|F8|二e|88i|,|M|=e|A4]|,\FC\=e\CC\\.代入①式,得20881|=044]|+。。。1，

EP2|BBI|=|A4I|+|CCI|.

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有

2|BB2|=|A42|+|CC2|,

此即2X6二y+2，可见）"+?3=12.

（2）证明：AC的中垂线方程为

、一y+)'3：_司一3a-』+均)

-2月一%2

即y—6，=~—“1--—--"-3X+....—..1.3—

丁1一）32（必一），3）

②

由于4、。均在双曲线上，

2222

所以有五一.勺，幺一£二1

12131213

相减得五区=2LL21.于是有

1312

-xl13/、130s

——-=—（）=+'3）=—<12=13,

），「），312-12

故②变为广一工二七户生，易知此直线过定点。(0,—).

%一为22

评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题

往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.

练习：、已知A(2,l)I(Jl0),P是曲线/一丁2=1(工>0)上一点，当|84|+春|PF|

历

取最小值时，P的坐标是___________，|P4|+J|PP|最小值是_________.

2

题型三:双曲线的性质及应用

2)2

例4、已知双曲线二一二=1的离心率6>1+后，左、右焦点分别为尸|、出,左准线为

/b-

I,能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PQ|是P到/的距离d与|小囹的等比中项？

解：设在左支上存在尸点，使|PFIF=|PF2|・4由双曲线的第二定义知

IP不।"I

~l~=TPF\\=ef即Mn“ip出ri~伊l川pr・i

①

再由双曲线的第一定义，得|PFd—|PFi|=2a.

②

由①②，解得|PBI=2L,\PF2\=—，

e-1e-1

・・,|PQ|+|P尸2|问尸国|，

.2a2ae

..-----+------22c.

e-le-l

③

利用e=£,由③得2e—1WO,

Cl

解得1一后We〈l+也.

Ve>l,

J4Wl+V5与已知e>\+41矛盾.

・•・在双曲线的左支上找不到点P,使得|PFi|是P到/的距离d与|PBI的等比中项.

x22

变式：过双曲线与一二v二1.的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M,交双曲线的左右两

a~b-

支于A、B两点，求双曲线离心率的取值范围。C

例5、设双曲线的中心在原点，准线平行于/轴，离心率为好，且点尸（（），5）到此

2

双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.

22

分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为二一三二1.

a-b-

由离心率为95,可得/+房二（1叵〃）2二（2.

22

由点P（0,5）到此双曲线上的点的最近距离为2,可转化为二次函数的最大（小）

值问题来讨论，得到〃、〃应满足的另一关系式.从而求出。2、庐，本题得解.

y2

解：依题意，设双出线的方程为彳=1(。〉0,b>0).

a

Ve=-=—,(r=cr+lr,：.cr=4b2.

a2

设M(x,y)为双曲线上任一点，则

|PA/|2=X2+(y—5)2

=b2（=一1）+（厂5）2

a~

=—（y—4）2+5—〃（|）422Z?）.

4

①若423,则当尸4时，

22

|PM|inin=5-Z?=4,得/=1,标=4

2

从而所求双曲线方程为上一/二1.

4

②若4＜2匕，则当y=2b时，

|PMmi，=4/-20〃+25=4，

7349

得/?二一（舍去/?二二），b2=—,次=49.

224

24x2

从而所求双曲线方程为v"--=1.

4949

题型四:双曲线的综合问题

例6、若Fi、F2分别为双曲线的下、上焦点，0为坐标原点，点P在双曲线的

crb~

——►—►-----►FP~F0

下支上，点M在上准线上，且满足KO=MP,6加二人人＞0）.

21

\F}P\\F]0\

⑴求此双曲线的离心率；

⑵若此双曲线过N（6,2）,求此双曲线的方程；

⑶若过N（J5,2）的双川I线的虚轴端点分别为Bi、BKB2在x轴正半轴上），点A、B在双曲

线上，且不二口瓦求瓦雨时直线AB的方程.

解：⑴初二而二＞5斤二而，.・.PFQM为平行四边形.

------FP~FO

又大M二人（」一+」一）知M在NPFQ的角平分线上，

WPI附。1

・・・四边形PFQM为菱形,且边长为|尸£|=|耳O|=c.

PKX|=2a+|IPE|=2a+c.

由第二定义知屿1二e,即网小二e.

|PM|c

2

，一+l=e且e>l=e=2.

e

(2)由e=2,c=2a,B|Jb2=3a2.

双曲线方程为二二1.

a23/

43

又(3,2)在双曲线上，---=1.

a23/

22

•,•@2=3.，双曲线方程为---=1.

39

(3)由不二U瓦Z知AB过点B?,若AB_Lx轴，即1AB：X=3,此时ABI与BBI不垂直.

92

V.X

设直线AB的方程为y=kx-3k,代入。--方~=1,得(3k2-l)x2-18k2x+27k2-9=0.

由题知3k2-1WO且A>0,即且k2w」.

63

设交点A(xi,yi),B(X2,y2),4A=(xi+3,y)B=(x2+3,y2).

,:B}A-LB]B,BxA,&B=0,即xiX2+3(xi+x2)+9+yiy2=0.

18/

此时4

•x2=9.

2

yi•y2=k(xi-3)(x2-3)

=k2[X|X2-3(X|+X2)+9]

54k2-\Sk2

=k29(18-—；—)=一；—

3k23k2-I

18公-ISk2

A9+3+94=0.

3k23k2

5k2=1.k=±.

5

.百”AR的卡的为非3A/56V53A/5

.•直或AB的方程为y=---x------或y=-x+-----.

讲评：本题考查双曲线方程及性质，双曲线与向量知识交汇问题是近年高考考查的方向.

考题再现

2-5BAAB

6.解：(I)因为A5边所在直线的方程为x—3y—6=0,且AO与A8垂直，所以直线

A。的斜率为一3.

又因为点T(-l,1)在直线A。上，

所以AO边所在直线的方程为y-1=-3(x+l).

3x+y+2=0.

x-3y-6=0,

(H)由<7解得点A的坐标为(0,-2),

3x+)，+2=0

因为矩形ABCD两条对角线的交点为例(2,0).

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.

乂|AM|=,(2-0)2+(()+2)2=2>/2.

从而矩形A5CQ外接圆的方程为“一2尸+/=8.

(III)因为动圆P过点N,所以|/W|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切,

所以1PM=|PN|+2jL

即俨叫―|/W|=20.

故点P的轨迹是以M,N为焦点，实轴长为20的双曲线的左支.

因为实半轴长。=血，半焦距c=2.

所以虚半轴长/?=(。2-Y=&

从而动圆P的圆心的轨迹方程为三—上=1(x啦).

22

双曲线作业

22

1.(2004年天津，4)设P是双曲线二二1上一点，双曲线的一条渐近线方程为

3%一2)，=0,F］、B分别是双曲线的左、右焦点.若|P尸i|=3,则|尸尸2|等于

A.1或5B.6C.7D.9

3

解析.：由渐近线方程产士x,且。=2,

-3.据定义有|P尸2|-P尸11=4,

A|PF2|=7.

答案：C

2.(2005年春季北京，5)欣0”是“曲线加+”2=1为双曲线”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析：由"<(),得公>0,b<()或〃<(),/?>().

由此可知。与〃符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.

答案：C

3.(2003年上海)给出问题：Q、F2是双曲线二一匕二1的焦点，点P在双曲线上.

1620

若点P到焦点a的距离等于9,求点p到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实

轴长为8,由||PF||一|P尸2|曰，即|9一|P尸211=8,得|PBI=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将

正确结果填在下面横线上.

解析：易知产与尸।在y轴的同侧,|尸尸2|一仍尸||二勿，・・・1尸局=17.

答案：|P尸2曰7

2

4.过点4(0,2)可以作条直线与双曲线/一乙=1有且只有一个公共

4

点.

解析：数形结合，两次线、两交线.

答案：4

5.已知双曲线的方程是16*-9)2=144.

(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设R和6是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|尸品|・|PF¥=32,求N

RPF2的大小.

22

解：(1)由16.F—9y2=144得二一二二1,

916

«=3,Z?=4,c=5.焦点坐标F\(—5,0),Fi(5,0),离心率e=—,渐近线方程为

3

4

y=±—x.

-3

|QK|2+|PE|2-IGG/

(2)I|PF1|-|PF2||=6,COSZF|PF=

22|/II"I

_(|PF,|-1PF1)*234+21PF,11PF1-1F12_36+64-100_

------------2---------------2-------2---------------u.n

2\PFl\\PF2\64

・・・/,尸尸2=90”.

2

6.已知双曲线/一上二1与点户(1,2),过尸点作直线/与双曲线交于A、8两点,

2

若P为A8中点.

(1)求直线A3的方程；

(2)若Q(l,1),证明不存在以Q为中点的弦.

(1)解：设过P(1,2)点的直线A3方程为)，-2二2(x—l),

代入双曲线方程得

（2—合）/+（2Q—必）x-（R—软+6）=0.

设A（汨，yi）,B（X2，力），

“2k2-4k

则有X\+X2=-------

2-k2

由已知」~~1=Xp=l,

2

2

,・21k-%4A=2.解得上1.

上2—2

又"I时，d=16＞0,从而直线AB方程为元-y+I=O.

（2）证明：按同样方法求得42,而当上2时，4V0,所以这样的直线不存在.

培养能力

7.双曲线束2—），2=1,右焦点为F,斜率大于（）的渐近线为/,/与右准线交于4,FA

与左准线交于3,与双曲线左支交于C,若5为AC的中点，求双曲线方程.

解：由题意%＞（）,c=

渐近线方程/为产VIx,

1y/k、

准线方程为x=土于是A（上-，---)>

kckc

直线胡的方程为尸＞、一；）

-l-kc2

1+kc2

于是B,­/=-------).

kcy/kc(kc-1)

3

由3是4c中点，则XC—^XB—XA=一,

-3+kc1

yc=2y-yA=-p=----；----.

BJkc(kc2-1)

将江、"代入方程履2—产=1,得

3。4-1（）依2+25=（）.

解得上（1+，）=5，则攵=4.

所以双曲线方程为4.F-）7=1.

8.（理）已知/|、，2是过点P（一后，0）的两条互相垂直的直线，且小，2与双曲线

V—f=1各有两个交点，分别为4、B]和A?、B2.

（1）求人的斜率心的取值范围；

（2）若IAiBi\=y[5\A2B2I,求/1、，2的方程.

解：（1）显然小/2斜率都存在，否则小，2与曲线不相交.设/1的斜率为好则/1的

方程为y=ki（x+V2）.

「=氏1(x+V2),

联立得[/—f=l,消去)，得

(k]2~1)f+2行％1与+2%2-1=0

①

根据题意得婷-1#0,

②

4>0,即有12怎2—4>0.

③

完全类似地有」7—1工0,

k；

④

〃2>0，即有12・4--4>0,

k；

⑤

从而将仁(-V3,--)U(―,V3)且QW±1.

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（2）由弦长公