2027届新高考数学热点精准复习++空间直线、平面的平行

2027届新高考数学热点精准复习空间直线、平面的平行[考试要求]

1．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理．

2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．理法先行·题练固本知识点1

线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行此平面内

文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与交线平行相交知识点2

面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行相交直线

文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行相交交线[常用结论]1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(2)平行于同一平面的两个平面平行．(3)垂直于同一个平面的两条直线平行．2．与平行关系有关的性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等．1．(湘教版必修第二册P158例6改编)如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是(

)A．平行

B．相交C．异面

D．不确定√A

[因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD，因为EH∥平面CBD，平面ABD∩平面BCD＝BD，EH⊂平面ABD，所以EH∥BD，由平行的传递性可知EH∥FG．故选A．]2．(人教A版必修第二册P142练习T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是(

)A．α内有无穷多条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何一条直线都与β平行√D

[对于A，平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．]3．(人教B版必修第四册P108练习BT3改编)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，直线PA和PC分别与β相交于B和D，若PA＝4

cm，AB＝5

cm，PC＝3

cm，则PD＝______________

cm．

考点深研·题型突破考点一

与线、面平行相关命题的判定[典例1]

若m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列说法中正确的是(

)A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥βB．若m，n相交且都在α，β外，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n√B

[对于A，在如图1所示三棱柱中，右侧面为γ，前面的平面为α，后面的侧面为β，满足α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，但α，β相交，A错误；对于B，如图2，m，n相交且都在α，β外，设m，n确定的平面为γ，即m，n⊂γ．因为m∥α，n∥α，故可得γ∥α，同理γ∥β，故α∥β，B正确；对于C，若m∥n，n⊂α，则m⊂α或m∥α，C错误；对于D，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行或相交或异面，D错误．]通性通法：(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．考点二

直线与平面平行的判定与性质考向1

直线与平面平行的判定[典例2]

如图所示，已知四棱锥P-ABCD，BC∥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．证明：CE∥平面PAB．

第2步

证明线线平行．∴CE∥BF．第3步

证明线面平行：根据线面平行的判定定理，推出线面平行．又∵BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB．法二(应用面面平行的性质)：第1步平移平面：将平面平移到包含直线的平面中找平行线，构造新的平面．

取AD的中点G，连接GE，GC(图略)．由题意知AG＝BC且AG∥BC，∴四边形ABCG为平行四边形，第2步

证明面面平行．又∵GC∩GE＝G，且GC⊂平面EGC，GE⊂平面EGC，∴平面EGC∥平面PAB．第3步

证明线面平行．∵EC⊂平面EGC，∴EC∥平面PAB．思维建模：线面平行的证明模型法一(应用线面平行的判定定理)：第1步

平移连线：找特殊点并连线，长度一致构造平行四边形，一长一短构造三角形．第2步

证明线线平行．第3步

证明线面平行：根据线面平行的判定定理，推出线面平行．法二(应用面面平行的性质)：第1步平移平面：将平面平移到包含直线的平面中找平行线，构造新的平面．第2步

证明面面平行．第3步

证明线面平行．考向2

线面平行性质定理的应用[典例3]

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和PA作平面交BD于点H．求证：PA∥GH．[证明]

如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM．因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以PA∥OM．又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，所以PA∥平面BMD．因为PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，所以PA∥GH．[多维变迁]如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．

易错提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．【教用·通性通法】(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，即证明线线平行，一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，而判定直线与平面平行，主要有三种方法：①线面平行的定义(无公共点)；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．考点三

平面与平面平行的判定与性质[典例4]

(2025·安庆月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．[证明]

(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1．∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G．又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G．∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF．(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，经过点G的直线交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．通性通法：(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．[多维变迁]如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心．求证：A1B1∥AB．[证明]

∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分．∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，∴A，A1，B，B1四点共面．∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1＝A1B1，平面ABB1A1∩圆O＝AB．∴A1B1∥AB．

[解]

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，又NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，MQ⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，又∵NQ∩MQ＝Q，且NQ，MQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PCD．

通性通法：三种平行关系的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面平行间的转化．1．(链接考点一)(2025·鹰潭期末)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是(

)A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m，n为异面直线，m∥α，n∥β，则α∥β√C

[若m∥α，m∥β，则α与β可能平行也可能相交，所以A选项错误；若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β可能平行也可能相交，所以B选项错误；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，所以C选项正确；如图，因为AB∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面BCC1B1，且AB与A1D1是异面直线，但平面A1B1C1D1与平面BCC1B1不平行，所以D选项错误．故选C．]2．(链接考点二)如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(

)A．平行

B．相交C．AC在此平面内

D．平行或相交√A

[如图，把这三条线段放在正方体内，可得AC∥EF，AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG．故选A．]3．(链接考点三)(人教B版必修第四册P108练习BT2改编)如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝(

)A．2∶3

B．2∶5C．4∶9

D．4∶25√

题、单项选择题

1．已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(

)A．EF∥PA

B．EF∥PBC．EF∥PC

D．以上均有可能√课时作业(五十三)空间直线、平面的平行B

[由线面平行的性质定理可知EF∥PB．]√题号135246879102．设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题

[由α∩γ＝l，β∩γ＝m，l∥m，则α，β可能相交，故“l∥m”推不出“α∥β”，由α∩γ＝l，β∩γ＝m，α∥β，由面面平行的性质定理知l∥m，故“α∥β”能推出“l∥m”，故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．]题/p>

√题/p>

√题号135246879104．(2025·深圳调研)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(

)A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形题

[连接BF(图略)，由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；连接B1E(图略)，由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB且MN＝AB．题MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．故选D．]√题、多项选择题5．设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，下列说法中正确的是(

)A．若a∥b且b⊂α，则a∥αB．若a∥α且b⊂α，则a，b不一定平行C．若a∥b且a∥α，则b不一定平行于αD．若a∥α且b∥α，则a，b平行或异面√题C

[若a∥b且b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a∥α且b⊂α，则a∥b或a，b为异面直线，故B正确；若a∥b且a∥α，则b∥α或b⊂α，故C正确；若a∥α且b∥α，则a∥b或a，b相交或异面，故D错误．]题号135246879106．(2025·南京期末)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下列说法正确的是(

)A．OQ∥平面PCD

B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD

D．CD∥平面PAB√√√题BD

[连接OQ，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点，又Q为PA的中点，所以OQ∥PC，又PC⊂平面PCD，OQ⊄平面PCD，所以OQ∥平面PCD，故A正确；同理OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ，故B正确；题四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，故CD∥平面PAB，故D正确；又AQ与平面PCD相交于点P，故C错误．故选ABD．]题、填空题7．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝______________．

题/p>

题号135246879108．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件___________________________________，就有MN∥平面B1BDD1．(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

点M与点H重合(点M在线段FH上即可)题M与点H重合(点M在线段FH上即可)

[连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，易知FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∵FH∩HN＝H，FH，HN⊂平面FHN，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．]题、解答题9．(2025·大庆期末)由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点．(1)求证：A1O∥平面B1CD1；(2)求证：平面A1BD∥平面B1CD1；(3)设平面B1CD1与底面ABCD的交线为l，求证：B1D1∥l．题证明]

(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴A1O1∥OC且A1O1＝OC，∴四边形A1OCO1为平行四边形，∴A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，∴A1O∥平面B1CD1．题2)∵BB1∥AA1且BB1＝AA1，AA