2.1.1　倾斜角与斜率++课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.1.1倾斜角与斜率学习目标1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角、直线的斜率的概念.3.掌握倾斜角与斜率之间的关系.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识全过关知识点1直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴

与直线l

之间所成的角α叫做直线l的倾斜角

规定当直线l与x轴

时,规定直线l的倾斜角为0°

注意区分直线倾斜角为0

°的情形和向量夹角为0

°的情形记法α图示

正向

向上的方向

平行或重合

取值范围0°≤α<180°tanα若直线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则tanα=

作用表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度AI·思考辨析不重合的两条直线的倾斜角相等,这两条直线的位置关系是怎样的?提示

平行.

A

2.(人教B版教材习题)分别写出下列直线的倾斜角:(1)垂直于x轴的直线;(2)垂直于y轴的直线;(3)第一、三象限的角平分线;(4)第二、四象限的角平分线.解

(1)90°;(2)0°;(3)45°;(4)135°.知识点2直线的斜率1.定义与表示

定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的

叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k表示,即k=tanα

可将k看作α的函数范围

作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴的倾斜程度正切值

R

AI·思考辨析1.所有直线都有唯一的斜率吗?

提示

当直线与x轴垂直时,斜率不存在,其余的直线有唯一的斜率.提示

结果一定相等.体验新知1.(人教B版教材例题改编)已知直线l经过点A(-1,3)与B(2,0),求直线l的斜率k与倾斜角θ,并写出直线l的一个方向向量.

2.(人教B版教材例题)已知平面直角坐标系中的四条直线l1,l2,l3,l4如图所示,设它们的倾斜角分别为θ1,θ2,θ3,θ4,且斜率分别为k1,k2,k3,k4.分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列.

重难探究·能力素养速提升能力提升点一直线的倾斜角【例1】

(苏教版教材习题)已知a,b,c是两两不相等的实数,分别求经过下列两点的直线的倾斜角:(1)A(a,c),B(b,c);(2)A(a,b),B(a,c);(3)A(b,b+c),B(a,c+a).解

(1)因为直线AB与x轴平行或重合,所以倾斜角为0°.(2)因为直线AB与x轴垂直,所以倾斜角为90°.变式训练1(1)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么直线l1的倾斜角为(

)A.α+45°

B.α-135°C.135°-α

D.α+45°或α-135°D解析

根据题意,画出图形,如图所示:由条件可知0°≤α<180°,通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,直线l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.(2)如图,直线l1的倾斜角α=20°,直线l1与直线l2相交于点A,∠BAC=100°,则直线l2的倾斜角为

.

120°解析

设直线l2的倾斜角为α2.因为∠BAC=100°,所以α2=∠BAC+α=100°+20°=120°.能力提升点二直线的斜率【例2】

已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?思路分析

用直线的斜率公式求直线的斜率.例题探究1(变条件变结论)在本例中,若直线l的一个方向向量为(1,2),则m=

.

例题探究2

(变结论)本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时,实数m的取值范围.能力提升点三倾斜角和斜率的应用【例3—1】

(人教B版教材例题)已知A(-2,-1),B(0,-3),C(1,-4),D(2,-6),则A,B,C共线吗?A,B,D呢?

【例3—2】

(北师大版教材例题)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k.

D

D

本节要点归纳1.知识清单:(1)直线的倾斜角及其取值范围;(2)直线斜率的定义和斜率公式.2.方法归纳:数形结合思想.3.常见误区:(1)容易忽视倾斜角取值范围,图形理解不清;(2)对于倾斜角的变化如何反映斜率的变化理解不到位;(3)容易忽视斜率公式的使用条件.学以致用·随堂检测促达标123456

C

123456

B

123456D1234564.(多选题)下列说法正确的是(

)A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率,则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角ABC1234565.若经过两点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是锐角,则实数