小学五年级数学上册第七单元《数学广角植树问题》第2课时知识清单（两端都不栽）

小学五年级数学上册第七单元《数学广角植树问题》第2课时知识清单（两端都不栽）一、【核心概念】数学模型与“一一对应”思想的深化应用★本课时的核心任务是探索并掌握在非封闭线路上“两端都不栽”树的植树问题模型。这不仅仅是记住一个公式，更是对前一课时“两端都栽”模型的延伸与对比，是深化理解“间隔”与“棵数”之间一一对应关系的关键环节。我们将借助“化繁为简”的思想，通过画图、模拟等手段，揭示在给定路线上，当两端点被建筑物、物体占据而不能植树时，棵数与间隔数之间存在的新的数量关系，从而建立起一个解决此类现实问题的强大数学模型。这为后续学习封闭图形上的植树问题（如圆形池塘、方形花坛）奠定了坚实的基础，是构建整个植树问题知识体系的承上启下之核心【重要】。二、【数学模型】“两端都不栽”的公式体系与推导过程【高频考点】【必背】（一）基本关系式（在一条线段上，两端都不植树）在解决“两端都不栽”的问题时，我们研究的对象仍然是四个基本量：总路长（L）、间隔距离（d）、间隔数（n）和棵数（k）。它们之间的核心关系如下：1.第一步：求间隔数（关键步骤）公式：间隔数=总路长÷间隔距离用字母表示为：n=Ldn=\frac{L}{d}n=dL​解析：无论两端是否栽树，将一条路平均分成若干段，段数（即间隔数）只由总长度和间隔长度决定，这是所有植树问题共有的基础。例如，一条20米长的路，每隔5米一个间隔，无论你栽不栽树，它总是被分成4个间隔。2.第二步：求棵数（核心区别点）公式：棵数=间隔数1用字母表示为：k=n−1=Ld−1k=n1=\frac{L}{d}1k=n−1=dL​−1推导过程（数形结合思想）：让我们画一条线段来表示小路。如果两端都不栽树，意味着起点之前和终点之后都没有树。那么，第一棵树实际上是种在第一个间隔的末端，最后一棵树种在最后一个间隔的始端。我们可以这样理解：每一个间隔都“对应”着一棵树，但这里的“对应”和“两端都栽”不同。在“两端都不栽”的情况下，树是长在间隔“里面”的（确切地说，是长在每个间隔的后端点上，但最后一个间隔的后端点被终点挡住，所以没有树）。更直观的理解方法是：有n个间隔，本来如果每个间隔“产生”一棵树，会有n棵树，但最开头和最末尾的两个端点因为没栽树，所以这两棵树“被拿掉了”，因此棵数比间隔数少2？不对，仔细分析：更严谨的一一对应思想：将一棵树与它后面的一个间隔绑定在一起。这样，除了最后一个间隔没有树与它绑定（因为它后面没树了），前面的每一个间隔都有一棵树与之对应。因此，树的棵树比间隔的个数少1。或者，我们可以把问题反过来想，如果两端都栽，棵数比间隔数多1，现在两端都去掉树，自然就要从“多1”变为“少1”，中间经历了什么？其实是减2？我们来验证：两端都栽：k=n+1一端栽一端不栽：k=n两端都不栽：k=n1可见，从“两端都栽”到“一端不栽”，棵树减1；再到“另一端也不栽”，棵树再减1。所以，两端都不栽时，棵数确实比间隔数少1。（二）公式的逆向应用（知二求二）【难点】掌握了基本公式，我们还需要能灵活运用它来解决各种问题，即根据已知的两个量，求出另外两个未知量。1.已知路长和间距，求棵数（正向应用）：棵数=路长÷间距−1棵数=路长\div间距1棵数=路长÷间距−1例：一条长100米的公路一侧安装路灯，要求两端都不安装，每隔10米安一盏，需要多少盏路灯？100÷10−1=10−1=9（盏）100\div101=101=9（盏）100÷10−1=10−1=9（盏）2.已知棵数和间距，求路长：首先，由棵数求间隔数：间隔数=棵数+1间隔数=棵数+1间隔数=棵数+1然后，求路长：路长=间距×间隔数=间距×(棵数+1)路长=间距\times间隔数=间距\times(棵数+1)路长=间距×间隔数=间距×(棵数+1)例：在两栋楼之间每隔2米种一棵树，一共种了9棵树，这两栋楼相距多少米？间隔数=9+1=10（个）间隔数=9+1=10（个）间隔数=9+1=10（个）路长=2×10=20（米）路长=2\times10=20（米）路长=2×10=20（米）【非常重要】这里的“棵数+1”是解题的关键，很多同学在这里会错误地用“棵数1”，导致结果少了两个间隔的长度。3.已知路长和棵数，求间距：首先，由棵数求间隔数：间隔数=棵数+1间隔数=棵数+1间隔数=棵数+1然后，求间距：间距=路长÷间隔数=路长÷(棵数+1)间距=路长\div间隔数=路长\div(棵数+1)间距=路长÷间隔数=路长÷(棵数+1)例：在一条50米长的过道两边摆花（两端不摆），一共摆了20盆花（两边都摆），求每隔多少米摆一盆？先算一边的盆数：20÷2=10（盆）20\div2=10（盆）20÷2=10（盆）再求一边的间隔数：10+1=11（个）10+1=11（个）10+1=11（个）最后求间距：50÷11=5011≈4.55（米）50\div11=\frac{50}{11}\approx4.55（米）50÷11=1150​≈4.55（米）三、【生活变式】“两端都不栽”的典型生活模型与应用场景【拓展】植树问题的本质是“点与段”的关系问题。在现实生活中，很多现象虽然不直接是“植树”，但其数量关系完全符合“两端都不栽”的数学模型。识别这些变式，是考查我们模型应用能力的重要方式【热点】。（一）锯木头问题★★★★★【最高频考点】这是“两端都不栽”模型最经典、最直接的应用。1.模型对应：将一根木头看作一条“路”，将木头锯成的段数看作“间隔数”（n），将锯的次数看作“棵数”（k）。2.核心关系：1.3.锯的次数=段数1（即：棵数=间隔数1）2.4.段数=锯的次数+13.5.总时间=锯一次所用的时间×锯的次数6.易错辨析：学生极易将“段数”与“次数”混淆。请记住：想要将木头分成5段，只需要锯4次。因为每一次锯都会使木头段数增加1。7.经典例题：把一根粗细均匀的木料锯成5段需要20分钟。如果要锯成10段，需要多少分钟？1.8.【规范解题步骤】1.2.9.求锯成5段的次数：次数1=段数11=51=4（次）2.3.10.求锯一次的时间：每次时间=总时间÷次数=20÷4=5（分钟）3.4.11.求锯成10段的次数：次数2=段数21=101=9（次）4.5.12.求总时间：总时间=每次时间×次数2=5×9=45（分钟）答：需要45分钟。（二）爬楼梯问题（楼层与楼梯段数）★★★★【高频考点】1.模型对应：将楼层之间的楼梯段看作“间隔”，到达的楼层数看作“棵数”？这里需要仔细甄别。当我们从一楼开始向上爬，一楼是起点，相当于“路的一端”，但我们并不在一楼“植树”（即不计算楼梯段数）。从一楼到二楼，我们爬了一段楼梯，到达了二楼。因此，爬的楼梯段数（间隔数）与到达的楼层数（棵数）之间的关系，恰恰符合“一端栽一端不栽”的模型（楼层数=段数+1）。但是，如果问题问的是“从一楼到六楼，中间要经过几层？”，这里的“中间经过的楼层”就符合“两端都不栽”了。因为起点（一楼）和终点（六楼）都不算在“经过的层”里。2.典型场景（符合两端都不栽）：例如，一栋楼有4层，小明从1楼走到4楼，他需要走多少层楼梯？1楼到2楼是一层，2到3是一层，3到4是一层，共3层。这里走的“层数”（间隔数）=到达楼层（4）起始楼层（1）=3。这与两端都不栽的模型（棵数=间隔数1）不一致，因为这里的“层数”本身就是间隔数。3.最符合两端都不栽的场景：“在一条走廊上，从第2根柱子到第10根柱子之间，有多少个间隔？”这等价于：两端（第2根和第10根）的柱子不算“间隔”，间隔数=柱子总数1?不对，间隔数=(102)=8。这实际上是用“两端都栽”的公式（棵数1=间隔数）来求间隔。所以，爬楼梯问题更多地是考察“两端都栽”（楼层数=段数+1）或简单的“段数=终点起点”。4.小结：遇到此类问题，关键是画出简单的层高示意图，明确已知的是“楼层数”还是“楼梯段数”，要求的是哪一个。（三）摆放物品问题（如走廊两端不放花盆）★★★1.模型对应：走廊长度是路长，两盆花之间的间隔是间距，花盆的数量是棵数。明确要求两端（走廊的起点和终点）都不放花盆。2.经典例题：一条长48米的走廊，计划在它的一侧摆放一些花盆，两端都不放，每隔3米放一盆，一共需要多少盆花？48÷3−1=16−1=15（盆）48\div31=161=15（盆）48÷3−1=16−1=15（盆）（四）安装路灯（线杆）问题（明确说明两端不装）★★1.与摆放花盆类似，只要题目明确“起点和终点不安装”、“两座建筑物之间安装”等条件，即可直接套用“两端都不栽”公式。四、【易错警示与难点辨析】核心失分点深度剖析【必看】为了避免在解题中出现错误，我们必须对以下关键点保持高度警惕：（一）混淆“一旁”与“两旁”【高频陷阱】这是植树问题中最为常见的错误之一。1.一旁：只在线路的一侧进行植树或安装。计算结果直接使用公式即可，无需乘以2。2.两旁：要求在线路的两侧都进行植树。解题时必须先求出“一旁”的棵数，再将结果乘以2，得到总的棵数。3.案例辨析：一条长100米的公路，在它两旁每隔10米栽一棵树（两端都不栽），共需多少棵树？1.4.错误解法：$100\div101=9$（棵）。这是只算了一旁的结果。2.5.正确解法：一旁棵数：$100\div101=9$（棵）；两旁总棵数：$9\times2=18$（棵）。（二）误判题目类型（混淆“两端都不栽”与“两端都栽”）【基础错误】审题时必须抓住关键词。1.明确两端都不栽的关键词：“两端不栽”、“两端不设”、“中间”、“之间”、“在……和……之间”、“两座楼房之间”、“锯木头”（锯的次数与段数）、“剪绳子”（剪的次数与段数）等。2.明确两端都栽的关键词：“两端都栽”、“从头到尾”、“起点到终点”、“两旁从头到尾”等。3.辨析练习：“在一条长100米的道路一边每隔5米插一面红旗”。这道题没有明确两端的情况，通常需要分情况讨论。但如果是应用题，往往会给出具体条件。若无条件，则需考虑开放性，但考试中一般会明确。（三）求间隔数时的逆向思维混淆【难点混淆】在已知棵数求路长或间距时，容易用错“+1”还是“1”。1.记忆口诀：要想求路长，先把间隔找；两端都不栽，间隔比棵多1。1.2.即：间隔数=棵数+12.3.然后，路长=间隔数×间距（四）忽略“0”起点或参照物在爬楼梯或计时问题（如敲钟）中，要明确起始状态。1.例如敲钟：时钟敲6下用30秒，敲12下用多少秒？敲6下，中间有5个间隔（因为第一下敲击是起点，不算时间间隔）。所以每个间隔时间=30÷(61)=6秒。敲12下，有11个间隔，总时间=6×11=66秒。这里敲钟的下数相当于“两端都栽”的“棵数”，间隔数=棵数1。这与锯木头问题刚好是“互逆”的，注意区分。五、【高阶思维】三种基本模型的对比与统合【建构】为了建立清晰的知识网络，我们将三种非封闭线路上的植树问题进行系统对比。模型类型棵数与间隔数关系核心公式逆向公式（求间隔数）典型生活情境两端都栽棵数=间隔数+1k=L/d+1间隔数=棵数1进村路灯、队列、插彩旗一端栽一端不栽棵数=间隔数k=L/d间隔数=棵数敲钟、上楼梯、图书馆前两端都不栽棵数=间隔数1k=L/d1间隔数=棵数+1锯木头、两房之间栽树思维提升：无论是哪一种模型，解题的核心路径是恒定的：1.定性：仔细读题，判断题属于哪一种类型。2.定量：根据题意，先求出间隔数（这是联系所有量的大桥）。3.求解：依据类型关系，将间隔数转化为棵数，或进一步求出总长。六、【考点直击】典型题型与解题模板【实战】（一）基础题型（求棵数）1.题目：在一座长400米的大桥两边安装路灯，要求两端都不安装。如果每隔20米安装一盏，一共需要多少盏路灯？2.考查点：“两旁”和“两端都不栽”的双重考查。3.【规范解题步骤】1.4.先求一旁间隔数：$间隔数=路长\div间距=400\div20=20$（个）2.5.再求一旁盏数（两端不栽）：$一旁盏数=间隔数1=201=19$（盏）3.6.最后求总盏数（两旁）：$总盏数=19\times2=38$（盏）答：一共需要38盏路灯。（二）求路长（逆向思维）1.题目：某小区要在两栋楼之间的小路一旁种树，每隔4米种一棵，一共种了25棵树。这两栋楼之间的距离是多少米？2.考查点：“两栋楼之间”隐含了两端都不栽树（因为楼挡住了）。3.【规范解题步骤】1.4.求间隔数（两端不栽时，间隔数比棵数多1）：$间隔数=棵数+1=25+1=26$（个）2.5.求路长：$路长=间距\times间隔数=4\times26=104$（米）答：这两栋楼之间的距离是104米。（三）求间距（逆向思维）1.题目：工人师傅在锯一根木头，把这根木头锯成6段，一共锯了30分钟。如果锯下每一段所用的时间相同，那么锯一次需要多少分钟？2.考查点：锯木头问题与植树问题的对应关系。3.【规范解题步骤】1.4.求锯的次数（相当于两端不栽时的“间隔数1”）：锯的次数=段数1=61=5（次）2.5.求锯一次的时间：每次时间=总时间÷锯的次数=30÷5=6（分钟）答：锯一次需要6分钟。（四）综合拓展题（植树问题与周期、行程问题结合）1.题目：一条马路长1200米，在马路一旁每隔50米埋一根电线杆（两端都埋）。后在改造中，电路升级，要改成每隔60米埋一根（两端也都埋），问有多少根电线杆不需要移动？2.考查点：融合了最小公倍数与植树问题。3.【规范解题步骤】1.4.分析：不需要移动的电线杆，一定是位于既是50米的倍数，又是60米的倍数的位置，即位于50和60的公倍数的位置上。而且，起点（0米）处的那一根当然不需要移动。2.5.求50和60的最小公倍数：[50,60]=300[50,60]=300[50,60]=3003.6.求全程有多少个300米的间隔（两端都栽）：间隔数=1200÷300=4间隔数=1200\div300=4间隔数=1200÷300=4（个）4.7.求位于公倍数点上的根数（包括起点）：棵数