热点5-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理5大题型-高考数学二轮复习专练（新高考专用）（解析版）

热点5-1平面向量的概念、线性运算与基本定理5大题型

命题趋势

平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结

合出现在综合性大题中，难度中等。这部分内容在备考时应注意加强对向量加法、减法的平

行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公

式。

一、平面向量多边形法则

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即AA2+4A3+A3A4+…+A_A=A4,特别地,一个封闭图形，首尾连接而成的向量

和为零向量.

二、向量共线问题的注意事项

1、向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他

向量,注意待定系数法和方程思想的运用.

2、证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，

当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.

三、“爪”子定理

形式1:在△然（?中，。是8c上的点，如果忸q=机，，则

AD=-^-AC+-^—AB，其中40,AB,AC知二可求一.特别地，若。为线段

m+nm+n

8c的中点，则AO=g（AC+AB）.

形式2:在△ABC中，。是上的点，且，则AO=4AC+（1—，其中

AD,AB,AC知二可求一.特别地，若。为线段8c的中点，贝!JAO=；（AC+48）.

形式1与形式2中元与凝的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来（歌名，原唱任贤

齐）

四、利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法

向量AD=/（48,AC）的确定方法

1、在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量人。=用A3,4C的表

2、若所给图形比较特殊（正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形

等），则可通过建系将向量坐标化,从而得到4。=/卜氏40与4D=g（AB,AC）的方

程组，再进行求解.

五、利用平面向量的线性运算求参数的一般方法

向量方程AD=xAB+yAC中x,_y的确定方法

1、在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量的表示，进而确定x,y.

2、若所给图形比较特殊（正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形

等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x,y的方程组,冉进行求解.

3、若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程4O=xAB+）/C,可考虑两边对

同一向量作数量积运算，从而得到关于于x,y的方程组，再进行求解.

3、对于求x+）•的值的有关问题可考虑平面向量的等和线定理法。

热点题型解读

题型1平面向量的基本概念

题型2平面向量的线性运算

平面向量的概念、线

题型3平面向量的共线定理

性运算与基本定理

题型4平面向量的基本定理

题型5平面向量的坐标运算

【题型1平面向量的基本概念】

【例1】（2023.江苏南京.南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量，必有|a+FH|a|十向D.若〃满足|。》|人|且a与〃同向,

则a>〃

【答案】C

【解析】依题意，对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B,平行向量就是共线向量，故错误；

对于C,若同向共线,\a+h\=\a\+\b\,

若〃涉反向共线+,

若“/不共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于第三边知I。+aI+1R.

综上可知对于任意向量，必有Ia+》KI"I+I〃l,故正确；

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.

【变式皿】（2022秋•四川成都・高三校考期中法于向量”,b，下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜忖，则“二〃B.若a=-b,则a//b

c.若卜卜W,则〃D.若，/?〃c,则“〃c

【答案】B

【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；

B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；

C.向量不能匕俄大小，故C错误；

D.当向量〃=0时,。与c不一定平行，故D错误;故选：B

【变式1-2]（2022秋・吉林・高三校考期末）（多选）下列命题正确的有（）

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.单位向量都相等

C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D.“若A是不共线的四点，且四边形A8CQ是平行四边形”

【答案】AD

【解析】对于A,方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；

对于B:单位向量的模为I,但是方向不一定相同，故B错误；

对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错

误；

对于D：若A及是不共线的四点，且人8=℃,贝且A8=CO,

所以四边形ABC。是平行四边形，故充分性成立,

若四边形"CD是平行四边形，则A4=QC,故必要性也成立,故D正确.故选：

AD.

【变式1-3】（2022秋.湖北省直辖县级单位.高三校考阶段练习）（多选）下列说法中，正确

的是（）

A.若向量A8,C3满足I48|=|。。|,48与C。同向，则

B.若两个非零向量A8,满足八8+8=0,则48,C。是互为相反向量

c.人8=6的充要条件是A与C重合，4与。重合

D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件

【答案】BD

【解析】对A：向量不可比较大小，故A错误；

对B:若两个非零向量48,CQ满足人8+8=3,则网=|。斗，且方向相反，

故八8,C。互为相反向量，B正确；

对C：A与。重合，8与。重合，故A8=CQ,充分性成立；但从8=。。，

根据向量可平移性，不一定有A与C重合，“与。重合，必要性不满足，C错误；

对D：模为0的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；

一个向量方向不确定，是零向量，其模为。，必要性成立，

即模为0是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.故选：BD.

【变式1-4】（2023•全国•高三专题练习）下列五个命题：

①向量《2与OA共线，则1,，。人必在同一条直线上；

②如果向量。与人平行，则。与方方向相同或相反；

③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=04；

④若同=|可，则〃的长度相等且方向相同或相反；

⑤由于零向量方向不确定,故零向量与彳到可向量不平行.

其中正确的命题有个.

【答案】0

【解析】对于①,向量£6与CM共线,则直线《鸟与直线可能平行，故①错；

对于②，若。为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；

对于③，PXP2=OA,则四点42，。，A可能共线，故③错；

对于④，同=忖，只能说明。、b的长度相等但确定不了方向，故④错；

对于⑤，零向量与任何向量平行,故⑤错.

所以正确的命题有0个，故答案为：0

【题型2平面向量的线性运售】

【例2】(2023•高三课时练习)如图，设。、E、”分别为/AC的三边3C、CA、"的中

点，则E3+产C=().

A.ADB.ABC.BCD.

【答案】A

【解析】由题意可知，

—>—>!->->—>->1—>—>1—>—>

EB+FC=-(BE+CF)=--(fiC+BA+CB+CA)=-(AB+AC)=-x2AD=AD,

222

故选：A.

【变式2-1X2023秋・湖北高三统考期末I多选如图所示在边长1为的正六边形A3CO四

A.AB-CD=BFB.AD+EB+CF=0C.ADAB=\

D.ABBC=ABAF

【答案】BC

【解析】由正六边形性质可知，正六边形A3CDEF对边平行且相等，

对角线交于。将正六边形分成六个全等正三角形.

A'B

对A,AB—CD=AB—AF=FB,A错；

对

AD+EB+CF=AC+CD+ED+DC+CB+CA+AF=ED+CB+AF=ED+DO+OE=0,B

对；

对C,4/>A8=2xlxcos600=1,C对；

对D,/WBC=/WAO=lxlxcos60°=1,AF=lxlxcosl20°=--,

22

ABBC^ABAF,D错.故选：BC

-2—I-

【变式2-2】（2022秋河北.高三校联考阶段练习）在金。中，满足。。=鼻6+4。,

JJ

.I3

CE^-CA--BC,51IJ（）

-1.48

A.DE=2EBB.DE=-ABC.AD=-EBD.AE=-DB

4Jy

【答案】C

_2_I___i_a_i_.o_

【解析】在乂8c中,^CD=-CA-CB,CE=-CA--BC=-CA-CB,

3+3444+4

一］一3-2-1555

DE=CE-CD=-CA+-CB——CA——CB=-—CA+—CB=—AB,B不正确；

4433121212

EB=CB-CE=CB--CA--CB=-AB,DE=-EB,A不正确；

444，3

———2一1一一1一4一

AD=CD-CA=-CA+-CB-CA=-AB=-EB,C正确；

3333，

329

AE=AB-EB=-AB,DB=AB-AD=-ABAE=-DB,D不正确.故选：C

438

【变式2-3］（2023•全国高三专题练习）（多选）如图，M是ABC所在平面内任意一点，O

A.AD+BE=CFB.MA+MB+MC=3MO

c.MA+MB+MC=MD+ME+MFD.BCAD-^CABE+ABCF=0

【答案】BCD

【解析】对于A选项，由题意可知，。、E、尸分别为8C、AC、48的中点，

所以，A£）=A8+；8c=48+；（AC）=；（A8+AC）,

同理可彳导8E=g（BA+8C）,C尸=g（CA+C8）,

所以，AO+8E」（A8+ACj+48A+BC）=:（AC+8C）=-CF,A错；

222

•333

对于B选项，由重心的性质可知AQ=QAO,BE=QBO,CF=^CO,

由A选项可知，AO+8E+C/=|（AO+8O+CO）=0,

所以，

MA+MB+Md=（MO+OA）+（MO+OB）+（MO+OC）=3MO-（AO+8O+CO）=3MO,B对；

对于C选项，由重心的性质可知OO=；AO,OE=^BO,OF=；CO,

乙N乙

所以，

MQ+ME+例”=（MO+OQ）+WO+O£）+（MO+OF）=3MO+；（AO+8O+CO）=3M0,C对；

对于D选项，BCAO=g（AC-A8）.（AC+AB）=；（Ac2-A8）,

同理可彳导C4BE=;,ABCF=^CB-CA^,

因止匕，BCAD-^CA13E+ABCF=（）,D又寸.古嫡：BCD.

【变式2-4］（2022秋.江苏南京.高三校考期末）已知平面四边形A8CD满足八。二界，平

面内点E满足=,CD与AE交于点M,^BM=xAB^yAD，则上等于（）

2x

5544

A.-B.--C.—D.-7

2233

【答案】B

52

【解析】如图，因为BE=/CE,所以CE=§8U

又因为人O=（8C,所以=,所以=,

又因为AO=g"C,所以AO//8C,

所以，在平面四边形A8C。中，AD//CE,

所以ADAM=/CEM,ZADM=NECM,且ZAMD=/EMC,

所以..AM/）相似于△丽;相似比为4,所以AM:ME=g,

4M=AM-A4=；AE—A8=g（A4+阁一A4=；（43+5AQ）-A4

25

=--AB+-AD,

33

所以-*=|，2|,故选：B.

【题型3平面向量的共线定理】

［例3］（2023・全国•高三专题练习）在平行四边形A8CD中，M,N分别为人伉人。上的点，

且4M=2MB,4N=N。，连接AC,与MN交于点P,若”=/UC,则4的值为.

【答案】*

【解析】在YA8CD中，A8,4£）不共线，因为AM=2MB,AN=NO,

则有AP=AAC=A（AB+AD）=x（^AM+ZAN）=^-AM+22AN,

又P,M,N三点共线，于是得3微7+2%=1,解得2，

所以曲值为全

【变式3-1】（2021秋•上海黄浦・高三格致中学校考开学考试）在A8C中，〃为直线8c上

的任意一点，例为4”的中点，若AM=/U8+〃AC,则2+"=（）

A.yB.JC.1D.2

d2

【答案】A

【解析】因为M为A”的中点，且AM=/U4+zMC，所以AM=耳AH=/U8+〃AC

所以4〃=2/lAB+2〃AC,且6,”，。三点共线，

所以24+2〃=1,贝+"=g.故选：A.

【变式3-2]（2023•全国•高三专题练习）已知。是以BC内一点，2OA+3OB+mOC=0,

4

若408与A8C的面积之比为7,则实数/〃的值为（）

A•gB.?C.卷D.?

3333

【答案】D

【解析】由204+303=-〃QC得|0A+（08=-£0C,

ni---2-*3—

]^--OC=OD,贝=+

555

由于：2+13=l,所以4,A,。三点共线，如图所示，

•••。。与0。反向共线，in>0,

四二'.0D二三二m

0C|一5'_CD'+]6+5

5

—・古嫡：D

【变式3-3]（2022.浙江.模拟预测）（多选）如图，已知/8C，点M,N满足AM=AAB.

AN=〃4C(九〃e(0,l)),8N与CM交于点P,转交4c于点。，AP=tAD.^]()

DCP=(i-t)CA+^~/JCB

Aju-\

【答案】BC

【解析】MRB三点共线,设NP=xNB,M，P，C三点共线，设MP=.yMC,A选项：

AP=AN+NP=〃AC+xNB=pAC+x(A8-AN)

=/.tAC+xAB-x/.iAC=//(l-x)AC+xAB,

AP=AM+MP=AAB+yMC=九AB+y(AC—AM)=yAC+(/l-yA)AB,

，〃-解得/=红匚”=MI)AC+XA8=3^AC+亚,

A.—yA.=x'卬—1'入卜i—I—1

所以A选项错误；

B选项：由人-=/_：4。+北_；八8，彳导

AD=-^^AC+--^—^AB,

tA/7—1t41-1

BC。三点共线,则L+%)=l,

1\(］I\I1/11Ic

即一(24/_〃_4=2〃_］，得-2-----=1--，即一--r+-+丁=―一+］，

ttyA(.1)x//f.1)Af.11

1if11112(\1Y1\\(\V

有二-二丁+一+丁=77-二+1，得\L--=Li，所以B选项正确;

t44P)初ttVwU)

c选项-BP=AP-AB=^^-AC+(=

人2//-1(M-1)2//-12/7-1

=f?(〃AC—AB)=4^(AN-A8)=WW8N,所以C选项正确；

X//_I、/zt〃一1、'Z//-I

D选项3人P一40/弘41丘+生为=004+取修(8-加

l入卜I_1J人/I_1为卜I_1入卜I_1\

ye"铝0=("土针,+饼CB=(一)CA+^CB

所以D选项错误.故选：BC

【变式3-4】（2022秋吉林四平.高三四平市第一高级中学校考阶段练习）如图，在J4C中，

1Q

已知AD=2DC,BE=-^BC.AF=^AE,AR=a,AC=b.

A

（1）用向量。，力分别表示与8Z）；

（2）证明：B,F,。三点共线.

22

【答案】（I）AF=-a^b,M=-a+/;（2）证明见解析

3+y3

【解析】（1）因为人3=4,AC=力，

oo/］、父（11\00

贝1」从产=—（A8+BE）=—AB+-BC=-AB+-AC一一AB\=-a+-b

9、，914J9（44^391

2-

BD=AD-AB=-a+-b.

3

22121

（2）因为8/二力/一=+=+,所以BF//BD.

又因为8户与8Q有公共点"，所以&凡。三点共线.

【题型4平面向量的基本定理】

【例4】（2022•全国•高三专题练习）（多选）已知不e?是平面内的一组基底，则下列说法中

正确的是（）

A.若实数m,n使mex+ne2=0,则=〃=0

B.平面内任意一个向量。都可以表示成力=〃心।+〃g，其中m>〃为实数

C.对于机，,"<+〃62不一定在该平面内

D.对平面内的某一个向量a,存在两对以上实数"7,n,使。="5+ne2

【答案】AB

【解析】根据基底的定义知AB正确；

对于C,对于m,/?GR,inei+ne2在该平面内，故C错误；

对于D,〃?，〃是唯一的，故D错误.故选:AB.

【变式4-IX2023秋・湖南益阳•高三统考期末汝口图所示的矩形A8C。中①I满足8E=EC,

。r=22,G为所的中点，若AG=/U8+〃A。，则加的值为（）

D

A

A

【答案】A

【解析】连接AE,AF,

由题可知

-----1——I---一一一-I—二1一-

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD,AF=AD+DF=AD+-DC=-AB+AD,

2233

又因为G为E尸的中点，所以AG=：（AE+AP）,

1<43-、23

^^G=^AB^-ADy-AB+-AD,

231

所以义="=；,所以办，.古嬷：A.

【变式4-2】（2023春・浙江•高三校联考开学考试）在平行四边形A8CD中,BE=^EC,

DF-2FC,设4E-a,AF-b,贝!］人。・()

A.3JB.匕+匕31

C.-a+-b

77774334

【答案】B

【解析】因为四边形ABC。为平行四边形，所以AC=AB+A。,BC=AD,DCAH,

_1_____I_—?

因为BE=QEC,DF=2FC,所以=,DF=-DC

-|-1-

^XAE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD,

22-

AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-AB,

33

93

AB+飞-AD=aAB=—ra——rb

77

因为笈,AF=b,所以，2，解得，

A=4g6'

AD+-AB=bAD=­b——a

377

939636

^XAC=AB+AD=^a-^b+-b--a=^a-i--b,故选：B.

【变式4-3】（2023秋・河南三门峡•高三统考期末）向量”也c在正方形网格中的位置如图所

示,若。=不。+必内训,则“+产（）

A.-|B.|C.-4D.4

【答案】A

【解析】设网格纸上小正方形的边长为1在网格线上取互相垂直的单位向量,如图所

示，

:1

/口........…

…・…f・…

则有〃=_j+j,b=6i+2j,c=-i-3j,

^c=xa+yb，得T_3J=x(-i+/)+)，(6i+2)),

-1=-x+6yx--2

则aq，解得i,・.・”+户-：.故遗E：A

-3=x+2yy=--2

【变式4-4】(2022秋河南•高三信阳高中校联考期末)如图在平行四边形ABC。中，

AB=2AE,AF=FD，点G为C£与所的交点,，则AG=()

AEB

14

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+—AC

5555515

3.2•

D.-AB+-AC

105

【答案】A

【解析】由48=2AE，AF=FD，知E,尸分别为AS,AO的中点.

如图，设AC与M的交点为P,易得△AQ's^c9，

所以若=W=喘=J，所以AP=；AC.

CPCBAD23

因为点£是八8的中点，所以AE=《AB.

由尸，G,B三点共线知，

存在〃"R,AG=mAP+(1-m)AB=^mAC+(1-m)AB.

由C,G,E三点共线知，

存在〃eR,满足AG=〃AE+(1-〃)4C=]〃AB+(1-〃)4C.

所以!"?AC+(I一6)人B+—〃)AC.

32

又因为AC,A8为不共线的非零向量，

:1

[-〃？=_〃m=—

25

所以1,解得，

4'

-m=\-nn=—

13

一2一1一

所以AG?8+YC.故选：A.

JJ

【题型5平面向量的坐标运算】

【例5】(2022秋.河北沧州高三统考期末)已知向量£=(8,-2)的=(〃州)，若叫劝,则实

数机的值是()

A.-4B.-IC.1D.4

【答案】A

8=2m

【解析】由〃=之力，得(「.,解得，〃=Y.故选：A.

【变式5-1X2023秋广西南宁高三南宁二中校考期末启知平面向量。=(1,2),8=(-2,〃?)，

且。〃力，则2。+。=()

A.(-2,-4)B.(0,0)C.(-1,-2)D.(l,2)

【答案】B

【解析】由于，所以lx〃?=2x(-2),〃?=<〃=(—2T),

所以加+〃=(2,4)+(—2,T)=(O,O).故选：B

【变式5-2】(2022秋.重庆万州.高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)设向量

〃=(1,-3)力=(-2,4),c=(-l,-2),若表示向量4a4b-2c,2(。-c)”的有向线段首尾相接能构

成四边形，则向量〃为()

A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)

【答案】D

【解析】由题可知：+4b-2c+2a-2c+d=0,

即1=-6〃一劭+4€=(-6,18)+(8,-16)+(-4,-8)=(-2,-6).故选：D.

【变式5-3】(2023秋・江西•高三校联考期末)已知向量A8=(孤2),AC=(1,3),

BD=(-4,-2)，若B,C,。三点共线，则加=.

【答案】-1

【解析】因为向量A8=W，2),AC=(1,3)，则8C=AC-48=(1-〃1,1),而8£)=(-4,-2),

又8,C,。三点共线，则有BC//RD,

因止匕—2(1—〃?)=~4,解得〃,所以〃=T.

【变式5-4】(2022・四川乐山统考一模)向量，7=(1,29=(-2,1),则如侬-。)=.

【答案】-5

【解析】因为。=(1,2卜〃=(-2,1)，所以》-々=(-4,2)-(1,2)=(-5,0),所以“2b-〃)=-5

【变式5-5】(2022秋・河南•高三校联考阶段练习)已知向量；=(2,1),^=(4-3),若

C+b)，则实数g.

【答案】-1

【解析】由已知可得。一姐二(2-4L1+32),a+b=(6,-2),

若(a-助〃(a+b)，贝卜2(2-以)=6(1+3〃)，解得攵=T.

【变式5-6】(2022秋.江西九江.高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xQv中，M(3,l),

N(—l,3),OP=AOM+(1-2)ON,«=(1,-1),若OP与a共线，则％=.

【答案】-1

LILI1

【解析】设0P=（内），由0P与。共线，所以x+y=。

由OP=2QM+（l_/l）QN，彳导工=3丸_0_/1）=4/1_1,>'=2+3（l-2）=3-2z,

则22+2=0,解得赤-1.

（建议用时：60分钟）

1.（2022秋上海宝山•高三上海市行知中学校考期中）已知向量a,b,若++向，

则（）

A.〃，〃中至少有一个为非零向量B.a,〃垂直

C.a,〃反向D.a-b=\a\-\b\

【答案】D

【解析】向量a,〃都为零向量，|〃|+|〃|=忆+。|也成立,A不正确；

出IaI+1力1=1a+。I得:a+b~+2\a\-\b\=a~+b'+2ab,整理得a-b=\a\-\b\,D

正确；

当向量a,A均为非零向量时，。•方=|a|“b|>0,a不可能垂直，

a,b不反向，B,C都不正确.故选：D

2.（2023秋浙江杭州•高三浙江省桐庐中学期末）已知向量a=（-l,2）/=（3,加），若。与人共

线，则〃?-（）

22

A.-6B.--C.-D.6

【答案】A

【解析】因为用与］共线，所以％跖一占y=Txm_2x3=0,m=-6.故选:A.

3.（2022秋・河北保定•高三校考阶段练习）与向量。=（-21）共线的单位向量是（）

A.(-1,0)B.，萼C.(-h-DD.(0,1)

I55,

【答案】B

【解析】由。=(-2,1)可得同==&,

与向量〃=3共线的单位向量是质和一向，

分别为卜哈£和(哈考，故选:B

4.(2023春河［石家庄高三校联考开学考试)已知向量”(sina+cos%-1)4=(CQsa,l),

若〃//力，则tana=()

A二B.-C.-2D.2

33

【答案】C

【解析】因为，所以sina+8sa=-cosa，即sina=-28sa，所以tana=-2.故选：

C.

5.(2021秋河南周口•高三校考阶段练习)下列结论正确的是()

A.若八5八。<0,则A8C是锐角三角形

3

B.若4CR,则4+一之？6

C.VxGR,x"—2x+1>0

D.若P，A4三点满足。P=：1OA+3；OB,则忆A3三点共线

44

【答案】D

【解析】A选项，若满足AAdUvO,45AC可以是钝角，A错误；

B选项，若〃<0,则。+』=_-a--<-2-a--=-2&,

akVva)

当且仅当-。=-3，即时，等号成立，B错误；

a

C选项，x2-2.x^i=(x-l)2>0,当且仅当x=l时,等号成立，C错误；

D选项，OP=^OA+^OB,故OP-OA=—；0A+；OB=((O3—OA),

一3-

即人尸=彳八8,故三点共线，D正确.故选：D

4

6.（2023秋・江苏南京高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形

_1___5-

4BC。满足，平面内点E满足8£=不。£,C。与AE交于点M,若

*乙

BM=xAB+vAD,则上等于（）

x

5544

A.=B.--C.-D.--

2233

【答案】B

5-2

【解析】如图，因为=,所以。石二鼻友?，

又因为=,所以=,所以AQ=；C£,

。4

又因为AO//CE,所以ZDAM=/CEM,ZADM=/ECM,

且ZAMD=N£MC,所以_AM/）相似于LEMC,相似比为1,

所以AM:ME=g,

BM=AM-AB=-AE-AB=-（AB+BE）-AB=-（AB+5AD）-AB

333

25

=——AI3+-AD,

33

25V5

所以一守方「丁故选B.

7.（2023春江苏南京•高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知非零向量"、"不共线,如

果=，AC=-3e+le2,/1£）=2-3g,则四点A、B、C、D,（）

A.一定共线B.恰是空间四边形的四个顶点

C.一定共面D.肯定不共面

【答案】C

【解析】因为非零向量q/不共线所以4C+2AQ=（-3q+7eJ+2（2e/3eJ=q+e2=/W,

由平面向量基本定理可知，四点4,8,C,。共面.故选：C.

8.（2023秋•山东滨州•高三统考期末）在四边形A8CD0.”〃。。,48=4。”点后在线段

C6上.且C£=3£6,设八y=a.AO=h.则AE=（）

cTJD.三+4

B.-a+-b

824216484

【答案】C

【解析】由题知,A8〃a).A3=48,画出示意图如下：

因为CE=3EB,AB=(t.AD=b,

PJrLUAF=AR4-RE=AB+^-BC=AB+^-(BA+AD+DC

3I131-1.|3.113-i-

=-AB+-AD+-DC=-AB+-AD+—AB=-AB+-AD=，〃+」.故选:C

4444416164164

9.（2023春江西•高三校联考阶段练习）如图，平行四边形MCZ）中，加为8。中点，AC与

相交于点乙若”=X48+*。，则汇+）'=（）

.33

【答案】B

【解析】因为平行四边形A8CZ）中，M为8C中点,AC与也相交于点乙

所以博=芸=2,所以"="C=[（A8+AO）,

24

又AP=xA8+yAD，所以x=y=Q,x+y=Q.故选：B.

JJ

10.（2023春.河南洛阳.高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知A3是。的直径，C,

。是半圆弧48上的两个三等分点，设温工方bJ,贝!]8C=（）

【答案】A

【解析】A8是。O的直径，C，。是半圆弧A3上的两个三等分点，

1iui1nrIrtintunULUIrir

；・CD〃AB且CD=qAB,；.DC=QBA=Qa,，BC=BD+DC=b+Qa.故选：A.

11.（2022秋・广东广州高三校联考期中）（多选）有下列说法,其中正确的说法为（）

A.入〃为实数，若然，则。与方共线

B.若a=（1,2）,贝山在〃上的投影向量为

C.两个非零向量〃、力，若卜-"=|。+可，则。与h垂直

uuUlmiu.iir

D.右OA+OC+3OB=0,SVAOC,SVARC分别表小AOC^AABC的面积,则S.八g:SABC=3:5

【答案】BCD

【解析】对于A,当丸=4=。时，很显然而，但是。与。不共线，故A错误；

对于B,因为。在。上的投影向量为

rrr

aha1(-U)

bcos<ayb>

故B正确；

对于C,因为向量以力为非零向量，且卜-，

即•一b）=（a+b）f4a力=0,故〃与〃垂直，即C正确；

对于D,如图所示取AC中点为D,则OA+OC=20力、

ULIIIIUULILB1UUUUUU1

由04+00+302=0,可矢口20/)+309=0,

iiiuui2|Uim

所以0.8,。三点共线，且，故S®：S,皿.=3:5