2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第9章第1讲 直线与方程

第九章直线与圆、圆锥曲线第1讲

直线与方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．4．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．5．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴_____与直线l_____的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_____；②直线的倾斜角α的取值范围为___________．正向向上0°0°≤α<180°tanα大大3．直线的方向向量与斜率的关系若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝_____．4．直线方程的五种形式y－y0＝k(x－x0)名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)_____________不含直线x＝x0斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b_____________不含垂直于x轴的直线y＝kx＋b两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)________________不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b________________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—________________________________平面直角坐标系内的直线都适用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点拨：当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n．5．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行__________________________________________________________________垂直_________________________________相交_________________________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠06．两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组_________________的解．7．三种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝______________________．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_________________．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝_____________．重点考法突破考法1

直线的倾斜角与斜率(2)(2025·广东惠州一中模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．－3(1)(2026·广东东莞阶段练习)经过点(2，4)，且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是(

)A．x－y＋2＝0B．x－y＋2＝0或2x－y＝0C．x＋y－6＝0D．x＋y－6＝0或2x－y＝0考法2

求直线的方程(2)(2026·湖南衡阳阶段练习)已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，将△ABC绕顶点A逆时针旋转45°，此时BC边上的中线所在直线的方程为(

)A．5x－6y＋25＝0 B．6x－7y＋30＝0C．7x－8y＋35＝0 D．8x－9y＋40＝0求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1．已知直线l的一个方向向量为l＝(1，－2)且过点(3，3)，则直线l的一般式方程为____________．2x＋y－9＝02．(2026·湖北武汉模拟)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B，O为原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为______________．x＋2y－4＝0考法3

平行与垂直问题(2)(2026·湖北宜昌模拟)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(

)A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1．(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论．2．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．4x－3y＋9＝0考法4

距离公式的应用31．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．2．两条平行直线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两条平行直线间的距离公式求解，利用公式前需把两条平行直线的方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．2．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(

)A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0课时作业题号123456789难度★★★★★★★★★★考点直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率两直线位置关系的判定直线的斜率；截距式直线的方向向量与斜率的关系；中点坐标公式与直线有关的面积最值问题与两平行线间距离有关的最值问题直线的斜率与实际问题的综合直线的倾斜角；求直线方程基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号10111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点平行与垂直问题直线的倾斜角与斜率；直线与集合的综合；两平行线间的距离直线的倾斜角与斜率两平行线间的距离；垂直问题；求直线方程直线斜率公式的应用直线的斜率；与直线有关的面积最值问题垂直问题；求直线方程；点到直线的距离3．(2026·广东潮州实验中学月考)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x＋ay＋c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是(

)A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直4．(2025·山东济南模拟)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(

)A．x－y＋3＝0 B．x＋y－5＝0C．4x－y＝0或x＋y－5＝0 D．4x－y＝0或x－y＋3＝07．(2026·山西大同模拟)已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(

)A．1 B．2C．3 D．48．(2025·北京海淀区模拟)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3．4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66m，|OA1|＝86m，则最长拉索所在直线的斜率为(

)A．±0．47B．±0．45 C．±0．42 D．±0．40二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(

)A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾