高一升高二数学新知预习 专题1.1 空间向量及其运算（解析版） 导学案

专题1.1空间向量及其运算教学目标1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.3．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.教学重难点1.重点空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.2.难点空间向量的共线定理、共面定理及推论.知识点01空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.【即学即练】1.【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，则或B．若向量是向量的相反向量，则C．在正方体中，D．若空间向量，，满足，，则【解析】依据向量相等的概念，选项A判断错误；若向量是向量的相反向量，则.选项B判断正确；依据向量相等的概念，在正方体中，.选项C判断正确；依据向量相等的概念，若空间向量，，满足，，则.选项D判断正确.故选：BCD.2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))【解析】对于A，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误；对于B，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；对于C，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；对于D，eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确．故选D知识点02空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律:结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【即学即练】已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的为()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))【解析】选项A中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；选项B中，eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；选项C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；选项D中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC1,\s\up7(→))≠eq\o(AC1,\s\up7(→)).故选D.知识点03共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【即学即练】1.已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（

）A． B． C． D．【解析】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即.故选：B.2.在下列命题中：①若向量共线，则所在的直线平行；②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.⑤若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，对于⑤,若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故⑤错误．所以选A知识点04向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).【即学即练】1.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【详解】，A选项中向量共面；，B选项中向量共面；假设，，共面，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；同理D选项中向量也不共面．故选：AB．知识点05空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c【即学即练】如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量为，；(2)在上的投影向量为，.(1)因为平面，所以在平面上的投影向量为，因为平面，面，可得，所以，因为，所以，所以.(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量为：，由数量积的几何意义可得：.知识点06利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.【即学即练】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的大小余弦值；(3)判断与是否垂直．【解析】(1)正方体中，,故;(2)由题意知,,,，故，故，故与的夹角的大小余弦值为；(3)由题意，,,故与垂直.知识点07夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。【即学即练】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)(1)，，故，所以的长为；(2)，由（1）知：，设直线与所成角为∴，∴直线与所成角的余弦值为.知识点08空间向量的长度1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【即学即练】1.如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.【答案】(1).(2).【解析】(1)解：，所以；(2)解：因为.又因为四面体是正四面体，则，，，所以.2.如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．(1)求；(2)求点，间的距离．【答案】(1)2或-2(2)或(1)解：由已知得，翻折后与所成的角为60°，所以或120°，所以，或．(2)解：连接，由已知得，，则，所以或5，解得或，即点，间的距离为或．题型01空间向量的有关概念及线性运算【典例1】在长方体中，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用空间向量的线性运算结合向量相等即可求解.【详解】.故选：C.在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．【变式1】下列关于空间向量的说法中不正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量，满足，则D．相等向量其方向必相同【答案】ABC【分析】根据空间向量的定义直接判断.【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误；B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误；C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小；D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确；故选：ABC.【变式2】已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（）A．与是一对相反向量B．与是一对相反向量C．与是一对相反向量D．与是一对相反向量【答案】C【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可【详解】所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C【变式3】下列说法正确的是（

）A．向量与向量是相等向量B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系C．向量的模是一个正实数D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D.【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确；对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确；对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确.故选：D.题型02共线向量定理的应用【典例1】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当时，．【答案】1【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案.【详解】，又，所以点P在射线上；，又，所以点Q在射线上；

因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线，因为正方体有平面，而平面，所以又，平面，所以平面，平面，所以，所以当点Q在上时，即时，故答案为：1.利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．【变式1】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B【分析】根据三点共线的推理即可求得，.【详解】，B，C三点共线，，，解得，又由，得，由A，B，C三点共线知，，则.故选：B【变式2】如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（

）

A．若，则点的轨迹为线段B．若，则点的轨迹为线段C．存在，使得D．存在，使得平面【答案】ABC【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可.【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界），若，则，故点的轨迹为线段，故A正确；对于B：若，则，所以，即，又，故点的轨迹为线段，故B正确；对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面，当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确；对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在，使得平面，故D错误.故选：ABC.

【变式3】向量与非零向量平行的充要条件是（

）A． B．C．存在实数k，使 D．存在实数k，使【答案】D【详解】如果，则，不成立，故A错误，如果，则，故平行，但不成立，因为无意义，故B错误.对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误.对于D，由向量共线定理可得：向量与非零向量平行等价于存在实数k，使，故D成立，故选：D.题型03共面向量及应用【典例1】在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可.【详解】因为，所以，即，又点M是平面内一点，所以，解得.故选：B 1．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．【变式1】在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（

）A．B．不存在，使得平面C．若平面平面，则D．若四点共面，则【答案】ACD【详解】对A，连接交于点，连接，因为在正四棱锥中，底面为正方形，所以，又因为，为中点，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，A正确；对B，因为，为中点，所以，因为为正方形，所以，又因为，平面，所以平面，则平面，所以当，即点与重合时，平面，B错误；对C，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以根据面面平行的性质定理可知，又因为分别为的中点，所以为中点，所以，C正确；对D，因为四点共面，所以四边形为平面四边形，所以连接交于点，在中，因为共线，所以，由于对称性可知，为中点，又因为所以,所以，所以，解得，D正确；故选：ACD.【变式2】已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值.【详解】由得，即，由空间向量共面定理的推论可知，，解得.故选：B.【变式3】如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由四点共面，，由，求出的值.【详解】因为，E为中点，.又因为四点共面，设，即所以，所以.故选：A．题型04空间向量的数量积【典例1】在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D.【详解】，故AB错误；因为，所以，所以不一定等于，故C错误；因为，所以，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：D.向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．【变式1】已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2，则，所以.故选：D【变式2】已知为正方体，下列说法正确的是（

）A．B．C．向量与向量的夹角是D．正方体的体积为【答案】AB【详解】对于A，由向量的加法运算得到，，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，是等边三角形，，又，异面直线与所成的角为，但是向量与向量的夹角是，故C错误；对于D，，，则，故D错误．故选：AB．【变式3】如图，在长方体中，设，则（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【详解】由长方体的性质知，，，，，所以．故选：A题型05利用空间向量的数量积求两向量的夹角【典例1】如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（

）A．B．直线BD与直线AP所成角为90°C．平面与平面ABCD的夹角为60°D．多面体的外接球体积为【答案】ABD【详解】在平行六面体中，，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是所以，即，故A正确；对于B，连接AC交BD于O，连接，由题知，，所以为等边三角形，四边形为菱形，，同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，，又，平面，平面，即平面，平面，，故B正确；对于C，连接交于，连接，，平面，平面，，又，平面平面，所以就是平面与平面ABCD的夹角，在平行六面体中，，，为等边三角形，，，，故C错误；对于D，连接交于，为、中点，又，，所以四边形为正方形，，又，所以，即，所以多面体外接球球心在中点处，半径，体积，故D正确；故选：ABD.1、求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．【变式1】已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则.【答案】【详解】.故答案为：【变式2】如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图，由已知，，，∵，∴，∴，即，故选：A.【变式3】已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为.【答案】/【详解】因为，所以，所以，由三棱柱的结构特点可知，所以异面直线与的夹角即为（锐角），因为，所以，所以，所以异面直线与的夹角的余弦值为，故答案为：.题型06利用空间向量的数量积求线段的长度【典例1】如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以，所以.故选：C空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。【变式1】在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为.【答案】【分析】将用表示，再求出，得到.【详解】因为，所以，则，

故答案为：【变式2】如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，所以，因为，所以，所以，同理可得，，，所以丝线缠一圈的长度为，故选：A【变式3】如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为.

【答案】或【分析】得到，两边平方后代入求值即可.【详解】，两边平方得，，因为，，，线段都垂直于直线，平面与平面的夹角为，所以或，即或.故答案为：或题型07利用空间向量的数量积证垂直【典例1】在四面体中，，四面体的顶点均在球的表面上，则（

）A．当平面平面时，B．球的表面积随二面角的大小变化而变化C．异面直线与不可能垂直D．与平面所成角的最大值为【答案】ACD【详解】对于A，由题意得，所以，分别过作的垂线，垂足分别为，

则，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故，所以，故A正确；对于B，因为，故的中点到的距离相等，故球心为的中点，且球的半径为1，故球的表面积为，为定值，故B错误；对于C，假设，又平面，所以平面，又平面，所以，所以是以为斜边的直角三角形，所以，与已知矛盾，所以异面直线与不可能垂直，故C正确；对于D，设与平面所成角为，点到平面的距离为，则，所以当点到平面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，点到平面的距离最大，此时，即，所以，故D正确.故选：ACD.利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.【变式1】如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（

）A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直【答案】B【详解】在正三棱柱中，因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，，，所以四点不共面，所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确；对于C，设，则，，若直线与直线CP垂直，则，即，所以，即，解得，因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误；对于D，连接，因为为的中点，所以，又因平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.故选：B.【变式2】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．【答案】(1)(2)垂直【详解】（1）正方体中，，故.（2）由题意，，，故与垂直.【变式3】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值(3)判断与是否垂直．【答案】(1)(2)(3)垂直【详解】（1）正方体中，，故.（2）由题意知，，，，故，故.（3）由题意，，，故与垂直.1．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（

）A．0 B．5 C．9 D．【答案】D【分析】根据空间的基底的概念可知，，，三向量共面，从而不能构成基底.【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时，，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且，即，解得.故选：D2．如图，在正六棱柱中.

（1）化简：；（2）化简：.【答案】【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解.【详解】（1）.（2）故答案为：3．若空间任意一点和不共线的三点有关系式，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．四点共面【答案】B【分析】利用向量的线性运算可得，可得四点共面．【详解】由，得，，即，四点共面．故选：B.4．如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】在平行六面体中，为的中点，则.故选：C.5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点.(1)证明：；（用向量方法证明）(2)求直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可；（2）利用空间向量的数量积的定义求解即可.【详解】（1）证明：由题意，因为，，所以，所以，即.（2）由（1）知，，所以，又，所以，即直线与所成角的余弦值为.6．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)；(2).【答案】(1)，图示见解析；(2)，图示见解析.【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1），设P是线段的中点，则，向量如图所示.（2），设Q是线段的中点，则，向量如图所示.7．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面．【答案】证明见解析【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案.【详解】取，，，则所以与共面，又，，所以与、共面，所以四点共面．8．已知，，不共面，若，，且三点共线，则【答案】2【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案．【详解】因为三点共线，所以，因为，，不共面，三点共线，所以有，故，解得，所以．故答案为：29．已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（

）A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能【答案】C【分析】先假设与共