专题06 平行线的条件与性质-七年级数学下册暑假精炼（北师大版）（解析版）

平行线的条件与性质一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列说法正确的是（）A．两点之间线段最短 B．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行C．相等的角是对顶角 D．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点【答案】A【分析】依据线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，即可得到正确结论．【详解】解：A、两点之间线段最短，正确，故不符合题意；B、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；D、当点C在线段AB上，若AC=BC，则点C是线段AB的中点，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，解题时注意：平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．2．(本题3分)如图，已知，，则的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．110°【答案】D【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义可得，从而可得，然后根据已知等式求解即可得．【详解】如图，，，，，又，，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．3．(本题3分)如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）；（2）；（3）；（4），其中能判定的条件的序号是（）A．（1），（2） B．（1），（3） C．（1），（4） D．（3），（4）【答案】A【分析】由同位角相等，两直线平行判断（1），由得到再利用同位角相等，两直线平行判断（2），由是邻补角，不能判定两直线平行，可判断（3），不是同位角，也不是内错角，不能判定两直线平行，可判断（4）．【详解】解：故（1）可判定；故（2）可判定；，不能判定故（3）不能判定；，不能判定故（4）不能判定．故选：【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．4．(本题3分)下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．平行于同一直线的两条直线平行【答案】A【分析】判定两条直线是平行线的方法有：可以由内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应结合题意，具体情况，具体分析．【详解】图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的判定方法．这是以后做题的基础．要求学生熟练掌握．5．(本题3分)如图，直线，交于点E，，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行，内错角相等解答即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠CEA，∵∠CEA=45°，∴∠A=45°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．(本题3分)如图，，点F在直线上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点G作，则，利用平行线的性质即可求解．【详解】解：过点G作，则，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，根据拐点做出辅助线是解题的关键．7．(本题3分)将一副三角尺如图放置，是等腰直角三角形，，，当所在的直线与垂直时，的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】C【分析】延长ED交AC于F，推出EF∥BC，根据平行线的性质得到∠CBE+∠E=180°，即可求出∠CBE．【详解】解：延长ED交AC于F，则EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∵∠C=90°，∴BC⊥AC，∴EF∥BC，∴∠CBE+∠E=180°，∵∠E=30°，∴∠CBE=180°-30°=150°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，正确做出辅助线，准确的识别图形是解题的关键．8．(本题3分)如图，，，图中与互补的角有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先找到的邻补角，再根据平行线的性质求出与相等的角即可．【详解】解：，，，又，，，的邻补角是，与互补的角有：、、、．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，解答此题要明确两方面的问题：①邻补角互补．②平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．9．(本题3分)一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）A．第一次右拐15°，第二次左拐165° B．第一次左拐15°，第二次右拐15°C．第一次左拐15°，第二次左拐165° D．第一次右拐15°，第二次右拐15°【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等即可得出答案．【详解】如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，∵两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，∴两次拐弯的方向相反，∵平行前进，∴∠1=∠2．故选B．【点睛】本题考查平行线的性质．注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．10．(本题3分)小明在学习平行线的性质后，把含有角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过F作，则，即可得到，再根据，即可得出，进而得到．【详解】如图，过F作，∵，∴，∴，又∵，∴，∵FG∥AD，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．二、填空题(共15分)11．(本题3分)如图，，，则，，三点共线，理由是：__________________________________________.【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，进行分析【详解】解：∵，∴∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行∴A.B.C三点共线【点睛】本题考查的是平行公理，熟记此公理是解题的关键.12．(本题3分)一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠ACE的度数为_____°．【答案】30【分析】根据平行线的性质可得∠ACE=∠BAC，根据三角板的度数即可得解．【详解】解：∵AB∥DC，∴∠ACE=∠BAC=30°．故答案为30．【点睛】本题考查了平行线的性质．两直线平行，内错角相等．13．(本题3分)知与（都是大于且小于的角）的两边一边平行，另边垂直，且，则的度数为_____．【答案】38°或98°【分析】分两种情况讨论，依据平行线的性质以及2∠A-∠B=24°，即可得到∠A的度数．【详解】解：①如图所示，∵AD∥BE，∠ACB=90°，过点C作CF∥AD，则CF∥BE，∴∠A=∠ACF，∠B=∠BCF，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，又∵2∠A-∠B=24°，∴3∠A=114°，∴∠A=38°；②如图所示，∵AD∥BE，∠ACB=90°，过点C作CF∥AD，则CF∥BE，∴∠A+∠ACF=180°，∠B+∠BCF=180°，∴∠A+∠B=180°-∠ACF+180°-∠BCF=360°-90°=270°，又∵2∠A-∠B=24°，∴3∠A=294°，∴∠A=98°；综上所述，∠A的度数为38°或98°，故答案为：38°或98°．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．14．(本题3分)如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°，则∠3=________【答案】100°【解析】首先过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．

解：如图所示，过点C作CD∥a，

∵a∥b，

∴CD∥a∥b，

∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，

∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．

故答案为100°．

“点睛”此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．15．(本题3分)如图，若，则____根据是__；若，则____，根据是__；若，则____，根据是__．【答案】同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行【分析】直接利用平行线的判定方法分别得出答案．【详解】若，则根据是同位角相等，两直线平行；若，则，根据是内错角相等，两直线平行；若，则，根据是同旁内角互补，两直线平行．故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，内错角相等，两直线平行；，，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．三、解答题(共55分)16．(本题9分)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．（1）按下列要求画图：过点C画AB的平行线CD；过点C画AB的垂线CE，并在图中标出格点D和E．（2）根据所画的图形猜测两直线CD、CE的位置关系是．（3）求三角形ABC的面积．【答案】(1)答案见解析，（2）垂直，（3）3.5【分析】（1）直接利用网格进而得出符合题意的答案；（2）直接利用网格进而得出直线CD、CE的位置关系；（3）利用△ABC所在矩形面积进而减去周围三角形面积进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：DC，CE即为所求；（2）因为CD∥AB,CE⊥AB所以两直线CD、CE的位置关系是：垂直；故答案为：垂直；（3）△ABC的面积为：3×32×31×21×3＝3.5．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确借助网格得出符合题意图形是解题关键．17．(本题8分)如图，射线平外，且．求证：．【答案】见解析【分析】首先根据角平分线的定义，再由和对顶角相等即可得出，从而得到答案．【详解】证明：∵平分（已知）∴（角平分线的定义）∵（对顶角相等）又∵（已知）∴（等量代换）∴（同旁内角互补，两直线平行）【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为同旁内角互补，两直线平行．18．(本题12分)已知如图，已知，．（1）判断与是否平行，并说明理由；（2）当时，求的大小．【答案】（1）BD∥CE；（2）30°【分析】（1）由∠1=∠2结合对顶角相等可得出∠1=∠3，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出BD∥CE；（2）由BD∥CE可得出∠C=∠4，结合∠C=∠D可得出∠D=∠4，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DF，再利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠A=∠F．【详解】解：（1）BD∥CE，理由如下：∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BD∥CE；（2）∵BD∥CE，∴∠C=∠4．∵∠C=∠D，∴∠D=∠4，∴AC∥DF，∴∠A=∠F，∵∠A=30°，∴∠F=30°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的各判定与性质定理是解题的关键．19．(本题12分)已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．（1）若，求的度数；（2）当为多少度时，，并说明理由．【答案】（1）116°；（2）60°，见解析【分析】（1）依据平行线的性质，即可得到∠BCM的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCM的度数，进而得出∠BCD的度数；（2）根据角平分线的定义及两直线平行内错角相等，列方程求解．【详解】解：（1）∵AB∥ON∴∠O=∠MCB（两直线平行，同位角相等）∵∠O=52°∴∠MCB=52°∵∠ACM+∠MCB=180°（平角定义）∴∠ACM=180°-52°=128°又∵CD平分∠ACM∴∠DCM=64°（角平分线定义）∴∠BCD=∠DCM+∠MCB=64°+52°=116°（2）∵AB∥ON∴当时设，则又∵CD平分∠ACM∴∴即∠O=60°【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．20．(本题14分)如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析【分析】（1）过点E作直线a与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；（2）方法同（1），过E作直线b与