第09讲 用公式法求解一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第09讲用公式法求解一元二次方程【知识梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以当时，利用开平方法，得：， 即：当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【考点剖析】一．解一元二次方程-公式法（共12小题）1．（2023•西和县一模）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（）A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．602．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．3．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+＝9的解是．4．（2022秋•漳州期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为．5．（2023•西安校级三模）用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．6．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．7．（2023•泉州一模）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的过程中出现了错误，其解答如下：解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步∴x＝，……第三步∴x1＝，x2＝．……第四步（1）问：小明的解答是从第步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答．8．（2022秋•衡山县期末）下列方程中，以x＝为根的是（）A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝09．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是从第步开始出错．10．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A． B． C． D．11．（2022秋•德城区期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝．12．（2023•遂平县一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．二．根的判别式（共11小题）13．（2023•永城市二模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根14．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠015．（2023•金平区三模）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（1﹣ab）x+a+b的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16．（2023•容县一模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+…+i2023的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i17．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．18．（2023•扎兰屯市一模）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根19．（2023•罗山县三模）若关于x的方程x2+2x＝c无实数根，则c的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．120．（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝121．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．22．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．23．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．

【过关检测】一、单选题1．（2023·贵州黔东南·统考二模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a满足条件是（

）A． B．且 C．且 D．3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，则正数b的值是（

）A．8 B． C．4 D．4．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．245．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．76．（2023·河南商丘·统考三模）方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一个实数根 D．有两个不相等的实数根7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（

）A．一切实数 B． C． D．8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程的整数对有（

）A．0对 B．2对 C．4对 D．6对二、填空题9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是________．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______．11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________．12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为_____________．三、解答题14．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程：15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）16.用公式法解下列方程：（1）； （2）．17..用公式法解下列方程：（1）； （2）．18.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）． 19.已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值．20．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．21．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．22．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于的方程没有实数根，试判断关于的方程实数根的情况，并说明理由．23．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241

“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”；(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．24．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB