第13讲 重难点专项突破01中点四边形模型（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

重难点专项突破01中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米 B．11米 C．10米 D．9米【变式1】在四边形中，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则的值为（）A．18 B．36 C．48 D．64【变式2】如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．A．20 B． C． D．25【变式3】如图，点O为四边形ABCD内任意一点，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．9 B．12 C．18 D．不能确定题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，若△EFG的面积为4，则四边形ABCD的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．18【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（）A．矩形B，菱形C．正方形D．无法确定（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形是和美四边形，若,求的长．【变式2】如图，在四边形中，对角线，且，，，，，分别是四边的中点，则四边形的面积为__________．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，……，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（）A． B． C． D．不确定【变式1】如图1，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．（1）试判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，……以此类推，取，，，的中点，，，，根据信息填空：①四边形的面积是__________；②若四边形的面积为，则________；③试用表示四边形的面积___________．题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。如图1，矩形中，在上，且，点从点出发，以1个单位每秒的速度在边上向点运动，设点的运动时间为秒。（1）的面积为，求关于的函数关系式，并求出时的值；（2）在点从点向运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，分别是的中点，在点从向运动的过程中，线段扫过的图形是什么形状_________________，并直接写出它的面积___________________。【变式1】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD、AC的中点，依次连接E，G，F，H．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=°．【变式2】如图，、是四边形的对角线，点E、F、G、H分别是线段、、、上的中点（1）求证：线段、互相平分；（2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定2．（2022春•兰山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形 B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的 C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和 D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和3．（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD4．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形 B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形 C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形 D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形5．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．对角线相等的四边形6．（2022•谷城县模拟）如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形二．填空题（共2小题）7．（2020•湘阴县一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．8．（2021秋•崂山区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是菱形．三．解答题（共4小题）9．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．10．（2021•梧州模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC⊥BD于点O．求证：四边形EFGH是矩形．11．（2023•乐清市模拟）如图，O是▱ABCD的对角线的交点，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当∠DEF＝90°，AB＝6，BC＝4时，求四边形DEFG的周长．12．（2022春•怀仁市期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分