北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.集合M=x3x−1>5，N=0,1,2，则M∩N=(

)A.1,2,3 B.2,3 C.⌀ D.32.设复数z满足z1+i=2，则z=A.22 B.1 C.23.下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是(

)A. B.

C. D.4.下列关于命题“若实数x>1，则2x+1>5”的否定，正确的是(

)A.若x>1，则2x+1≤5

B.任意实数x，满足x>1，则2x+1≤5

C.存在一个实数x，满足x>1，则2x+1≤5

D.存在一个实数x，满足x≤1，则2x+1≤55.下列求导运算正确的是(

)A.ln2′=12 B.1x6.在x−ax7的展开式中，若x2的系数为−14A.2 B.1 C.−1 D.−27.已知随机变量X∼Nμ,σ2(σ>0)，若PX−μA.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.48.已知xy>0，则“y≠2x”是“yx+4xyA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目2个、歌唱类节目2个、舞蹈类节目1个，共5个节目登台演出．若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为(

)A.24 B.32 C.44 D.4810.已知集合A=x∈N∗|1≤x≤20，且集合B1，B2①每个集合均恰有5个元素；②B称集合Bi中元素的最大值与最小值之和为Bi的特征数则X1+XA.64 B.65 C.102 D.103二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.在复平面内，复数z对应的点的坐标是2,1，则复数z=

．12.从集合1,2,3,4中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为a和b.已知a是偶数，则a+b>5的概率为

．13.已知(1−3x)4=a0−3a1x+914.已知集合A={x∈Z|ax2−(a2+a)x+a2<0,a∈R}15.曲线y=f(x)在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线斜率分别是kA,kB，规定φ(A,B)=①设函数f(x)=kx+b，则其图象上任意两点之间的“弯曲度”都为0；②设函数f(x)=exx③已知A(x,f(x))与B(x+π,f(x+π))是函数f(x)=sinx图象上两点，则当x∈(−π④已知A(x,f(x))与B(x+1,f(x+1))是函数f(x)=ex图象上两点，则φ(A,B)随着x的增大而增大，且∀m>0，∃x∈R，使得其中所有正确结论的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区．现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景区中选择1个景区参观．(1)若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？(2)若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？17.某班级数学兴趣小组共有6名同学，其中2名男生，4名女生．(1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为34，乙同学闯关成功的概率为2(2)若从这6名同学中随机选出3名同学组成一个竞赛小组，设选出的3名同学中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18.已知函数fx(1)若a=1，求fx(2)若fx在区间0,+∞上的最小值小于零，求a(3)若a>0，设Fx=fx，记Fx在区间−1,1上的最大值为ga19.某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别”两项核心功能设计了相应的优化方案：方案A与方案B.为了解“小智”的全体用户(18岁及以上)对新方案的支持情况，对“小智”的青年用户(18−35岁)和中老年用户(36岁及以上)进行简单随机抽样，获得数据如下表：青年用户中老年用户支持不支持支持不支持方案A400人200人200人200人方案B350人250人150人250人假设所有用户对方案是否支持相互独立．用频率估计概率．(1)分别估计“小智”的青年用户和中老年用户支持方案A的概率；(2)从“小智”的全体青年用户中随机抽取2人，全体中老年用户中随机抽取1人．估计这3人中恰有2人支持方案A的概率；(3)用ξk=1(k=1,2,3)分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户支持方案B，用ξk=0(k=1,2,3)分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户不支持方案B.写出方差Dξ1，Dξ20.已知函数fx的定义域为0,+∞，其导函数f′x=aex−1−1xa>0，且(1)若直线l与x轴平行，求a的值；(2)求证：除切点A外，曲线y=fx在直线l(3)若a>1，直线l与x轴、y轴分别交于B、C两点，O为坐标原点．是否存在实数a，使得▵BOC的面积为2？若存在，求出满足条件的a的个数；若不存在，说明理由．21.设n∈N∗，考虑正整数数列a1、a2、⋯、an，将其以n为周期构造成无穷数列，即对所有正整数i，均有①a②对每个i=1、2、⋯、n，均有aa(1)当n=4时，判断下列两个数列Q1，Q2是否为“Q1:2、2、3、4、2、2、3、4、2、2、3、4、Q2:2、4、4、6、2、4、4、6、2、4、4、6、(2)若正整数数列a1、a2、⋯、an、a1、a2、⋯、a(ⅰ)求证：对每个i=1、2、⋯、n，均有ai(ⅱ)求证：a1+a1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】2−i

12.【答案】12

/0.513.【答案】16；15

14.【答案】4/答案不唯一，满足3<a≤4即可

15.【答案】①②④

16.【答案】解：(1)根据题意，共有A5(2)选出两名游客共有C4这两名游客与其他两名游客有A5故共有6×60=360种选择方法．

17.【答案】解：(1)记事件A：甲同学闯关成功，记事件B：乙同学闯关成功，事件E：甲、乙两人中恰有一人闯关成功，则PE又甲同学闯关成功的概率为34，乙同学闯关成功的概率为2所以PE(2)易知X的可能取值为1,2,3，PX=1=C22所以X的分布列为X123P131EX

18.【答案】解：(1)当a=1时，fx=令f′x=0得3x2列表得x−∞,000,22f′+0−0+f单调递增极大值1单调递减极小值23单调递增所以fx的极大值为1，极小值为23(2)f′x=3x2−2ax=x3x−2a，令当a≤0时，2a3≤0，在0,+∞上即fx单调递增，则fxmin当a>0时，2a3>0，fx在0,则fxmin=f即a1−4a227<0，因为综上所述，a的取值范围是a<0或a>3(3)由第二问可知，f′x当a>0时，fx在−∞,0上单调递增，在0,在2a3因为x∈−1,1当a≥32时，fx在−1,0F0=f0=a此时ga当0<a<32时，F0F2a3=当0<a≤1时，ga当1<a<32时，ga综上所述，ga=1,0<a≤1a,a>1，所以当此时a可取1．

19.【答案】解：(1)由图表知，方案A的青年用户共600人，支持方案A的青年用户共400人，方案A的中老年用户共400人，支持方案A的中老年用户共200人，所以“小智”的青年用户和中老年用户支持方案A的概率分别为400600=2(2)由(1)知青年用户支持方案A的概率为23，中老年用户支持方案A的概率为1则所求概率为P=2(3)由题知ξk服从0−1分布，则Dξk=p1−p又由题知青年用户支持方案B的概率为p1=350中老年用户支持方案B的概率为p2=150全体用户支持方案B的概率为p3=500又12>35

20.【答案】解：(1)根据题意可得f′1=a×e1−1−11=a−1，因为与当a=1时，f1=1+ln(2)证明：根据题意可得直线l的方程y−a+设函数hx=fx因为Mx=h′x因为a>0，ex−1>0，1x2>0，所以M′又因为h′1=0，所以当0<x<1时，h′x<h′1当x>1时，h′x>h′1=0，即hx所以除切点A外，曲线y=fx在直线l(3)由(2)知，切线的方程y−a+令y=0得xB=−1+令x=0得yC=1+ln因为a>1，则lna+1>0，−所以S▵BOC=1所以lna+12=4a−1，即设Fa=ln因为a>1，所以a2>a>a−1，即a>所以Fa在1,+∞因为F1=1>0，所以存在唯一的a0∈1,e，使得Fa0=0，故所以满足条件的a，且满足条件的a只有1个.

21.【答案】解：(1)对于数列Q1，对任意的n∈N∗，an+4=且满足a1aa1=a2aa数列Q1满足①②，故数列Q1为“对于数列Q2，对任意的n∈N∗，an+4=且满足a1aa1=a2=4≤4+1−1=4，aa故数列Q2不是“C(2)(i)假设存在i∈N∗，使得考虑使这个不等式成立的最小的i，则an因为数列的周期性和aai≤n+i−1，所以ai=1+kn、2+kn又ai≥n+i，可得因为a1+n≥an≥ai由条件①可知，a1=mina1故对每个i=1、2、