3.4 圆周角（能力提升）（解析版）

.4圆周角题型一90°圆周角所对弦是直径1．下列图形中，线段AB是所在圆的直径的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A．图中直角∠ACB不是圆周角，所以线段AB不是圆的直径，故选项不符合题意；B．图中直角∠ACB不是圆周角，所以线段AB不是圆的直径，故选项不符合题意；C．图中直角∠ACB是圆周角，所以线段AB是圆的直径，故选项符合题意；D．图中直角∠ACB是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段AB不是圆的直径，故选项不符合题意；故选：C．2．如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（

）A．4 B．22 C．23 D【答案】A【详解】解：连接AC，则：∠CAB=∠BDC=30°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴AC为⊙O的直径，∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=4，∴AC=2BC=8，∴⊙O的半径为82故选A．3．如图，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（

A．2 B．810521 C．2.4 D【答案】A【详解】解：设AD的中点为O，连接OB,OM，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°,AD=BC=8，∴∠BAP+∠MAD=90°，∵∠ADM=∠BAP，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，∵AO=OD=4，∴OM=1∴点M在O点为圆心，4为半径的圆O上．∵OB=A∴BM≥OB-OM=2，∵BM的最小值为2．故选：A．4．古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________．【答案】90°的圆周角所对的弦是直径【详解】解：这种方法的数学依据是90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．题型二圆内接四边形1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BCD=115°，则∠BOD的度数是（

A．65° B．115° C．130° D．140°【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°-∠BCD=65°，由圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=130°．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠ADC=55°，则∠ABC=______°．【答案】125【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC=55°，∴∠ABC=180°-55°=125°．3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点E在CAB上，连接EC，EB，若∠ADC=110°，则∠BEC=________【答案】20【详解】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC=110°，∴∠ABC=70°；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠ABC=20°，∵BC=∴∠BEC=∠BAC=20°．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作AE∥BC，交CD于点E．若∠AED=50°，则∠BAD=_________【答案】130°/130度【详解】解：∵AE∥∴∠BCD=∠AED=50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°-50°=130°，故答案为：130°．1．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为．【答案】3+22【解答】解：过P点作PH⊥AB于H点，PD⊥OC于D点，连接PA、PB、PC，如图，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴OA＝5，OB＝1，∵PH⊥AB，∴AH＝BH=12AB＝∴OH＝2，∵∠APB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，∴∠APH＝60°，在Rt△PAH中，∵PH=33AH∴PA＝2PH＝23，∵∠PHO＝∠PDO＝∠HOD＝90°，∴四边形PHOD为矩形，∴OD＝PH=3，PD＝OH＝2在Rt△PCD中，∵PC＝PA＝23，PD＝2，∴CD=(23)∴OC＝OD+CD=3+2∴点C的纵坐标为3+22故答案为：3+222．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，点E在AD上，连接BE交AD于点Q．若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E，BC＝3，则AQ＝．【答案】3．【解答】解：连接AB．根据圆周角定理可得∠A＝∠E．∵∠CQD＝∠E，∴∠CQD＝∠A，∴AB∥CQ．∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠AQB+∠AQE＝180°，∴∠EBC+∠EDC＝∠AQB+∠AQE．∵∠AQE＝∠EDC，∴∠EBC＝∠AQB，∴BC∥AQ．又∵AB∥CQ，∴四边形ABCQ是平行四边形，∴AQ＝BC＝3．故答案为：3．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆的直径及菱形ABFC的面积．【答案】（1）见解析；（2）直径为8，面积为815【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC为平行四边形，∵AB＝AC，∴四边形ABFC为菱形；（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，设CD＝x，则：AB＝AC＝AD+CD＝7+x，由（1）可知：BC＝2BE＝4，由勾股定理，得：BD2＝BC2﹣CD2＝AB2﹣AD2，即42﹣x2＝（7+x）2﹣72，解得x＝1或x＝﹣8（舍去）；∴AB＝7+1＝8，在Rt△AEB中，AE=A∴AF=2AE=415∴菱形ABFC的面积为1∴直径为8，面积为8154．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）2；（2）AB+BC＝BM，理由见解答过程．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH=12∠AOC＝∵AC＝23，∴AH=12AC∴OA=2，故⊙O的半径为2；（2）AB+BC＝BM，理由如下：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BC