高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 函数的极值教学设计 北师大版选修2-2

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的极值教学设计北师大版选修2-2备课组主备人授课教师授教学科授课班级XX年级课题名称设计思路本节课以“函数的单调性与极值”为主题，结合北师大版选修2-2教材，通过实际案例分析和课堂互动，引导学生深入理解函数单调性与极值的概念，掌握求导、判定方法，并能应用于解决实际问题。教学设计注重理论联系实际，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。核心素养目标1.发展数学抽象能力，通过函数概念的理解，抽象出数学模型。

2.培养逻辑推理能力，学会运用导数判断函数单调性和极值。

3.提升数学建模能力，将实际问题转化为数学问题，求解并分析结果。

4.增强数学应用意识，学会在生活和生产中运用导数知识解决问题。学习者分析1.学生已经掌握了平面坐标系、函数的基本性质和极限概念等基础知识。他们能够理解函数图像的基本特征，并具备一定的代数运算能力。

2.学生的学习兴趣通常集中在能够直观体现的数学内容上，如几何图形和直观问题。他们在解决问题时偏好逻辑推理，但可能对抽象的数学概念和推导过程感到兴趣不足。学习风格方面，部分学生可能更倾向于通过动手操作和合作学习来理解新概念。

3.学生在理解导数概念时可能遇到困难，尤其是将导数与函数的单调性和极值联系起来。他们在应用导数求解极值时可能难以判断极值点的类型，或在处理复合函数时感到困惑。此外，学生可能对如何将实际问题转化为数学模型感到挑战。教学资源-多媒体教学设备：计算机、投影仪、电子白板

-教学软件：数学绘图软件（如GeoGebra）、在线教学平台

-信息化资源：函数图像库、导数性质相关视频教程

-教学手段：实物教具（如函数图像卡片）、课堂练习册、PPT课件教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“函数的单调性与极值”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何通过导数判断函数的单调性？”“极值点在函数图像上如何体现？”等。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数的基本概念和函数的单调性与极值的关系。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解“函数的单调性与极值”课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过实际案例，如山峰和山谷的形状，引出“函数的单调性与极值”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解导数的几何意义，结合函数图像，帮助学生理解单调性和极值的判定方法。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习内容，共同探讨如何判定一个函数的极值点。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己的理解和发现。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数的几何意义。

-实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中应用所学知识。

作用与目的：

-帮助学生深入理解导数的几何意义，掌握判定函数单调性和极值的方法。

-通过实践活动，培养学生的合作学习和问题解决能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置包含判断函数单调性和求极值点的练习题，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与函数的单调性与极值相关的拓展资源，如数学竞赛题目、相关数学软件等。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用拓展资源，如数学软件，探索更复杂的函数性质。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的“函数的单调性与极值”知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展1.拓展资源：

-函数的极限与连续性：介绍函数极限的概念，以及极限与连续性的关系，通过实例分析如何利用极限判断函数的连续性。

-导数的应用：探讨导数在物理、工程、经济学等领域的应用，如速度、加速度、最大值和最小值的计算。

-高阶导数：介绍高阶导数的概念，包括二阶导数、三阶导数等，以及它们在函数凹凸性、拐点分析中的应用。

-微分方程：介绍微分方程的基本概念，以及如何通过求解微分方程来研究函数的变化规律。

-数学建模：展示如何将实际问题转化为数学模型，运用导数知识进行求解和分析。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐《数学分析基础》、《微分方程及其应用》等书籍，帮助学生深入了解导数和微分方程的相关知识。

-在线课程：推荐MOOC平台上的数学分析、微分方程等在线课程，提供更深入的学习资源。

-实践项目：鼓励学生参与数学建模竞赛或科研项目，将所学知识应用于实际问题中。

-小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解决实际问题的方法。

-案例分析：分析实际案例，如物理学中的运动学问题、经济学中的供需分析等，帮助学生理解导数的应用。

-动手实验：通过实验验证导数的概念和应用，如利用传感器测量物体运动的速度和加速度。

-制作PPT或视频：鼓励学生制作PPT或视频，展示自己对导数和微分方程的理解，提高表达和沟通能力。

-参加讲座或研讨会：参加数学相关的讲座或研讨会，了解数学领域的最新研究进展。

-撰写论文：鼓励学生撰写论文，对导数和微分方程的相关问题进行深入研究。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了函数的单调性与极值，重点掌握了以下内容：

1.导数的定义及其几何意义，如何通过导数判断函数的单调性。

2.极值的定义，如何通过导数求解函数的极值，以及如何判断极值点的类型。

3.函数的极值与实际问题的联系，如何利用导数解决实际问题。

当堂检测：

1.判断题（每题5分，共25分）

（1）如果一个函数在某一点处的导数为0，那么该点一定是函数的极值点。（）

（2）一个函数在某个区间内单调递增，那么在该区间内导数恒大于0。（）

（3）一个函数的极大值一定比其极小值大。（）

（4）如果一个函数在某个区间内导数恒为0，那么该函数在该区间内一定是常数函数。（）

（5）一个函数在某个区间内单调递减，那么在该区间内导数恒小于0。（）

2.填空题（每题5分，共25分）

（1）函数f(x)在x=a处的导数为0，则f(x)在x=a处可能为______。

（2）如果一个函数在某个区间内导数恒大于0，那么该函数在该区间内______。

（3）若函数f(x)在x=a处取得极小值，则f'(a)______。

（4）函数f(x)在x=a处的导数不存在，则f(x)在x=a处可能为______。

（5）若函数f(x)在某个区间内导数恒小于0，那么该函数在该区间内______。

3.计算题（每题10分，共30分）

（1）已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的极值点及极值。

（2）已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的单调区间及极值。

（3）已知函数f(x)=e^x，求f(x)的单调区间及极值。重点题型整理1.求函数的极值点：

例题：已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x，求f(x)的极值点。

解题步骤：

a.求导数f'(x)=3x^2-6x+4。

b.令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。

c.确定x=1和x=2/3附近的导数符号，判断这两个点是极大值点还是极小值点。

d.计算f(1)和f(2/3)的值，得到极大值和极小值。

2.判断函数的单调区间：

例题：已知函数f(x)=(x-1)^2，求f(x)的单调区间。

解题步骤：

a.求导数f'(x)=2(x-1)。

b.解不等式2(x-1)>0和2(x-1)<0，得到f(x)的单调增区间和单调减区间。

c.f'(x)>0时，f(x)单调增，得到单调增区间为(x>1)。

d.f'(x)<0时，f(x)单调减，得到单调减区间为(x<1)。

3.判断函数的凹凸性和拐点：

例题：已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2，求f(x)的凹凸性和拐点。

解题步骤：

a.求二阶导数f''(x)=12x^2-24x+12。

b.解不等式f''(x)>0和f''(x)<0，得到f(x)的凹区间和凸区间。

c.f''(x)>0时，f(x)凸，得到凸区间为(-∞,1)和(1,+∞)。

d.f''(x)<0时，f(x)凹，得到凹区间为(1,+∞)。

e.解方程f''(x)=0，得到拐点x=1。

4.求函数的最值问题：

例题：已知函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

解题步骤：

a.求导数f'(x)=2x+2。

b.令f'(x)=0，解得x=-1。

c.确定f(x)在端点-1和3处