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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题04函数的基本性质

基础知识复习

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区

间D叫做y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;

条件

(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M

结论M为最大值M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

fx1-fx2fx1-fx2

(1)对∀x1,x2∈D(x1≠x2),>0⇔f(x)在D上是增函数,<0⇔f(x)在D上是减函数.

x1-x2x1-x2

a

(2)对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-a]和[a,+∞),减区间为[-a,0)和(0,a].

x

(3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

偶函数关于y轴对称

f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

奇函数关于原点对称

f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数

4.周期性

(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)

=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最

小正周期.

【知识拓展】

1.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

2.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x:

(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

1

(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).

fx

1

(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).

fx

典型习题强化

1.下列函数中,是偶函数且在区间上为增函数的是()

0,+∞

A.B.C.D.

�12

3�

【答�案=】3B�=log��=�=−�+1

【解析】

为非奇非偶函数,为奇函数,故A、C不符合;

�1

�=3、�为=偶�函数,

2

�在=log3�上�=−�+递1增,而递减,B符合,D不符合.

2

0,+∞�=log3��=−�+1

故选:B

2.已知函数是奇函数,且当时,,那么当时,的解析式是()

A.���>0�B�.=10+�+1�<0��

11

��

10+�−1−10+�−1

C.D.

11

��

1010

【答案】−�B+1−−�+1

【解析】

解:当时,则,所以,

−�

又因为函�<数0是奇−函�数>,0所以�−�=10,−�+1

所以当�时�−�−�=��.

1

−��

10

故选:B�<0��=−10+�−1=−+�−1

3.已知函数,则使不等式成立的x的取值范围是()

�−�

A.�(�)=lg(|�|+1)+2+2B.�(�+1)<�(C2.�)D.

1

(−∞,−1)∪(1,+∞)(−2,−1)(−∞,−3)∪(1,+∞)(1,+

∞【)答案】C

【解析】

函数定义域为,

�−�

显然有�(�)=lg(|�|+1)+2+2(−∞,,0)即⋃(函0,数+∞)是偶函数,

−��

当�(时−,�)=lg(|−�|+1)+2+2,=令�(�)�(�),

�−��−�

�>0�(�),=lg(�+1,)+2+2�(�)=2+2(�>0),

�1−�1�2−�2�1�21

�1�2

∀�1,�2∈(0,+∞)�1<�2�(�1)−�(�2)=2+2−2−2=(2−2)(1−2⋅2)

因,则,即,,有,在上单

�1�2�1�21

12�1�212

调递0增<,�<�1<2<22−2<01−2⋅2>0�(�)<�(�)�(�)(0,+∞)

又在上单调递增,因此,在上单调递增,

于是�=得lg(�+1)(0,+∞)�(�)(0,+∞),解得或,

1

�(�+1)<�(2�)⇔�(|�+1|)<�(|2�|)⇔|�+1|<|2�|�<−3�>1

所以不等式成立的x的取值范围是.

1

3

故选:C�(�+1)<�(2�)(−∞,−)∪(1,+∞)

4.定义在R的奇函数满足,且,则

140434045

().����+3=�−�−2�−2=1�2+3�2+2�2021=

A.4B.2C.D.

5

2

【答案】D−−2

【解析】

因为是奇函数,

所以��,

所以��+是3以=2为�周−�期−的2周=期−函�数�,+且2=−�−.�+1−2=��+1

令��,,�0=0

又�=−2�1=�0,=即0

111

�−2=−�2=1�2=−1

故.

40434045111

22222

故选�:D+3�+2�2021=�−+3�+2�1=2�=−2

5.已知是奇函数,当时,,则的解集为()

31

�=�(�),(�∈�)�<0�(�)=8�+log2(−�)�(|log2�|)<0

A.B.

22

[2,1)⋃(1,2](2,2)

C.D.

22

【答(案2】,1C)⋃(1,2)(0,2)⋃(2,+∞)

【解析】

因为是奇函数,当时,;

31

�(�)=8�+log2(−�)

所以当�=�(�)时,(�,∈�);�<0

当�时=,0则�(�),=所0以.

31

�>0−�<0�(−�)=8−�+log2�

因为是奇函数,所以,所以.即当时,

3131

�=�(�)−��=�(−�)=8−�+log2���=8�−log2��>0

.

31

��=8�−log2�

综上所述:31

8�+log2−�,�<0.

��=0,31�=0

8�−log2�,�>0

令,则,所以不等式可化为:.

�(�)<0

�=log2��=log2�≥0�(|log2�|)<0

当时,不合题意舍去.�≥0

当�=0时,对��于=0.

31

�>0��=8�−log2�

因为在上递增,在上递增,所以在上递增.

3131

�=�0,+∞�=−log2�0,+∞��=8�−log2�0,+∞

又,

3

1111

�2=8×2−log22=0

所以由可解得:,即,解得:.

112

�(�)<02

0<�<20<log�<2�∈(2,1)⋃(1,2)

故选:C�≥0

6.若函数为奇函数,则()

��,�<0

��=���−1=

A.2−B3.,�0>0C.1D.

5

2

【答−案1】A−

【解析】

函数为奇函数且,则,

1

所以,�故−1=�−1�−1.=−�1=−(2−3)=1

故选:�A−1=1��−1=�1=−1

7.已知定义在上的偶函数满足,当时,,则()

A.R���−�+��−2=0−1≤�≤0��=1+�e

7�1

�tan24<�2022<�ln2

B.

7�1

�2022<�tan24<�ln2

C.

17�

�ln2<�2022<�tan24

D.

17�

224

【答�案2】02B2<�ln<�tan

【解析】

因为定义在上的偶函数满足,

则R,得���−�+��,−所2以=,0,即,

当��+��−时2,=0��+2,+�则�=0��−,2=��+2��=��+4

��

所以−1,≤函�数≤0在��=上为1+增�函e数,则�该'函�数=在�+2上e为>减0函数,

且当��时,−1,0,0,1

因为−1<�≤,0则��=1+�,e>0

�7��7�

4<24<31<tan24<3

,,

111

∵−1=lne<ln2<ln1=0�ln2>0

,,

7�7�

�2022=�2=−�0<0�tan24=−�tan24−2<0

且,所以,,故,

7�7�7�

−1<tan24−2<0�tan24−2<�0�2022<�tan24<0

因此,.

7�1

242

故选:B�.2022<�tan<�ln

8.函数的定义域为,若是奇函数,是偶函数,则()

A.�是�奇函数R��+1B.��−1是偶函数

C.��D.��+3

【答�案3】=B0��=��+3

【解析】

因为是奇函数,

∴��+1,

∵��+1是=偶−函�−数�,+1

∴��−1,即,

��−1=�−�−1��+1=�−�−3,

∴则−�−�+1=�−�−3⇒�,�即+周�期�为+84;=0

另一��方+面8=−��+4=��,

∴��+5=−�,�+即1=�−是�偶+函1数.

故选��:+B.3=�−�+3��+3

9.如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,之间,l与半圆相交于F,G两点,与

两边相交于E,D两点,设弧FG的长为,�1�2,若l从平行移动到,则△函𝐴数�

的图像大致是()�(0<�<�)�=𝐴+��+𝐶�1�2

�=�(�)

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

由题,,点到的距离,

∠𝐹�=�����=cos2

所以�,

2343(1−cos2)43�

�(�)=𝐴+��+𝐶=3+3=23−3cos2(0<�<�)

23�

故�'(�)=在3定s义in域2内单调递增,且变化率越来越大,

故选�(�:)D.(0,�)

10.已知函数的部分图像如图所示,则该函数的解析式可能是()

�(�)

A.B.

22+cos�32+cos�

�(�)=�+ln2−cos��(�)=�ln2−cos�

C.D.

32+sin�22+sin�

2−sin�2−sin�

【答�案(�】)=B�+ln�(�)=�ln

【解析】

观察函数图象可得该函数图象关于原点对称,所以函数为奇函数,由图象可得,

对于函数,�(�)�(2)<0

22+cos�

�(�)=�+ln2−cos�

因为,

22+cos−�22+cos�

�(−�)=−�+ln2−cos−�=�+ln2−cos�=�(�)

所以函数为偶函数,A错,

22+cos�

�(�)=�+ln2−cos�

对于函数,,

32+sin�32−sin�

�(�)=�+ln2−sin��(−�)=−�+ln2+sin�=−�(�)

所以函数为奇函数,又,与图象不符,故C错误,

32+sin�32+sin2

�(�)=�+ln2−sin��(2)=2+ln2−sin2>0

对于函数,,

22+sin�22−sin�

�(�)=�ln2−sin��(−�)=−�ln2+sin�=−�(�)

所以函数为奇函数,又,与图象不符,故D错误,

22+sin�22+sin2

�(�)=�ln2−sin��(2)=2ln2−sin2>0

对于函数,因为,

32+cos�32+cos�

�(�)=�ln2−cos��(−�)=−�ln2−cos�=−�(�)

所以函数为奇函数,且,与图象基本相符,B正确,

32+cos�32+cos2

2−cos�2−cos2

故选:B.�(�)=�ln�(2)=2ln<0

11.定义在上的偶函数满足,当时,,设函数

�,则�正�确的是�(2+�)=�2−��∈0,2��=2−���=

−�−2

A�.函数−2<图�像<关6于直线对称B.函数的周期为6

C.���=2D.和��的图像所有交点横坐标之和等于8

【答�案7】=A−D1����

【解析】

,函数图像关于直线对称,故A正确;

∵又�2+�为偶=函�数2−,�∴���=2,所以函数的周期为4,故B错误;由周期性和

对称∵�性(�可)知,∵�2+�=�2,−故�=C错�(误�−;2)��

做出与�的7图=像�(,3)如=下�:(1)=1

�(�)�(�)

由图可知,当时,与共有4个交点,与均关于直线对称,所以交点也关

于直线对−称2<,�则<有6�(�)�(�),故�(D�)正确�(.�)�=2

故选:A�D=.2�1+�2+�3+�4=2×4=8

12.是定义在上的函数,若是奇函数,是偶函数,函数,

2��,�∈0,1

�����+���−���=

则()2��−1,�∈1,+∞

A.当时,B.当时,

22

�∈1,2��=−2�+6�−4�∈2,3��=−4�+20�−20

.2�+1.

CD�

�2�2�−12−1

2�−1∗

�=124

【答�案】2A=D4�∈��=

【解析】

因为是奇函数,是偶函数,则有,解得.

22

2�−�+�=−��−�2

��+���−���=�−�

对于A:任取,则,所以�−�+�=��−�.

22

故A正确;�∈1,2�−1∈0,1��=2��−1=2�−1−�−1=−2�+6�−4

对于B:任取,则,所以

22

.故B�错∈误2;,3�−1∈1,2��=2��−1=2−2�−1+6�−1−4=−4�+

4对0于�−C4:当8x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以,则有

��=2��−1=4��−2=4��−2

,,故2�+1.故C错误;

2�+112�−11�(2)

�−2�−32�−1∗

�(2)=�(�+2)=2�(2)=�(�−2)=2�(2)=2(�∈�)

对于:由的结论,则故正确

DC,�.D.

2�−1�−3�2�−111�−32−1

2�=12424

故选:AD�()=2�()=++1+⋯⋯+2=

.设,表示不超过的最大整数,例如:,,已知函数,则下

13�

e1

列叙述�中∈正R确的�是()�−3.5=−42.1=2��=1+e−2

A.是偶函数B.是奇函数

C.��在上是增函数D.��的值域是

【答�案�】BCR��−1,0,1

【解析】

根据题意知,,

��

e11+e−1111

���

��=1+e−2=1+e−2=2−1+e

,,

e111

所�以1,=1+e−2=0且�−1=e+1−2=,−1

所以,函�数1≠�既−不1是奇函�数1,≠也−不�是−偶1函数,A错;

��,

−�

e11111

−��−��

∵�−�=1+e−2=e1+e−2=1+e−2=−��

所以,函数为奇函数,B对;

因为函数��为上的增函数,则函数为上的减函数,

1

��

�=1+eR�=1+eR

故函数上的增函数,C对;

11

��=2−1+e

因为,则,所以,,故,

111

���

1+e22

所以,e函>数01的+值e域>为1,D0<错.<1−<��<

故选:BC.��−1,0

14.已知函数为上的奇函数,则实数______________________.

2

【答案】1��=ln�+�−�R�=

【解析】

由题设,

22�

2

�(−�)=ln[(−�)+�−(−�)]=ln(�+�+�)=ln�+�−�=−�(�)

所以,可得.

�2

2

ln�+�−�=−ln(�+�−�)

故答案为:1�=1

15.已知定义在上的奇函数满足,当时,,则方程

2

在内R的所有根之和�为=_�__�______�_.1+�=�1−�−1≤�<0��=���+

1

2

【=答0案】−12,6

【解析】

因为,所以的图象关于直线对称,

又函数�1+�=在�1−为�奇函数,�且=当��时,�=1,

2

由此画出�=��在区间R上的图象如−1下≤图�所<示0.��=�

��−2,6,

11

��+2=0⇒��=−2

由图可知,与图象的个交点,

1

其中两个关于�=直−线2��对称,两4个关于直线对称,

所以方程�=在1内的所有根之和�为=5.

1

故答案为:��+2=0−2,62×1+2×5=12

12

16.已知函数,,若存在实数m,使得对于任意的,都有,则称函数,

有下界,�m=为�其�一个�下∈界�;类似的,若存在实数M,使得对�于∈任�意的��,≥都�有,�则=称�函�数

�∈�,有上界,M为其一个上界.若函数,既有上�界∈,�又有下界��,则≤称�该函数为有

�界=函�数�.对�于∈下�列4个结论中正确的序号是______.�=���∈�

①若函数有下界,则函数有最小值;

②若定义在�=�上�的奇函数�有=上�界�,则该函数是有界函数;

③对于函数R,若函�数=��有最大值,则该函数是有界函数;

④若函数�=�的�定义域为闭�=区间��,则该函数是有界函数.

【答案】�②=③���,�

【解析】

解:①当时,,则恒成立,则函数有下界,但函数没有最小值,故

1

①错误;�>0�(�)=��(�)⩾0�=�(�)�=�(�)

②若定义在上的奇函数有上界,不妨设当时,成立,则当时,,则

,R�=�(�)�⩾0�(�)⩽��<0−�>0�(−

�即)⩽�,则,该的下界是,则函数是有界函数,故②正确;

③−对�于(�函)⩽数��(�),⩾若−函�数�(�)有最大−值�,设,则,该函数是有界函数,故

③正确;�=�(�)�=|�(�)||�(�)|⩽�−�⩽�(�)⩽�

④函数�,则函数的定义域为闭区间,,

tan�,0⩽�<2�

�(�)=��=�(�)02

则函数的值0域为�,=2,则只有下界,没有上界,即该函数不是有界函数.故④错误;

�(�)0+∞�(�)

故答案为:②③.

17.对于函数,若在定义域内存在实数x,满足,则称为“局部奇函数”.

(1)已知二次函�数(�)(),试判�(断−�)=是−否�为(�)“局部奇�函(�数)”,并说明理由;

2

(2)若�(�是)=定义��在+区3间�−2��上∈的R“局部奇函数�(”�,)求实数m的取值范围;

(3)若�(�)=3−�[−为1定,1义]在R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.

��2

【答案�(】�)(1=)9−为2“�局⋅部3奇+函�数−”,4理由见解析;

(2)�;(�)

5

3

(3)�∈1,.

【解[−析1】,10]

(1)为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解.

当�(�)()时,�(�)+�(−�)=0

2

方程�(�)=��+3�−2�,即�∈R有解,而,

2

所以�(�)+�(,−从�而)=0为“局2�部�奇−函2数”=.0�≠0

(2)当�=±2时�(,�)可化为.

��−�

因为�(�)的=定3义−域�为�(�),+所�(以−方�程)=03+3在−2�=0上有解.

�−�

令�(�),则[,−1上,1式]化为3+3.−2�=0[−1,1]

�11

�=3�∈3,32�=�+�

设,则在上为单调减函数;在上为单调增函数.

1

�(�)=�+��(�)(0,1)(1,+∞)

因为,,,

11010

�3=3�(3)=3�(1)=2

所以时,.

110

�∈3,3�(�)∈2,3

所以,即.

105

33

(3)当2�∈2,�∈1,时,

��2

�(�)=9−2�可⋅化3为+�−4,

�−��−�2

�设(�)+�(−�),=则09+9,则−2�3+3+,2�−8=0

�−��−�2

从而�=只3需+要3关于的�方∈程[2,+∞)9+9=�−在2上有解即可.

22

令��−2�.�+2�−10=0[2,+∞)

22

当�(�)=�时−,2��+2�−10在上有解,

22

由�(2)≤0,即�−2��+2�−,1解0得=0[2,+∞);

2

当�(2)≤0时,�−2�−3≤0−1在≤�≤3上有解等价于

22

�(2)>0�−2��+2�−10=0[2,+∞)

22,解得.

Δ=4�−42�−10≥0

�>23<�≤10

综�上2,>所0求实数m的取值范围为.

18.已知二次函数[−1,10].

2

(1)若在区间��=上�单−调2递��增+,3求�实∈数Rk的取值范围;

(2)若��在1,+∞上恒成立,求实数k的取值范围.

【答案�】�(1≥)2�∈0,+∞

(2)�≤1

【解�≤析】1

(1)解:因为在单调递增,

所以��,�∈1,+∞

−2�

解得−2;≤1

(2)因�为≤1在上恒成立,

所以��≥2�∈在0,+∞恒成立,

2

即�−2��在+1≥0�∈恒0成,+立∞.

1

2�≤�+��∈0,+∞

令,则,

111

当且�仅�当=�+�时等�号�成=立.�+�≥2�⋅�=2

所以�.=1

.已�≤知1函数的图象经过点,

19�

�⋅2−11

2+13

(1)求a的值;�(�)=1,

(2)求函数的定义域和值域;

(3)判断函数�(�)的奇偶性并证明.

【答案】(1)�(�);

(2)的定义�=域1为R,值域为;

(3)�奇(�函)数,证明见解析.(−1,1)

【解析】

(1)依题意,函数的图象过点,则有,解得,

12�−11

333

所以a的值是1.�(�)1,�(1)==�=1

由()知函数,因,所以的定义域为,

(2)1�R

2−12

����

�(�)=2+1=1−2+12>0,2+1>1�(�)

而,所以的值域为.

2

2+1

(3)函数∈(0,2是)R上的�奇(�函)数,(−1,1)

因的�(定�)义域为,且,所以是奇函数

R−��.

2−11−2

−��

�(�)�(−�)=2+1=1+2=−�(�)�(�)

20.已知函数.

323

(1)写出函数�(�的)单=调3递�+增区�间;

(2)求证:函数�(�)的图像关于直线对称;

(3)某同学经研究�(�发)现,函数的图�=像为3双�曲线,和为其两条渐进线,试求出其顶点、焦点的

3

坐标,并利用双曲线的定义加�(以�)验证.�=0�=3�

【答案】(1)

(2)证明见解析(−∞,−6),(6,+∞)

(3),,,,验证答案见解析

【解�1析(−】3,−3)�2(3,3)�1(−2,−23)�2(2,23)

(1)解:由题意,函数,可得

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