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文档简介
高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)
专题04函数的基本性质
基础知识复习
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区
间D叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
条件
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论M为最大值M为最小值
【知识拓展】
函数单调性的常用结论
fx1-fx2fx1-fx2
(1)对∀x1,x2∈D(x1≠x2),>0⇔f(x)在D上是增函数,<0⇔f(x)在D上是减函数.
x1-x2x1-x2
a
(2)对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-a]和[a,+∞),减区间为[-a,0)和(0,a].
x
(3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
3.函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
偶函数关于y轴对称
f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
奇函数关于原点对称
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
4.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)
=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期.
【知识拓展】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
1
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).
fx
1
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).
fx
典型习题强化
1.下列函数中,是偶函数且在区间上为增函数的是()
0,+∞
A.B.C.D.
�12
3�
【答�案=】3B�=log��=�=−�+1
【解析】
为非奇非偶函数,为奇函数,故A、C不符合;
�1
�=3、�为=偶�函数,
2
�在=log3�上�=−�+递1增,而递减,B符合,D不符合.
2
0,+∞�=log3��=−�+1
故选:B
2.已知函数是奇函数,且当时,,那么当时,的解析式是()
�
A.���>0�B�.=10+�+1�<0��
11
��
10+�−1−10+�−1
C.D.
11
��
1010
【答案】−�B+1−−�+1
【解析】
解:当时,则,所以,
−�
又因为函�<数0是奇−函�数>,0所以�−�=10,−�+1
所以当�时�−�−�=��.
1
−��
10
故选:B�<0��=−10+�−1=−+�−1
3.已知函数,则使不等式成立的x的取值范围是()
�−�
A.�(�)=lg(|�|+1)+2+2B.�(�+1)<�(C2.�)D.
1
(−∞,−1)∪(1,+∞)(−2,−1)(−∞,−3)∪(1,+∞)(1,+
∞【)答案】C
【解析】
函数定义域为,
�−�
显然有�(�)=lg(|�|+1)+2+2(−∞,,0)即⋃(函0,数+∞)是偶函数,
−��
当�(时−,�)=lg(|−�|+1)+2+2,=令�(�)�(�),
�−��−�
�>0�(�),=lg(�+1,)+2+2�(�)=2+2(�>0),
�1−�1�2−�2�1�21
�1�2
∀�1,�2∈(0,+∞)�1<�2�(�1)−�(�2)=2+2−2−2=(2−2)(1−2⋅2)
因,则,即,,有,在上单
�1�2�1�21
12�1�212
调递0增<,�<�1<2<22−2<01−2⋅2>0�(�)<�(�)�(�)(0,+∞)
又在上单调递增,因此,在上单调递增,
于是�=得lg(�+1)(0,+∞)�(�)(0,+∞),解得或,
1
�(�+1)<�(2�)⇔�(|�+1|)<�(|2�|)⇔|�+1|<|2�|�<−3�>1
所以不等式成立的x的取值范围是.
1
3
故选:C�(�+1)<�(2�)(−∞,−)∪(1,+∞)
4.定义在R的奇函数满足,且,则
140434045
().����+3=�−�−2�−2=1�2+3�2+2�2021=
A.4B.2C.D.
5
2
【答案】D−−2
【解析】
因为是奇函数,
所以��,
所以��+是3以=2为�周−�期−的2周=期−函�数�,+且2=−�−.�+1−2=��+1
令��,,�0=0
又�=−2�1=�0,=即0
111
�−2=−�2=1�2=−1
故.
40434045111
22222
故选�:D+3�+2�2021=�−+3�+2�1=2�=−2
5.已知是奇函数,当时,,则的解集为()
31
�=�(�),(�∈�)�<0�(�)=8�+log2(−�)�(|log2�|)<0
A.B.
22
[2,1)⋃(1,2](2,2)
C.D.
22
【答(案2】,1C)⋃(1,2)(0,2)⋃(2,+∞)
【解析】
因为是奇函数,当时,;
31
�(�)=8�+log2(−�)
所以当�=�(�)时,(�,∈�);�<0
当�时=,0则�(�),=所0以.
31
�>0−�<0�(−�)=8−�+log2�
因为是奇函数,所以,所以.即当时,
3131
�=�(�)−��=�(−�)=8−�+log2���=8�−log2��>0
.
31
��=8�−log2�
综上所述:31
8�+log2−�,�<0.
��=0,31�=0
8�−log2�,�>0
令,则,所以不等式可化为:.
�(�)<0
�=log2��=log2�≥0�(|log2�|)<0
当时,不合题意舍去.�≥0
当�=0时,对��于=0.
31
�>0��=8�−log2�
因为在上递增,在上递增,所以在上递增.
3131
�=�0,+∞�=−log2�0,+∞��=8�−log2�0,+∞
又,
3
1111
�2=8×2−log22=0
所以由可解得:,即,解得:.
112
�(�)<02
0<�<20<log�<2�∈(2,1)⋃(1,2)
故选:C�≥0
6.若函数为奇函数,则()
��,�<0
��=���−1=
A.2−B3.,�0>0C.1D.
5
2
【答−案1】A−
【解析】
函数为奇函数且,则,
1
所以,�故−1=�−1�−1.=−�1=−(2−3)=1
故选:�A−1=1��−1=�1=−1
7.已知定义在上的偶函数满足,当时,,则()
�
A.R���−�+��−2=0−1≤�≤0��=1+�e
7�1
�tan24<�2022<�ln2
B.
7�1
�2022<�tan24<�ln2
C.
17�
�ln2<�2022<�tan24
D.
17�
224
【答�案2】02B2<�ln<�tan
【解析】
因为定义在上的偶函数满足,
则R,得���−�+��,−所2以=,0,即,
当��+��−时2,=0��+2,+�则�=0��−,2=��+2��=��+4
��
所以−1,≤函�数≤0在��=上为1+增�函e数,则�该'函�数=在�+2上e为>减0函数,
且当��时,−1,0,0,1
�
因为−1<�≤,0则��=1+�,e>0
�7��7�
4<24<31<tan24<3
,,
111
∵−1=lne<ln2<ln1=0�ln2>0
,,
7�7�
�2022=�2=−�0<0�tan24=−�tan24−2<0
且,所以,,故,
7�7�7�
−1<tan24−2<0�tan24−2<�0�2022<�tan24<0
因此,.
7�1
242
故选:B�.2022<�tan<�ln
8.函数的定义域为,若是奇函数,是偶函数,则()
A.�是�奇函数R��+1B.��−1是偶函数
C.��D.��+3
【答�案3】=B0��=��+3
【解析】
因为是奇函数,
∴��+1,
∵��+1是=偶−函�−数�,+1
∴��−1,即,
��−1=�−�−1��+1=�−�−3,
∴则−�−�+1=�−�−3⇒�,�即+周�期�为+84;=0
另一��方+面8=−��+4=��,
∴��+5=−�,�+即1=�−是�偶+函1数.
故选��:+B.3=�−�+3��+3
9.如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,之间,l与半圆相交于F,G两点,与
两边相交于E,D两点,设弧FG的长为,�1�2,若l从平行移动到,则△函𝐴数�
的图像大致是()�(0<�<�)�=𝐴+��+𝐶�1�2
�=�(�)
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
由题,,点到的距离,
�
∠𝐹�=�����=cos2
所以�,
2343(1−cos2)43�
�(�)=𝐴+��+𝐶=3+3=23−3cos2(0<�<�)
,
23�
故�'(�)=在3定s义in域2内单调递增,且变化率越来越大,
故选�(�:)D.(0,�)
10.已知函数的部分图像如图所示,则该函数的解析式可能是()
�(�)
A.B.
22+cos�32+cos�
�(�)=�+ln2−cos��(�)=�ln2−cos�
C.D.
32+sin�22+sin�
2−sin�2−sin�
【答�案(�】)=B�+ln�(�)=�ln
【解析】
观察函数图象可得该函数图象关于原点对称,所以函数为奇函数,由图象可得,
对于函数,�(�)�(2)<0
22+cos�
�(�)=�+ln2−cos�
因为,
22+cos−�22+cos�
�(−�)=−�+ln2−cos−�=�+ln2−cos�=�(�)
所以函数为偶函数,A错,
22+cos�
�(�)=�+ln2−cos�
对于函数,,
32+sin�32−sin�
�(�)=�+ln2−sin��(−�)=−�+ln2+sin�=−�(�)
所以函数为奇函数,又,与图象不符,故C错误,
32+sin�32+sin2
�(�)=�+ln2−sin��(2)=2+ln2−sin2>0
对于函数,,
22+sin�22−sin�
�(�)=�ln2−sin��(−�)=−�ln2+sin�=−�(�)
所以函数为奇函数,又,与图象不符,故D错误,
22+sin�22+sin2
�(�)=�ln2−sin��(2)=2ln2−sin2>0
对于函数,因为,
32+cos�32+cos�
�(�)=�ln2−cos��(−�)=−�ln2−cos�=−�(�)
所以函数为奇函数,且,与图象基本相符,B正确,
32+cos�32+cos2
2−cos�2−cos2
故选:B.�(�)=�ln�(2)=2ln<0
11.定义在上的偶函数满足,当时,,设函数
�,则�正�确的是�(2+�)=�2−��∈0,2��=2−���=
−�−2
A�.函数−2<图�像<关6于直线对称B.函数的周期为6
C.���=2D.和��的图像所有交点横坐标之和等于8
【答�案7】=A−D1����
【解析】
,函数图像关于直线对称,故A正确;
∵又�2+�为偶=函�数2−,�∴���=2,所以函数的周期为4,故B错误;由周期性和
对称∵�性(�可)知,∵�2+�=�2,−故�=C错�(误�−;2)��
做出与�的7图=像�(,3)如=下�:(1)=1
�(�)�(�)
由图可知,当时,与共有4个交点,与均关于直线对称,所以交点也关
于直线对−称2<,�则<有6�(�)�(�),故�(D�)正确�(.�)�=2
故选:A�D=.2�1+�2+�3+�4=2×4=8
12.是定义在上的函数,若是奇函数,是偶函数,函数,
2��,�∈0,1
�����+���−���=
则()2��−1,�∈1,+∞
A.当时,B.当时,
22
�∈1,2��=−2�+6�−4�∈2,3��=−4�+20�−20
.2�+1.
CD�
�2�2�−12−1
2�−1∗
�=124
【答�案】2A=D4�∈� �=
【解析】
因为是奇函数,是偶函数,则有,解得.
22
2�−�+�=−��−�2
��+���−���=�−�
对于A:任取,则,所以�−�+�=��−�.
22
故A正确;�∈1,2�−1∈0,1��=2��−1=2�−1−�−1=−2�+6�−4
对于B:任取,则,所以
22
.故B�错∈误2;,3�−1∈1,2��=2��−1=2−2�−1+6�−1−4=−4�+
4对0于�−C4:当8x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以,则有
��=2��−1=4��−2=4��−2
,,故2�+1.故C错误;
2�+112�−11�(2)
�−2�−32�−1∗
�(2)=�(�+2)=2�(2)=�(�−2)=2�(2)=2(�∈�)
对于:由的结论,则故正确
DC,�.D.
2�−1�−3�2�−111�−32−1
2�=12424
故选:AD�()=2 �()=++1+⋯⋯+2=
.设,表示不超过的最大整数,例如:,,已知函数,则下
13�
e1
�
列叙述�中∈正R确的�是()�−3.5=−42.1=2��=1+e−2
A.是偶函数B.是奇函数
C.��在上是增函数D.��的值域是
【答�案�】BCR��−1,0,1
【解析】
根据题意知,,
��
e11+e−1111
���
��=1+e−2=1+e−2=2−1+e
,,
e111
所�以1,=1+e−2=0且�−1=e+1−2=,−1
所以,函�数1≠�既−不1是奇函�数1,≠也−不�是−偶1函数,A错;
��,
−�
e11111
−��−��
∵�−�=1+e−2=e1+e−2=1+e−2=−��
所以,函数为奇函数,B对;
因为函数��为上的增函数,则函数为上的减函数,
1
��
�=1+eR�=1+eR
故函数上的增函数,C对;
11
�
��=2−1+e
因为,则,所以,,故,
111
���
1+e22
所以,e函>数01的+值e域>为1,D0<错.<1−<��<
故选:BC.��−1,0
14.已知函数为上的奇函数,则实数______________________.
2
【答案】1��=ln�+�−�R�=
【解析】
由题设,
22�
2
�(−�)=ln[(−�)+�−(−�)]=ln(�+�+�)=ln�+�−�=−�(�)
所以,可得.
�2
2
ln�+�−�=−ln(�+�−�)
故答案为:1�=1
15.已知定义在上的奇函数满足,当时,,则方程
2
在内R的所有根之和�为=_�__�______�_.1+�=�1−�−1≤�<0��=���+
1
2
【=答0案】−12,6
【解析】
因为,所以的图象关于直线对称,
又函数�1+�=在�1−为�奇函数,�且=当��时,�=1,
2
由此画出�=��在区间R上的图象如−1下≤图�所<示0.��=�
��−2,6,
11
��+2=0⇒��=−2
由图可知,与图象的个交点,
1
其中两个关于�=直−线2��对称,两4个关于直线对称,
所以方程�=在1内的所有根之和�为=5.
1
故答案为:��+2=0−2,62×1+2×5=12
12
16.已知函数,,若存在实数m,使得对于任意的,都有,则称函数,
有下界,�m=为�其�一个�下∈界�;类似的,若存在实数M,使得对�于∈任�意的��,≥都�有,�则=称�函�数
�∈�,有上界,M为其一个上界.若函数,既有上�界∈,�又有下界��,则≤称�该函数为有
�界=函�数�.对�于∈下�列4个结论中正确的序号是______.�=���∈�
①若函数有下界,则函数有最小值;
②若定义在�=�上�的奇函数�有=上�界�,则该函数是有界函数;
③对于函数R,若函�数=��有最大值,则该函数是有界函数;
④若函数�=�的�定义域为闭�=区间��,则该函数是有界函数.
【答案】�②=③���,�
【解析】
解:①当时,,则恒成立,则函数有下界,但函数没有最小值,故
1
①错误;�>0�(�)=��(�)⩾0�=�(�)�=�(�)
②若定义在上的奇函数有上界,不妨设当时,成立,则当时,,则
,R�=�(�)�⩾0�(�)⩽��<0−�>0�(−
�即)⩽�,则,该的下界是,则函数是有界函数,故②正确;
③−对�于(�函)⩽数��(�),⩾若−函�数�(�)有最大−值�,设,则,该函数是有界函数,故
③正确;�=�(�)�=|�(�)||�(�)|⩽�−�⩽�(�)⩽�
④函数�,则函数的定义域为闭区间,,
tan�,0⩽�<2�
�(�)=��=�(�)02
则函数的值0域为�,=2,则只有下界,没有上界,即该函数不是有界函数.故④错误;
�(�)0+∞�(�)
故答案为:②③.
17.对于函数,若在定义域内存在实数x,满足,则称为“局部奇函数”.
(1)已知二次函�数(�)(),试判�(断−�)=是−否�为(�)“局部奇�函(�数)”,并说明理由;
2
(2)若�(�是)=定义��在+区3间�−2��上∈的R“局部奇函数�(”�,)求实数m的取值范围;
�
(3)若�(�)=3−�[−为1定,1义]在R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
��2
【答案�(】�)(1=)9−为2“�局⋅部3奇+函�数−”,4理由见解析;
(2)�;(�)
5
3
(3)�∈1,.
【解[−析1】,10]
(1)为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解.
当�(�)()时,�(�)+�(−�)=0
2
方程�(�)=��+3�−2�,即�∈R有解,而,
2
所以�(�)+�(,−从�而)=0为“局2�部�奇−函2数”=.0�≠0
(2)当�=±2时�(,�)可化为.
��−�
因为�(�)的=定3义−域�为�(�),+所�(以−方�程)=03+3在−2�=0上有解.
�−�
令�(�),则[,−1上,1式]化为3+3.−2�=0[−1,1]
�11
�=3�∈3,32�=�+�
设,则在上为单调减函数;在上为单调增函数.
1
�(�)=�+��(�)(0,1)(1,+∞)
因为,,,
11010
�3=3�(3)=3�(1)=2
所以时,.
110
�∈3,3�(�)∈2,3
所以,即.
105
33
(3)当2�∈2,�∈1,时,
��2
�(�)=9−2�可⋅化3为+�−4,
�−��−�2
�设(�)+�(−�),=则09+9,则−2�3+3+,2�−8=0
�−��−�2
从而�=只3需+要3关于的�方∈程[2,+∞)9+9=�−在2上有解即可.
22
令��−2�.�+2�−10=0[2,+∞)
22
当�(�)=�时−,2��+2�−10在上有解,
22
由�(2)≤0,即�−2��+2�−,1解0得=0[2,+∞);
2
当�(2)≤0时,�−2�−3≤0−1在≤�≤3上有解等价于
22
�(2)>0�−2��+2�−10=0[2,+∞)
22,解得.
Δ=4�−42�−10≥0
�>23<�≤10
综�上2,>所0求实数m的取值范围为.
18.已知二次函数[−1,10].
2
(1)若在区间��=上�单−调2递��增+,3求�实∈数Rk的取值范围;
(2)若��在1,+∞上恒成立,求实数k的取值范围.
【答案�】�(1≥)2�∈0,+∞
(2)�≤1
【解�≤析】1
(1)解:因为在单调递增,
所以��,�∈1,+∞
−2�
解得−2;≤1
(2)因�为≤1在上恒成立,
所以��≥2�∈在0,+∞恒成立,
2
即�−2��在+1≥0�∈恒0成,+立∞.
1
2�≤�+��∈0,+∞
令,则,
111
当且�仅�当=�+�时等�号�成=立.�+�≥2�⋅�=2
所以�.=1
.已�≤知1函数的图象经过点,
19�
�⋅2−11
�
2+13
(1)求a的值;�(�)=1,
(2)求函数的定义域和值域;
(3)判断函数�(�)的奇偶性并证明.
【答案】(1)�(�);
(2)的定义�=域1为R,值域为;
(3)�奇(�函)数,证明见解析.(−1,1)
【解析】
(1)依题意,函数的图象过点,则有,解得,
12�−11
333
所以a的值是1.�(�)1,�(1)==�=1
由()知函数,因,所以的定义域为,
(2)1�R
2−12
����
�(�)=2+1=1−2+12>0,2+1>1�(�)
而,所以的值域为.
2
�
2+1
(3)函数∈(0,2是)R上的�奇(�函)数,(−1,1)
因的�(定�)义域为,且,所以是奇函数
R−��.
2−11−2
−��
�(�)�(−�)=2+1=1+2=−�(�)�(�)
20.已知函数.
323
(1)写出函数�(�的)单=调3递�+增区�间;
(2)求证:函数�(�)的图像关于直线对称;
(3)某同学经研究�(�发)现,函数的图�=像为3双�曲线,和为其两条渐进线,试求出其顶点、焦点的
3
坐标,并利用双曲线的定义加�(以�)验证.�=0�=3�
【答案】(1)
(2)证明见解析(−∞,−6),(6,+∞)
(3),,,,验证答案见解析
【解�1析(−】3,−3)�2(3,3)�1(−2,−23)�2(2,23)
(1)解:由题意,函数,可得
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