2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题04函数的基本性质（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题04函数的基本性质

基础知识复习

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

条件

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论M为最大值M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

fx1－fx2fx1－fx2

(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．

x1－x2x1－x2

a

(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．

x

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

3．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

偶函数关于y轴对称

f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

奇函数关于原点对称

f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

4.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)

＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最

小正周期．

【知识拓展】

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

1

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

fx

1

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

fx

典型习题强化

1．下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（）

0,+∞

A．B．C．D．

�12

3�

2．已�知=函3数是奇函数，�=且当log�时，�=，那么当�=−时�，+1的解析式是（）

�

A．���>0�B�．=10+�+1�<0��

11

��

10+�−1−10+�−1

C．D．

11

��

1010

3．已知−函�数+1，则使不−等式−�+1成立的x的取值范围是（）

�−�

�(�)=lg(|�|+1)+2+2�(�+1)<�(2�)

A．B．C．D．

1

(−∞,−1)∪(1,+∞)(−2,−1)(−∞,−3)∪(1,+∞)(1,+

4∞．)定义在R的奇函数满足，且，则

140434045

（）．����+3=�−�−2�−2=1�2+3�2+2�2021=

A．4B．2C．D．

5

−2−2

5．已知是奇函数，当时，，则的解集为（）

31

�=�(�),(�∈�)�<0�(�)=8�+log2(−�)�(|log2�|)<0

A．B．

22

[2,1)⋃(1,2](2,2)

C．D．

22

(2,1)⋃(1,2)(0,2)⋃(2,+∞)

6．若函数为奇函数，则（）

��,�<0

��=���−1=

A．2−B3．,�0>0C．1D．

5

2

7．已−知1定义在上的偶函数满足，当−时，，则（）

�

A．R���−�+��−2=0−1≤�≤0��=1+�e

7�1

�tan24<�2022<�ln2

B．

7�1

�2022<�tan24<�ln2

C．

17�

�ln2<�2022<�tan24

D．

17�

224

8．函�数2022的<定�义ln域为<�，t若an是奇函数，是偶函数，则（）

A．�是�奇函数R��+1B．��−1是偶函数

C．��D．��+3

9．如�图3，半=径0为1的半圆O与等边三角形ABC夹在�两�平=行�线�+，3之间，l与半圆相交于F，G两点，与

两边相交于E，D两点，设弧FG的长为，�1�2，若l从平行移动到，则△函𝐴数�

的图像大致是（）�(0<�<�)�=𝐴+��+𝐶�1�2

�=�(�)

A．B．

C．D．

10．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（）

�(�)

A．B．

22+cos�32+cos�

�(�)=�+ln2−cos��(�)=�ln2−cos�

C．D．

32+sin�22+sin�

2−sin�2−sin�

11．�定(�义)=在�上+的ln偶函数满足�(�)，=当�ln时，，设函数

�，则�正�确的是�（2+�）=�2−��∈0,2��=2−���=

−�−2

A�．函数−2<图�像<关6于直线对称B．函数的周期为6

C．���=2D．和��的图像所有交点横坐标之和等于8

12．�7是=定−义1在上的函数，若是奇函数�，���是偶函数，函数，

2��,�∈0,1

�����+���−���=

则（）2��−1,�∈1,+∞

A．当时，B．当时，

22

�∈1,2��=−2�+6�−4�∈2,3��=−4�+20�−20

．2�+1．

CD�

�2�2�−12−1

2�−1∗

�=1

�2=4�∈��2=4

．设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下

13�

e1

�

列叙述�中∈正R确的�是（）�−3.5=−42.1=2��=1+e−2

A．是偶函数B．是奇函数

C．��在上是增函数D．��的值域是

14．�已�知函R数为上的奇函�数�，则实数−__1_,0_,_1_________________．

2

15．已知定义在��上=的ln奇函�数+�−�满R足�，当=时，，则方程

2

在内R的所有根之和�为=_�__�______�_.1+�=�1−�−1≤�<0��=���+

1

2

16=．0已知−函2数,6，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，

有下界，�m=为�其�一个�下∈界�；类似的，若存在实数M，使得对�于∈任�意的��，≥都�有，�则=称�函�数

�∈�，有上界，M为其一个上界．若函数，既有上�界∈，�又有下界��，则≤称�该函数为有

�界=函�数�．对�于∈下�列4个结论中正确的序号是______．�=���∈�

①若函数有下界，则函数有最小值；

②若定义在�=�上�的奇函数�有=上�界�，则该函数是有界函数；

③对于函数R，若函�数=��有最大值，则该函数是有界函数；

④若函数�=�的�定义域为闭�=区间��，则该函数是有界函数．

17．对于函�=数��，若在定义域内存在�,实�数x，满足，则称为“局部奇函数”.

(1)已知二次函�数(�)（），试判�(断−�)=是−否�为(�)“局部奇�函(�