2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题11三角函数的定义、同角三角函数基本关系（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题11三角函数的定义、同角三角函数基本关系

基础知识复习

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分

类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说

这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度

数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

180

π

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad，1rad＝π°.

180

11

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.

22

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，

y

则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．

x

三个三角函数的性质如下表：

三角

定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号

函数

sinαR＋＋－－

cosαR＋－－＋

π

{α|α≠kπ＋，

tanα2＋－＋－

k∈Z}

4．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

sinαπ

(2)商数关系：＝tanα(α≠＋kπ，k∈Z)．

cosα2

5．三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

ππ

角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α

22

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα

余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα

正切tanαtanα－tanα－tanα

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【知识拓展】

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα.

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

2

典型习题强化

题型一利用定义求三角函数值

【例1】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O对称.若角的

25

终边与单位圆⊙O交于点P(,)，则cos（）

33

2255

A．B．C．D．

3333

【例2】已知角的终边落在直线y2x上，则sin的值为（）

2552525

A．B．C．D．

5555

2π2π

【变式1-1】已知角的终边上一点的坐标为sin，cos，则角的最小正值为（）

33

5π2π

A．B．

63

5π11π

C．D．

66

34

【变式1-2】已知角以坐标系中Ox为始边，终边与单位圆交于点,，则下列各式正确的有（）

55

71

A．sincosB．sincos

55

129

C．sincosD．sintan

2520

511

【变式1-3】已知角的终边与一次函数yx(x≤0)的函数图象重合，则cosa的值为．

12tanasina

题型二根据三角函数值求参数

1

【例3】设是第二象限角，Px,1为其终边上一点，且cosx，则tan.

3

2

【例4】已知为第二象限角，点Px,5在其终边上，且cosx，则tan．

4

【变式2-1】已知角的终边经过点Ax,2，B8,y，且yx8，则sin（）

552525

A．B．C．D．

5555

【变式2-2】若300°角的终边所在直线上一点为4,a，则a的值为．

【变式2-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点A1,a，Bb,1

1

且sin，则（）

3

2

A．aB．b22

4

222

C．cosD．tan

34

题型三象限的符号问题

【例5】设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？

sin，cos，tan，tan

2

sinxcosxtanx

【例6】当x为第四象限角时，（）

sinxcosxtanx

A．1B．1C．3D．3

【变式3-1】“cos0且tan0”是“为第三象限角”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【变式3-2】已知是第二象限角，则（）

A．sin0B．cos0

22

θ

C．tan>0D．tan0

22

【变式3-3】（多选）下列函数值符号为正的是（）

A．sin155B．cos225

3π7π

C．tanD．tan

46

题型四弦切知一求二

4

【例7】若tan，0,π，则cos的值为（）

3

3344

A．B．-C．D．

5555

2

【例8】若0,π，2sincos，则tan（）

5

3431

A．-B．C．D．

5544

1

【变式4-1】已知cos，则sin的值为（）

3

226226

A．B．C．D．

3333

12

【变式4-2】（1）已知cos，且为第四象限角，求sin和tan的值；

13

π

（2）已知tan3,π，求sin,cos的值；

2

1

（3）已知sincos，若是第二象限角，求sincos的值．

5

2

【变式4-3】已知2cos3sin0,,，则cosθ的值是（）

22

1233

A．B．C．D．

2223

题型五正余弦齐次式的运算

【例9】已知sin2cos，则3sin24sincos．

1

【例10】已知tan2，则＝.

sin2sincos2cos2

【变式5-1】已知角的终边经过点P(a,3a)(a0)，

sincos

(1)求的值；

sincos

(2)若sin,cos是方程x2mxn0的两个根，求m2n的值.

4sin2cos

【变式5-2】已知1，

5sin3cos

(1)求tan的值；

(2)求2sin23cos2sincos的值．

3π110

【变式5-3】已知π，tan

4tan3

(1)求tan的值；

sincos

(2)求的值；

sincos

(3)求2sin2sincos3cos2的值．

题型六sincos与sincos关系应用

1

【例11】（多选）已知0,π，sincos，则下列结论正确的是（）

5

12π

A．sincosB．,π

252

37

C．cosD．sincos

55

10

【例12】已知sincos，则sin4cos4，若π,0，则tan.

5

2

【变式6-1】已知sinxcosx，x0,π，求sinxcosx的值．

3

1

【变式6-2】已知sin,cos是关于x的方程x2axa0的两个根aR，则tan．

tan

133

【变式6-3】已知sincos，则sincos．

4

题型七同角三角函数关系的化简求值

3π1sin1sin

【例13】若π，则的化简结果是（）

21sin1sin

2222

A．B．C．D．

tantansincos

sincos

【例14】已知sin,cos是方程2x2mx10的两根，则1.

11tan

tan

sinx1cosx

【变式7-1】已知x(0,π)，若3，则=.

1cosxsinx

【变式7-2】已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按

第一个解答计分）．

3

条件①：角的终边与单位圆的交点为Mx,；

5

3

条件②：角满足sin；

5

条件③：角满足17sin28cos21．

(1)求tan的值；

(2)求sincossin21的值．

1sin1cos

【变式7-3】化简：cossin．

1sin1cos

题型八利用诱导公式给角求值

67π

【例15】cos.

4

【例16】计算：

π2π3π4π

(1)coscoscoscos；

5555

(2)tan10tan170sin1866sin(606)．

13π17π

【变式8-1】sincos=

34

31π10π

【变式8-2】计算：sincos＝．

63

7π23π33π

【变式8-3】已知atan，bcos，csin，则a，b，c的大小关系是（）

644

A．abcB．bac

C．bcaD．cab

题型九利用诱导公式化简求值

【例17】（多选）已知角和的终边关于x轴对称，则（）

A．sinsinB．tantan

π

C．sincosD．cos(π)cos

2

2cosπ3sinπ

【例18】点P2,5在角终边上，则．

4cossin2π

【变式9-1】设fxasinπxbcosπx7，,均为实数，若f20188，则f2019的值

为．

5

【变式9-2】已知角是第三象限角，且满足sincos.

5

(1)求tan的值；

sinπtan5πcosπ

f

(2)若3π，求f的值.

tan2πcos

2

sin(3πx)cos(x)

【变式9-3】已知函数f(x)．

3cos(πx)sin(πx)

(1)若f()3，求tan的值；

31

(2)若(0,π)，且sinsinπ，求f()的值．

25

题型十利用互补互余关系求值

π511π

【例19】若为第二象限角，且cos，则cos（）

336

5522

A．B．C．D．

3333

π15π5π

【例20】若cos()，则cos()sin()（）

6363

2122122

A．0B．C．D．

333

π125π

【变式10-1】已知sinx，则cosx.

9418

2π1π3ππ

【变式10-2】已知sinx，x,，则sinx．

552210

1

【变式10-3】（1）设tan，计算sin2sincos2cos2.

2

5π2π19π

（2）已知sinxsinx，求sinx.

63166

题型十一同角三角函数关系与诱导公式的综合

1cos1cos

25

【例21】已知为第二象限角，且cosπ，则π3π的值是（）

51sin1sin

22

1