2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题15平面向量（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题15平面向量

基础知识复习

1．向量的有关概念

名称定义备注

既有大小，又有方向的量；向量的大小

向量平面向量是自由向量

叫做向量的长度(或称模)

零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0

a

单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±

|a|

平行向量

方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线

(共线向量)

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

【知识拓展】

—————→

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋

—————→—————→—————————→—————→

A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

→1→→

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2

→→→

3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

4．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，

使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

5．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

22

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1＋y1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→22

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x1＋y2－y1.

6．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

【知识拓展】

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

x1y1

2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.

x2y2

7．平面向量的数量积

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量

定义

积，记作a·b

|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

投影

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

8.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

a·b

(4)cosθ＝.

|a||b|

(5)|a·b|≤|a||b|.

9．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.

→22

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝x2－x1＋y2－y1.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

a·bx1x2＋y1y2

(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.

2222

|a||b|x1＋y1x2＋y2

【知识拓展】

1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

2．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

典型习题强化

1．已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（）

∘

A．12∠�B．=1640C．1�6�=2��𝐴=D�．�18��⋅��=

2．已知向量，，若，则（）

A．�=1,2B�．=�,−1�∥�C．�⋅�=D．

3355

2222

3．艺−术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我−国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角

星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是

这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（）

A．B．

C．��+��=��−��D．��⋅��=0

4．已��知+不�共�线=的3�平�面向量两两所成的角相等�，�且⋅��=��⋅��，则（）

A．B．�2,�,�C．3�=1,�=4,D�．+2�或+3�=7�=

5．已2知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（）

A．��1�=−2��2�11B,2．�22,−或1��

C．3,−4或D．3,−4−3,4

343434

555555

6．已知,−中−，,，，点,−D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点

�

F，使得△𝑀�，𝑀则=��=的1值∠为�（��=1）20

A．��=2��B�．�⋅��C．D．

1313

2828

7．如图在中，，为中点，−，，−，则（）

△𝑀�∠𝑀�=90°�𝑀𝐵=3𝑀=8𝑀=12��⋅��=

A．B．C．D．

8．如−1图5，在中，M，−N13分别是线段，1上3的点，且，15，D，E是线段上的

21

△𝑀�𝑀��𝐶=3𝑀𝐴=3����

两个动点，且，则的的最小值是（）

12

��+��=���+���(�,�∈R)�+�

A．4B．C．D．2

49

34

9．､､是等腰直角三角形（）内的点，且满足，，

�

���𝑀�，∠则�下=列2说法正确的是（∠��）�=∠���=∠���∠���=∠𝑀�=∠���

Asin．���+sin���+sin���=0

B．��⋅��>��⋅��>��⋅��

C．��⋅��>��⋅��>��⋅��

D．��⋅��>��⋅��>��⋅��

10．��⋅𝑀中>，��⋅𝑀>，��⋅𝑀，O是外接圆圆心，是的最大值为（）

�

𝑀=2∠�𝑀=4

A．0△𝑀�B．1△C�．��3��D．⋅�5�+��⋅𝑀

11．已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（）

A．若角△𝑀，�则

π

�=3

B．若𝑀⋅��，=则12

C．若2��+𝑀+��=0，则|��|，=4的夹角为

π

3

D．若|��−𝑀|=��⋅𝑀，�则��为�圆O的一条直径

2

12．已(知��点+�在�)⋅��=所|在��的|平面内𝑀，则下列命题正确的是（）

A．若为�△的�垂��心，，则

B．若�△�为�边�长为2的�正�三⋅�角�形=，2则��⋅��=2的最小值为-1

C．若△𝑀�为锐角三角形且外心为，��⋅��+��且，则

D．若△𝑀����=�，𝑀则+动�点��的�轨+迹2经�过=1�的�外=心��

1111

��cos�2��cos�2

13．定�义�平=面向量的+一种�运�算+“”如下：+对任��意的两个向�量△，𝑀�，令

，下面说法一Θ定正确的是（）�=�1,�1�=�2,�2�Θ�=�1�2−

A�2．�1对,�任1�意2+的�1�2，有

B．存在唯一确�∈定R的向量��使Θ得�对=于�任�Θ意�向量，都有成立

����=��=�

C．若与垂直，则与共线

D．若�与�共线，则�Θ�Θ�与�Θ�Θ�的模相等

14．已�知向�量，的夹�Θ角�为Θ�45°�，Θ�Θ�，且，若，则______．

15．已知，�是平�面内两个相互垂�直=的单2位向�量⋅，�若=向2量满��足+�⊥��=，则的最大值为_

________�_．���−��−2�=0�

16．已知平面向量，，，，则的取值范围是__________．

111

222

17．平面内给定两个�向�量�|�|=，|�|=|�|=�.⋅�=1�+�+�−�

(1)求；�=3,1�=−1,2

(2)若3�+2�，求实数的值.

18．如�图+，��在/