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用初等变换求解线性方程组

一、案例[产品数量]

一工厂有1000h用于生产、维修和检验．各工序的工作时间分别为P，M，I，且满足：P+M+I=1000,P=I-100,P+I=M+100，求各工序所用时间分别为多少？该方程组的增广矩阵为解由题意得下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简它的任一行的第一个非零元素所在的列中，这个非零元素下方的元素全为零，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．上式最后一个矩阵的特点是：下面用初等行变换继续化简矩阵.最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为1，它所在列的其它元素全为0，这样的矩阵称为行简化矩阵.写出它所对应的方程组的解为对给定的m×n矩阵，在矩阵经过初等变换得到的阶梯矩阵中，非零元素的行数r

，称为

二、概念和公式的引出矩阵的秩矩阵的秩．记作R（A）=r

．线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的充分必要条件是(1)当时，方程组有唯一解；(2)当时，方程组有无穷多组解．(3)当时，线性方程组无解．称为线性方程组(6.2.1)的增广矩阵，即其中特别地，对于齐次线性方程组显然：，总有解（至少有零解）．齐次线性方程组（6.3.2）总有解，齐次线性方程组有解的判定定理(1)当时，方程组有零解；(2)当时，则方程组有无穷多组非零解．（有n-r个自由变量）．综上所述，线性方程组解的情况用可用下表表示．一般地，求解线性方程组可以按以下步骤进行：(1)施行初等行变换将化成阶梯形矩阵，根据是否相等，判断出方程组是否有解；(2)如果有解，用初等行变换将阶梯形矩阵进一步简化为行简化矩阵，写出方程组的解．

方程组秩的关系非齐次线性方程组齐次线性方程组有无穷多组解有无穷多组非零解只有唯一组解只有零解无解////

三、进一步的练习练习1[打印行数]有三台打印机同时工作，一分钟共打印1580行字，如果第一台打印机工作2分钟，第二台打印机工作3分钟，共打印2740行字，如果第一台打印机工作1分钟，第二台打印机工作2分钟，第三台打印机工作3分钟，共可打印3280行字．问：每台打印机每分钟可打印多少行字？解设第i台打印机一分钟打印xi行字（i=1,2,3），由题意得该方程组的增广矩阵为将该方程组的求解转化为对增广矩阵化简因此，三台打印机每分钟可打印的行数分别为540行，380行，660行．练习2[T衫销售量]一百货商店出售四种型号的T衫：小号、中号、大号和加大号．四种型号的T衫的售价分别为：22(元)、24(元)、26(元)、30(元)．若商店某周共售出了13件T衫，毛收入为320元．并已知的销售收入(毛收入)也为小号和加大号销售收入(毛收入)的总和．问各种型号的T衫各售出多少件？大号的销售量为小号和加大号销售量的总和，大号解：设该T衫小号、中号、大号和加大号的销售量分别为xi(i=1,2,3,4),由题意得因此小号、中号、大号和加大号T衫的销售量分别为1件，9件，2件和1件．练习3[电路分析]求各个部分的电流强度(单位：A)．在如下图所示的电路中应用基尔霍夫(kerchhof

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