2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第四章　数列求和(习题课)

第二课时数列求和(习题课)[目标导航]课标要求1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法2.通过具体实例,理解并掌握数列求和的裂项相消法3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法新知导学·素养启迪新知梳理1.公式法求和2.分组转化法求和有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.3.裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.4.错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.5.倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两项“等距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.6.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5

050.小试身手1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6=

.

1473.若Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n-1·n,则S50=

.

-25解析:S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25.4.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

.

课堂探究·素养培育(1)求数列{an}的通项公式;分组转化法求和即时训练1-1:已知等差数列{an}满足a3+a5=20,a6=4a2.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{bn}是各项均为正数的等比数列,cn=an+bn,再从以下条件中选择两个作为一组已知条件,求数列{cn}的前n项和Sn.条件①:b1=1.条件②:b5=8b2.条件③:b2+b3=6.分组转化法求和的常见类型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.(3)例1中分组求和时同时也用到了并项求和.裂项相消法求和[例2]

已知公差d不为零的等差数列{an}中,a5+a7=22,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;裂项求和的几种常见类型:错位相减法求和[例3]

已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n.(1)求这个数列的通项公式an;解:(1)数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n,①当n=1时,解得a1=3.当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+2(n-1),②①-②得an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.由于n=1也适合上式,故an=2n+1.(2)若bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(2)由(1)得bn=2nan=(2n+1)·2n,所以Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)·2n,①2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,②①-②得-Tn=3×21+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1,整理得(1)设bn=an-n,求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{(2n-1)·bn}的前n项和Tn.(2)解:由(1)可知bn=2n,(2n-1)bn=(2n-1)·2n,故Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,①2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,②①-②得,(1-2)Tn=21+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)×2n+1,所以-Tn=21+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)×2n+1=-(2n-3)×2n+1-6,故数列{(2n-1)·bn}的前n项和Tn=(2n-3)×2n+1+6.探究点三函数零点个数问题错位相减法求和时的三个注意点(1)如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式,同时应注意差式中成等比数列的项数.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.当堂即练·素养达成1.已知an=(-1)n,数列{an}的前n项和为Sn,则S9与S10的值分别是(

)A.1,1

B.-1,-1C.1,0

D.-1,0当堂即练D

解析:S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,S