2026年高三上学期数学秋季开学摸底考(上海专用)

年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已如集合A=1，22．不等式|x+1|−|x−3|≥0的解集是______3．已知点A(−2，3)，4．已知z=3+4i，若实数a，b满足z+a5．如图△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3半圆与AC、AB分別相切于点C，M交BC于点N），则图中阴影部分绕直线6．已知x>0，y>0，且2x+5y=20，则7．将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x(x−2)，则方程f(x)=lgx在平面直角坐标系xOy中，已知P(32，0)，满足PA=PB，且PA⋅PB<a11．已知等比数列an严格增，且a2+a4=90,a3=27．记bm为陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1，且各个顶点在同一球面上；则此球的半径r=．二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（

）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）14．已知函数fx=ax−2(a>0不经过（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限15．设等比数列an的前n项和为Sn，设甲：a1<aA．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知定义在R上的函数y=fx．对任意区间a , b和c∈a , b，若存在开区间I，使得c∈I∩a , b有以下两个命题：①若fx0是fx在区间a , b上的最大值，则x②若对任意a<b，b都是fx在区间a , b上的一个M点，则fA．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP=AC=2求三棱锥体积VP−ABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC18．已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0，φ<π2，（1）若cos（2）在（1）的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.19．某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设xx∈Nfx=8001+1请写出当网球中心建设xx∈N块球场时，该工程每平方米的综合费用g定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？20．已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为（1）若F为双曲线C：x2a2（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若PFPE=2（3）经过点F且斜率为kk≠0的直线l'与Γ相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA,OB分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由已知函数fx=ex求实数a,b的值；（2）若a=1,b=2，且不等式fx≥kg′e范围；（3）设b=2，试利用结论ex+e−x≥则fsinθ12026年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用）数学•全解全析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已如集合A=1，21．{1}【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合A=1B=2−kk∈A=1，2．不等式|x+1|−|x−3|≥0的解集是______2．[1，【详解】原不等式等价于|x+1|≥|x−3|，两边平方得x2+2x+1≥x2−6x+9，整理得8x≥8，解得x≥13．已知点A(−2，3)，3．35，−45AB=32+−42=5所以AB4．已知z=3+4i，若实数a，b满足z+a4．−15【详解】因为z=3+4i，所以z=3−4i，z所以3+4i+a3−4i所以3+3a+5b=04−4a=0，解得b=−65a=15．如图△ABC中，∠ACB=90°，挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分別相切于点C，M交BC于点N），则图中阴影部分绕直线5．53用圆锥的体积减去球的体积.【详解】连接OA,OM，因为半圆与AC、AB分別相切于点C,M交BC于点N，∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=3，所以∠CAO=∠BAO=30°，AC=BCOC=ACtan30°=1×3为13π⋅AC已知x>0，y>0，且2x+5y=20，则6．1【详解】因为2x+5y=20，所以20=2x+5y≥210xy,xy≤10y=2时取等号.因此lgx+lgy=将A，B，C，D，则不同的排法有________种．（用数字作答）7．96【分析】先排D、E、F，再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，根据乘法原理计算出结果．【详解】解：先排D、E、F，有P33种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有C4袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.8．1N+1【详解】依题意取了N次都没有取到黑球的概率P=12×9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x(x−2)，则方程f(x)=lgx9．10【分析】作出周期函数f(x)的图象，再作出y=|lg【详解】由f(2+x)=f(x)可知，函数周期为T=2，作出函数y=f(x)与y=|lg由图象可知，y=f(x)与y=|lgx|有10个交点，所以方程f(x)=在平面直角坐标系xOy中，已知P(32，0)，满足PA=PB，且PA⋅PB<a恒成立，则实数a10．49【分析】因为PA=PB，可知PC是AB的垂直平分线，PC=1，设CE=x，PA、PB、AB的长即可用x表示，再利用余弦定理表示cos∠APB，利用数量积的定义将PA⋅PBa>PA⋅PBmax，利用函数求出PA⋅【详解】如图圆心C0,12，PC=1所以PC是AB的垂直平分线，设PC与AB相交于点E，则点E是AB的中点，设CE=x，则AE2=36−x2，AB2=4PA⋅PB=PAPB所以PA⋅PB=因为0<x<6，所以x=6时，2x2所以a≥6，故实数a最小值是49，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.已知等比数列an严格增，且a2+a4=90,a3=27．记bm为11．11052【分析】求出数列an的通项公式，再根据已知利用观察、归纳法求出b进而求出它们的和作答.【详解】等比数列an严格增，且a2+a4=90,a3=27，显然a1>0，公比q>1，由27q（m为正整数）中的项的个数，则当m=1时，b1=0，当m=2时，b2=0，即当当m,n∈N∗,3n≤m<3n+1时，所以数列bn2×0+(=6×1+18×2+54×3+162×4+486×5+1295×6=11052.故答案为：11052.陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1，且各个顶点在同一球面上；则此球的半径r=．12.5+22求出正方体的棱长，结合其对称性确定该多面体的外接球球心，再利用球的截面性质求解作答.【详解】该多面体可以看做由一个棱长为2+1和12个如③的三棱柱构成，如图，

由对称性知，该多面体外接球球心为正方体中心O，它的一个正方形面ABCD在正方体的上底面内，如上图，多面体外接球球心O到截面ABCD的距离OO1=2+1所以多面体外接球半径r=OO1二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（

）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）13．B【分析】计算中位数可判断A，计算平均数可判断B，由古典概型的概率公式求得概率可判断C，计算方差可判断D【详解】A：甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52B：乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116≈8.51，错误；C：甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值D：乙同学周课外体育运动时长的方差约为：116+(8.1−8.51)2+(9.3−8.51)2+(9.8−8.51)14．已知函数fx=ax−2(a>0不经过（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限14．D【分析】根据指数函数图象性质可得0<a<1，再由对数函数图象性质可判断出结论.【详解】当a>1时，函数fx=a函数fx=ax为单调递增，又gx恒过点−1，0，因此函数15．设等比数列an的前n项和为Sn，设甲：a1<aA．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设a1则a2=−12，a3{Sn}16．已知定义在R上的函数y=fx．对任意区间a , b和c∈a , b，若存在开区间I，使得c∈I∩a , b有以下两个命题：①若fx0是fx在区间a , b上的最大值，则x②若对任意a<b，b都是fx在区间a , b上的一个M点，则fA．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题16．D【分析】举出反例，得到①②错误.【详解】对于①，设fx=1，满足fx0是fx在区间a , b上的最大值，但x0不是fx在区间a , b上的一个M点，①错误；对于②，设fx=但fx在R不成立时，可达到事半功倍的效果.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP=AC=2求三棱锥体积VP−ABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC17．(1)1(2)arctan3913【分析】（1）先求出三棱锥的高（2）取CO中点D，连接DM、PD，证明DM⊥平面PAC，根据直线与平面的所成角的公式计算可得.【详解】（1）因为PO⊥底面ABC，PO⊥AC，又因为O为AC边中点，AP=AC=2，所以△APC为正三角形，PO=3，………2分，又因为底面为等边△ABC∴S△ABC=34×4=3，………连接BO，因为底面为等边△ABC，所以BO⊥AC，因为PO⊥底面ABC，………2分所以PO⊥BO，PO∩AC=O，所以BO⊥平面PAC，………2分，如图，取CO中点D，连接DM、PD，则DM∥OB，所以DM⊥平面PAC，所以DM⊥PD，所以PM与面PAC所成角即为∠MPD，………2分因为BO=3，所以DM=32，直角三角形POD所以tan∠MPD=DMPD=3913，所以PM与面PAC所成角大小为18．已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0，φ<π2，（1）若cos（2）在（1）的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.18．(1)|φ|<π2;(2)【详解】（1）由cosπ4cosφ−sin3π4sinφ=0即cos(π4+φ)=0，………2分又|φ|<（2）由（1）得，f(x)=sin(ωx+π4)，依题意，T2=π3，∴f(x)=sin(3x+π4)，函数f(x)的图象向左平移m………2分g(x)是偶函数，当且仅当3m+π4=kπ+从而，最小正实数m=π12.…19．某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设xx∈Nfx=8001+1请写出当网球中心建设xx∈N块球场时，该工程每平方米的综合费用g定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？19．(1)gx=800+160lnx+【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出gx表达式即可；（2）利用导数得到gx的单调性，进而求出gx取最小值时【详解】（1）由题意可知，1≤x≤10，因为每平方米的平均环保费用为12800001000x=1280x因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式fx=8001+1所以每平方米的综合费用gx=fx+1280x（2）由（1）可知gx=800+160ln………2分，令g′x=0得，x=8，当1≤x<8时，g′x<0，g当8<x≤10时，g′x>0，g所以当x=8时，gx取得极小值即为最小值，………所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．………2分20．已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为（1）若F为双曲线C：x2a2（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若PFPE=2（3）经过点F且斜率为kk≠0的直线l'与Γ相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA,OB分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由20．(1)2，(2)x−y+1=0，(3)以线段MN为直径的圆C过定点1,0,−3,0【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的a,c，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得∠MEP=π4，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.【详解】（1）抛物线Γ:y2=4x的焦点为F双曲线C的方程为双曲线x2a2−2y2由题意可知：c=a2+12=1故双曲线C的离心率e=ca=2（2）由（1）可知：E−1,0，过点P作直线l的垂线，垂足为M，则PF∵sin∠MEP=PMPE=PFPE=2故直线EP的倾斜角α=π4，斜率k=tanα=1∴直线EP的方程为y=x+1，即x−y+1=0.………2分（3）以线段MN为直径的圆C过定点1,0,设直线l′:y=kx−1,Ax1,则可得：x1+x2=2k2+2k2∴M−1,−y1x=−k2−2kMN=k2k2+2k22−4=4k2故圆C的方程为x+12+y−令y=0，则x2+2x−3=0，解得x=1或x=−3，故以线段MN为直径的圆C过定点………2分【点睛】过定点问题的两大类型及解法：(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由