湖南省长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高二下学期4月学情检测数学试卷（含解析）

湖南长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高二下学期4月学情检测试卷高二数学试卷一、单选题1．已知集合，且，则（）A．-1 B．1 C．±1 D．22．若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．3．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（

）附：若，则，.A．130 B．228 C．260 D．15874．已知向量，若，则（

）A．2 B．-1 C．0 D．-25．儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（

）A． B． C． D．6．过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（

）A． B． C． D．二、多选题9．市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（

）A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强C．相应于点的残差约为 D．当时，y的估计值为14.410．双曲线的焦点分别是，，下列命题正确的有（

）A．双曲线C上一点M满足，，则的值为1或9B．以，为直径的圆与双曲线C相交于点P，则的面积为12C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为D．若直线与双曲线C交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线C的离心率为11．在棱长为2的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（

）A．存在点F使得平面B．三棱锥的外接球表面积为C．直线上的一点到直线的最短距离为D．异面直线与所成角的取值范围为三、填空题12．已知等比数列的前n项和为，若，则____________.13．若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________14．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.四、解答题15．已知数列中，，．(1)令，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．16．国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：体质情况组别合格良好及以上合计爱好运动不爱好运动合计(1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；(2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．17．某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为．(1)求的分布列；(2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求；(3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和．18．设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)若在定义域内恰有2个零点，求的取值范围；(3)记点，当时，曲线在点处的切线与轴交于点，求三角形面积的最大值.19．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，与双曲线的右支分别交于两点和两点.（i）求四边形面积的最小值；（ii）是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B解析：因为，所以，即中的所有元素都必须属于，又因为，，，所以，即，得出或，当时，，则，，满足，当时，，则，，不满足集合元素的互异性，综上所述，.故选：B.2．D解析：由题意，角的终边经过点，所以.3．B解析：由可知，，故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为.故选：B.4．D解析：由题意得，解得．5．A解析：不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占.记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B，则，所以.故选；A.6．B解析：连接，则，如下图所示：圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即的最小值为，所以.故选：B.7．C解析：显然该函数的定义域为全体正实数，由，设，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，则有，问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示：由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点，即函数有两个零点，所以实数a的取值范围为.8．B解析：由椭圆，则，设，与圆分别切于点，所以，因为，又因为，所以，所以，由切线性质可知，所以，所以，又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为.故选：B

9．BD解析：A选项，，，将代入回归直线方程得，，解得，A错误；B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1，所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；C选项，回归直线方程为，当时，，，故相应于点的残差约为0.4，C错误；D选项，当时，y的估计值为，D正确.故选：BD10．BCD解析：选项A：由，得，又，所以，解得，由双曲线定义得，则，解得或9，由，得，即，所以，故A错误；选项B：因为以，为直径的圆与双曲线C相交于点P，所以，则，不妨令P为第一象限的交点，则，所以，则，解得，所以的面积，故B正确；选项C：设双曲线渐近线方程为，即，焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确；选项D：联立，得，设，则，解得，所以离心率，故D正确.故选：BCD11．AB解析：选项A，在正方形内移动（包括边界），满足，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点，当移动到点时，，平面，平面，平面，存在点F使得平面，故选项A正确；选项B，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点，设中点为，中点为，为直角三角形，由题意可知，，为直角三角形，可得由题意可知，所以为三棱锥外接球球心，外接球半径，外接球表面积为，故选项B正确；选项C，连接，取中点，连接，，过作交于，是的中点，是中点，，，，平面，平面，，，是直线和直线的公垂线段，是直线上的一点到直线的最短距离，正方体的棱长为，，，，，又∽，则有，，，，故选项C不正确；选项D，，异面直线与所成角为，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点，当移动到平面中心时，由题意可得，，，则有，所以是直角三角形，则，此时异面直线与所成角不在内.故选项D错误.故选：AB.12．解析：设公比为q，由，所以，可得，同理.故答案为：.13．解析：依题意知，因为函数在单调递增，所以，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，又因为（当且仅当时取“”），所以.故答案为：14．535解析：四个盒子放球的个数如下1号盒子：{0，1}2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3}4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法5=1+4：种5=2+3：种5=1+1+3：种5=1+2+2：种5=1+1+1+2：种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种故答案为：53515．(1)证明见解析(2)解析：（1）因为，，所以，再由，因为，所以，代入上式得：，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可得：，则16．(1)，体质情况与爱好运动有关.(2)的分布列为：012.解析：（1）由表中数据可得，表格完善如下：体质情况组别合格良好及以上合计爱好运动不爱好运动合计设：体质情况与爱好运动无关，则，根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，故的所有可能取值为0，1，2，，，，即所求分布列为012所以的期望.17．(1)分布列为：012(2)(3)，解析：（1）的可能取值为，，，，所以分布列为：012（2）由（1），，,所以.（3）由题意，，所以，所以，,18．(1)(2)(3)解析：（1）因为，所以，

因为在处的切线方程为，所以，

则，解得，所以；（2）在定义域内恰有2个零点等价于与有2个交点由（1）可得，故，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；又因为，所以当时，；当时，有最大值；

当时，所以的取值范围为.（3）当时，因为在点处的切线方程为：，令，得，所以，

所以

由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以时，取得极大值，也是最大值为.

即三