2025-2026学年陕西省宝鸡市陈仓区天王高级中学等校高一下册期中质量检测数学试卷（含解析）

/数学满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.下列说法正确的是（）A.若，则 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是长度相等的向量2.如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（）A.3 B. C.6 D.43.是虚数单位，，则是为实数的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既非充分也非必要4.已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（）A. B. C. D.5.在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（）A.30° B.60°C.30°或60° D.60°或120°6.在中，，若，则（）A. B. C.1 D.7.的三内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.已知为虚数单位，复数，，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.的虚部为-510.下列命题中不正确的是（）A.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥B.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱11.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则在上的投影向量为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________13.已知复数满足，则___________14.如图所示，已知，，，，用与表示，则___________四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知，且与夹角为，求：（1）求；（2）与的夹角的余弦值．16.已知复数，其中i为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求的值；（2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．17.在锐角中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求.18.已知在中，为中点，，，．（1）用和表示；（2）若，求；（3）设和的夹角为，若，求证：．19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）证明：.（2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a.

数学满分：150分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.下列说法正确的是（）A.若，则 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是长度相等的向量答案：B解析：解答过程：对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误；对于B，零向量的长度是0，故B正确；对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误；对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误.2.如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（）A.3 B. C.6 D.4答案：A解析：思路：根据斜二测画法将直观图还原，即可求解.解答过程：根据斜二测画法得出，，，将直观图还原，如下图.四边形是直角梯形，上、下底分别为，，高，所以四边形的面积.故选：A.3.是虚数单位，，则是为实数的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既非充分也非必要答案：C解析：解答过程：由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件.4.已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以三点共线；由，所以与不平行，所以三点不共线；因为，所以与不平行，所以三点不共线；，因，所以与不平行，所以三点不共线.5.在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（）A.30° B.60°C.30°或60° D.60°或120°答案：A解析：解答过程：由正弦定理，代入已知条件

，，，可得，由三角形"大边对大角"的性质，

，因此

.6.在中，，若，则（）A. B. C.1 D.答案：A解析：解答过程：由，得，整理为，即，，即.7.的三内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案：D解析：解答过程：由正弦定理得，中

，（为外接圆半径），代入已知等式

​，约去得：

交叉整理得：，即

所以或，时，，此时为等腰三角形；时，​，此时​，为直角三角形.因此的形状为等腰三角形或直角三角形.8.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.解答过程：正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，因此，该正八面体的总曲率为.故选：B.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.已知为虚数单位，复数，，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.的虚部为-5答案：BD解析：思路：求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D.解答过程：因为的共轭复数为，所以A错误；因为，，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以虚部为，所以D正确.10.下列命题中不正确的是（）A.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥B.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱答案：ABD解析：解答过程：只有以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体才叫圆锥，故A错误；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故B错误；四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确；如下几何体不是棱柱，故D错误.11.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则在上的投影向量为答案：BCD解析：思路：根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误.解答过程：选项A：若，则，即，故A错误；选项B：若，则，解得，故B正确；选项C：若，则，解得，即，故C正确；选项D：若，则，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________答案：2解析：思路：根据向量数量积的坐标表示求解即可.解答过程：由题意知，，所以.13.已知复数满足，则___________答案：解析：思路：根据复数的除法求出，结合复数的几何意义求解即可.解答过程：由，得，所以.14.如图所示，已知，，，，用与表示，则___________答案：解析：解答过程：由题意得，，设，则，即，解得所以四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知，且与夹角为，求：（1）求；（2）与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：（1）（2）设与的夹角为16.已知复数，其中i为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求的值；（2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得；（2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得.（1）由是纯虚数，可得，由①解得或，因时，，不合题意，故的值为；（2）由在复平面内对应的点在第二象限，可得，由③解得；由④解得或，故得，即的取值范围为.17.在锐角中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.（1）由正弦定理可知：,又因为，所以在锐角中，因为，所以.（2）因为的面积为，所以，由余弦定理，得，因为，且，所以是锐角三角形，所以符合题意.18.已知在中，为中点，，，．（1）用和表示；（2）若，求；（3）设和的夹角为，若，求证：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）结合点的分点比例，利用向量线性运算法则将转化为与的线性组合.（2）利用向量模长与数量积的关系，结合已知夹角及模长条件计算.（3）将用、表示，通过证明推导垂直关系.（1）∵，∴，整理得，∴.（2）∵，，，∴.∵，代入数值计算得：，∴.（3）∵为中点，∴，∴.∵与的夹角为，，∴.计算得：，∴，即.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）证明：.（2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a.答案：（1）证明见