2025-2026学年陕西省西安市高新第一中学高二下册期末考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，且,则（）A. B.4 C. D.93.设随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.94.已知等差数列的前项和为，，则（）A.10 B.15 C.20 D.255.已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为，且与关于直线对称，则（）A. B. C. D.6.若，，则（）A. B. C. D.27.设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（）A.2 B.3 C.4 D.58.在平行四边形中，，，现沿将平行四边形折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）A.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份B.这10个月营业额的极差为37万元C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D.这10个月营业额数据的下四分位数为2310.设函数，则（）A.是偶函数 B.C.在区间上单调递增 D.为的极小值点11.已知点均在抛物线上，是的焦点，则（）A.B.直线轴C.若，则D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.等比数列中，，则的前4项和等于______．13.已知，为锐角，若，，则______；14.某同学在课下进行一场纸牌游戏，其规则如下：现有标注数字1—5和7的六张纸牌，随机发给三位同学，每位同学分到2张牌，则第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和的概率是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角三个内角，，的对边分别是，，，若．（1）求的大小；（2）求的取值范围．16.某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试成绩全部介于30分到80分之间，公司将所有成绩分成5组：，，…，，整理得到如下的频率分布直方图（假设数据在组内均匀分布）：（1）估计本次测试中成绩处于前的应聘者，其测试成绩不低于多少分？（结果保留整数）（2）从成绩在与范围内的两组中，按分层抽样随机选出7人．现从这7人中随机选出两人，已知选取的两人中至少有1人成绩在内，求这两人的成绩都在内的概率．17.已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面．（1）求证：平面；（2）若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知定点和，动点满足直线与的斜率之积为定值．（1）求动点的轨迹方程，并指出随变化时方程所表示的曲线的形状；（2）若，设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为、（其中），的面积为，若依次成等比数列，（ⅰ）求证为定值；（ⅱ）求的取值范围．19.已知函数在点处的切线为．（1）若时，与x轴平行，求a的值；（2）若在处取得极大值，求a的取值范围；（3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出集合，再根据交集的定义求即可.解答过程：由题意得，又，所以.2.已知向量，，且,则（）A. B.4 C. D.9答案：C解析：思路：根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解.解答过程：由题意，向量，，因为，可得，解得.故选：C.方法提示：本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.3.设随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.9答案：D解析：解答过程：解：随机变量服从正态分布，，，．4.已知等差数列的前项和为，，则（）A.10 B.15 C.20 D.25答案：D解析：思路：根据等差数列的性质：若且，则，等差数列前项和公式，即可求解.解答过程：由等差数列的性质可得，代入已知等式，可得：

，再由等差数列的求和公式可得：

.5.已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为，且与关于直线对称，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用复数在复平面对应点坐标为，两点关于直线对称时，横纵坐标互换，即可求解复数的模.解答过程：由在复平面内对应点，因为与关于直线对称，所以，则，即.6.若，，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：解答过程：，，，，，，，，或，，，，故选项B正确.7.设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：思路：，结合条件，利用双曲线的定义可得，，由构成三角形的条件可得，即可求解.解答过程：如图，设，由双曲线的定义知，所以，又，所以又，，则，在中，，由，得到，又，所以，结合各个选项，A正确，B、C、D错误，故选：A.8.在平行四边形中，，，现沿将平行四边形折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由可得，结合直二面角可得平面，进而可得，因此为三棱锥的外接球的直径，由此可求得表面积．解答过程：在平行四边形中，，所以，沿将平行四边形折成直二面角，则平面平面，所以平面，因为平面，所以，同理，取的中点为，则到四个顶点距离相等，所以三棱锥的外接球的直径为，且，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）A.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份B.这10个月营业额的极差为37万元C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D.这10个月营业额数据的下四分位数为23答案：AC解析：思路：对A，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对B，最大数据减去最小数据，即可判断；对C，分别计算前5个月和后5个月营业额的方差，比较两者大小；对D，将数据排序后，根据百分位数公式计算即可判断.解答过程：对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；对于B，极差为，B错误；对于C：前5个月的平均数，方差；后5个月的平均数，方差因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；对于D：将10个数据从小到大排序：因为，所以下四分位数取第3项，即25，D错误.10.设函数，则（）A.是偶函数 B.C.在区间上单调递增 D.为的极小值点答案：BD解析：思路：根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D.解答过程：的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误，由于，且，故当时，，此时，当时，，此时，当时，，因此，B正确，对于C,，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误，对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确，故选：BD11.已知点均在抛物线上，是的焦点，则（）A.B.直线轴C.若，则D.若，则答案：ABD解析：思路：利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到.解答过程：因为点在抛物线上，所以，

解得，选项A正确.则抛物线的标准方程为，则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同，因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确.因为点在抛物线上，所以，则，

因为，所以，则，即，则，

因为，所以，选项C错误.因为，所以，

因为，所以，

即，解得，

因为，所以，

则，即，选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.等比数列中，，则的前4项和等于______．答案：5解析：思路：根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和.解答过程：设等比数列的公比为，由，得，解得，因此，所以的前4项和等于5.故答案为：513.已知，为锐角，若，，则______；答案：解析：解答过程：设，两边平方相加得.又因为，，所以，所以，又，为锐角，所以，所以，所以.14.某同学在课下进行一场纸牌游戏，其规则如下：现有标注数字1—5和7的六张纸牌，随机发给三位同学，每位同学分到2张牌，则第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和的概率是___________．答案：##解析：思路：设事件表示存在两位同学，他们的牌面数字之和相同且同时最小，事件表示第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和，利用条件概率公式求出，，再根据全概率公式求解.解答过程：由于六张牌的数字之和不是3的倍数，因此不可能出现三位同学牌面的数字之和都相同的情况，设事件表示存在两位同学，他们的牌面数字之和相同且同时最小，事件表示第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和，考虑三位同学的发牌顺序，则，当发生时，这两位同学的发牌组合只能是和，和，和三种可能，所以，当不发生时，表示仅有一位同学的牌面数字之和最小，由对称性可得，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角三个内角，，的对边分别是，，，若．（1）求的大小；（2）求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解.（2）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，结合，计算即可求解.（1）在锐角中，由及正弦定理，得，整理得，而，则，因此，又，则，解得，所以.（2）由正弦定理可得，即，因为，所以，则，因为为锐角三角形，所以，即，所以，，所以，即的取值范围.16.某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试成绩全部介于30分到80分之间，公司将所有成绩分成5组：，，…，，整理得到如下的频率分布直方图（假设数据在组内均匀分布）：（1）估计本次测试中成绩处于前的应聘者，其测试成绩不低于多少分？（结果保留整数）（2）从成绩在与范围内的两组中，按分层抽样随机选出7人．现从这7人中随机选出两人，已知选取的两人中至少有1人成绩在内，求这两人的成绩都在内的概率．答案：（1）（2）解析：（1）由图可知低于50分的频率为，低于60分的频率为，说明目标分数在区间内，设目标分数为，满足累积频率为，即，解得，故本次测试中成绩处于前的应聘者，其测试成绩不低于分.（2）因为是分层抽样，由图可得抽样比例是，故抽人，抽人，已知选取的两人中至少有1人成绩在内，则有种选法（总选法减去两人都在内的选法），两人的成绩都在内的选法有种，故两人的成绩都在内的概率为.17.已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面．（1）求证：平面；（2）若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明：过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为底面，底面，所以，又，所以平面.（2）解析：思路：（1）先根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值即等于两个平面法向量夹角余弦的绝对值求解即可.（1）略（2）由（1）知平面，平面，所以，又四边形为平行四边形，则，所以，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，又，则，所以，，设平面法向量为，则，所以，即，取，则，所以，因为底面，所以为平面的法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知定点和，动点满足直线与的斜率之积为定值．（1）求动点的轨迹方程，并指出随变化时方程所表示的曲线的形状；（2）若，设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为、（其中），的面积为，若依次成等比数列，（ⅰ）求证为定值；（ⅱ）求的取值范围．答案：（1）动点的轨迹方程为，当，轨迹是焦点在轴上的双曲线，且点和不在曲线上；当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上；当，轨迹是圆，且点和不在曲线上；当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上；（2）（i）定值为5；（ii）的取值范围为.解析：思路：（1）设动点,依题意有,由此能求出动点的轨迹方程,并能指出随变化时方程所表示的曲线的形状;（2）（i）设直线的方程为，由得，由此利用韦达定理和等比数列条件先求出，再结合椭圆方程消元，用韦达定理证明为定值；（ii）用弦长公式和三角形面积公式，把面积转化为关于的函数，通过换元结合判别式求面积范围.（1）设动点，依题意有，所以动点的轨迹方程为，当，轨迹是焦点在轴上的双曲线，且点和不在曲线上；当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上；当，轨迹是圆，且点和不在曲线上；当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上；（2）设直线