2025-2026学年陕西省榆林市府谷县府谷中学高一下册5月期中检测数学试卷（含解析）

/数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则的值为（）A. B. C.2 D.42.（）A.1 B. C. D.23.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面4.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A. B. C.或 D.或5.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.6.已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，，则D.若，，且，，则7.如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）A. B.C. D.8.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（），则下列说法正确的有（）A.复数z的实部为3 B.复数z的共轭复数为C. D.若z为实数，则10.已知，，为非零向量，下列说法正确的是（）A.向量在向量上的投影向量可表示为B.若，，则C.若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线D.若，则11.如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A.，E，F，B四点共面B.直线与直线为异面直线C.该正方体的外接球和内切球的表面积之比为D.三棱锥的体积是三棱锥的两倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.13.在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________.14.在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．（1）求复数z；（2）求的模．16.已知向量，，若，，与的夹角为．（1）求；（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？17.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.（1）这种“浮球”的体积是多少?（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？18.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．（1）求证：点是的中点；（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．19.在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，.（1）求的值；（2）已知，为的中点，，求的周长.

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则的值为（）A. B. C.2 D.4答案：D解析：思路：根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可.解答过程：因为，所以，则，解出.故选：D.2.（）A.1 B. C. D.2答案：A解析：思路：根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果.解答过程：由题意得故选：A．3.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面答案：A解析：思路：利用平面的基本性质求解.解答过程：解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A4.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：根据正弦定理及三角形的性质即可求解.解答过程：在中，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以.故选：A5.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.解答过程：在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，则有，所以该平面图形的高为.故选：C.6.已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，，则D.若，，且，，则答案：A解析：思路：根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可.解答过程：对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确；对于B，若则或，故B错误；对于C，若，，则或异面或相交，故C错误；对于D，若，且，则，或，故D错误，故选：A.7.如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解．解答过程：解：∵，故选D．方法提示：本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.8.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据正弦定理和三角恒等变换得到，再结合余弦定理用去表示，最后利用三角形面积公式求解最大值时的取值.解答过程：中，由正弦定理得，又代入上式得，即.又，，，，即.又，，.由余弦定理得.，，有，，.中，且，，，.因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值.，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值.故面积取最大值时，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（），则下列说法正确的有（）A.复数z的实部为3 B.复数z的共轭复数为C. D.若z为实数，则答案：ABD解析：思路：由复数的概念即可判断ABD，求复数的模即可判断C.解答过程：，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确；当z为实数时，故D正确；，故C错误.故选：ABD．10.已知，，为非零向量，下列说法正确的是（）A.向量在向量上的投影向量可表示为B.若，，则C.若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线D.若，则答案：AB解析：思路：利用投影向量的定义判断A；利用共线向量定理推理判断B；举例说明判断CD.解答过程：对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确；对于C，令，，，有，而共线，C错误；对于D，令，，，有，而，D错误.故选：AB11.如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A.，E，F，B四点共面B.直线与直线为异面直线C.该正方体的外接球和内切球的表面积之比为D.三棱锥的体积是三棱锥的两倍答案：ABD解析：思路：对于A，由可得四点共面；对于B，由异面直线的定义判断即可；对于C，根据正方体内切球与外接球的特征及体积公式可判定；对于D，由三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，可得三棱锥的体积是三棱锥的两倍.解答过程：对于A，如图所示，连接，因为，则四边形是平行四边形，所以，又E，F分别为棱，的中点，所以，则，所以，E，F，B四点共面，故A正确；对于B，如图所示，取的中点，连接，则，则四边形是平行四边形，所以，因为，所以直线与直线为异面直线，故B正确；对于C，根据正方体的特征可知其内切球直径为棱长，外接球直径为体对角线，设正方体的棱长为1，则内切球的半径为，外接球的半径为，故外接球与内切球的表面积之比为，故C错误；对于D，根据正方体的特征与已知可知，点到底面的距离是点到底面的距离2倍，即三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，由两个三棱锥的底面积相等，所以三棱锥的体积是三棱锥的体积两倍，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.答案：解析：解答过程：，所以.13.在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________.答案：解析：思路：先确定最大角和最小角，再根据余弦定理求出角B，最后求出即可.解答过程：设A为的最小角，C为的最大角，由余弦定理可得，因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.故答案为：.14.在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________.答案：3解析：思路：将向量进行转化得，从而得解.解答过程：记，又，所以，所以，解得.故答案为：3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．（1）求复数z；（2）求的模．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解；（2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数.（2）由（1）可知复数，则，所以的模为.16.已知向量，，若，，与的夹角为．（1）求；（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解；（2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可.（1），．（2）当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得．所以当时，向量与向量互相垂直.17.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.（1）这种“浮球”的体积是多少?（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？答案：（1）（2）克解析：思路：（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果；（2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量.（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，两个半球的体积之和为，又，该“浮球”的体积是.（2）上下两个半球的表面积，“浮球”的圆柱筒侧面积为，个“浮球”的表面积为，个“浮球”的表面积的和为，每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.18.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．（1）求证：点是的中点；（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）点为棱BC的中点时，平面平面，解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论；（2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置.（1）因为平面，平面平面，又平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以点是的中点，则点是的中点；（2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下：若平面平面，由于