2025-2026学年四川省凉山州某校高二下册第一次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合要求.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.3.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.244.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.6 D.5.已知函数，则（）A. B.2 C. D.6.一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）A.48种 B.72种 C.144种 D.216种7.若，，，则（）A. B. C. D.8.设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（

）A.8 B.9 C.10 D.11二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.，则C. D.10.下列结论正确的是（）A.为正整数且B.满足方程的值可能为或C.甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法D.把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线，若，则a的值为________．13.如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有__________种不同的着色方法.14.若不等式恒成立，则的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值．16.已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．17.一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；（1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；（2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；（3）从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．18.已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合要求.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：复数.因此的虚部为.2.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：根据图像可知时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减综上，只有D选项符合.3.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.24答案：A解析：思路：利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。解答过程：每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．故选：A.4.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.6 D.答案：B解析：解答过程：由导数的定义，，已知，故.5.已知函数，则（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：求导得，令即可求解.解答过程：对求导得，，令，得，解得.故选：A.6.一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）A.48种 B.72种 C.144种 D.216种答案：B解析：解答过程：三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法，若两个家庭之间有1个空位的排法有；若两个家庭之间有2个空位排法有；所以符合要求的排座方式一共有种.7.若，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断.解答过程：令，则上恒成立，可知在上单调递增，则，可得，即.故选：C.8.设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（

）A.8 B.9 C.10 D.11答案：C解析：思路：根据等差数列和等比数列的通项公式的概念，写出数列通项公式，进而写出的通项公式，根据等比数列的前项和，求出，判断不超过2025的项的个数.解答过程：已知是以2为首项，1为公差的等差数列，则，是1为首项，2为公比等比数列，则，所以，则，可知，，所以不超过2025的项有10个.故选：C.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.，则C. D.答案：BD解析：思路：利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导.解答过程：对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.为正整数且B.满足方程的值可能为或C.甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法D.把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种答案：ABD解析：思路：利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D.解答过程：对于A，，A正确；对于B，由，得或，解得或，B正确；对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误；对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确.故选：ABD11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.点到平面的距离为答案：ABD解析：思路：根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可.解答过程：对于A，，A正确；对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为，B正确；对于C，由B知：，，即，C错误；对于D，由B知：，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，设点到平面的距离为，则，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线，若，则a的值为________．答案：3解析：思路：根据两直线平行的条件列式求解，即可得答案.解答过程：由题意直线，，，得且，即且解得.13.如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有__________种不同的着色方法.答案：解析：思路：根据分步乘法计数原理求解即可.解答过程：先给I地区涂色有6种，再给Ⅱ地区涂色有5种，给Ⅲ地区涂色有4种，给Ⅳ地区涂色有4种，所以由分步乘法计数原理得：种.故答案为：.14.若不等式恒成立，则的取值范围为________．答案：解析：思路：将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解．解答过程：因为，所以，则．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，即，从而，当且仅当时，等号成立．又，所以，则，所以．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，且当时，．故答案为：．方法提示：方法点睛：利用导数解决不等式常用思路(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，求解不等式．四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值．答案：（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间．（2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可．（1）因为．令，得或，当变化时，的变化情况如表所示．200单调递增28单调递减单调递增所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（1）知当时，取得极小值．因为.所以．16.已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式；（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.（1）由，当时，，则，即，所以，即，由数列为正项数列，所以，从而有，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，．（2）由（1）知，所以，，则，从而，即，所以.17.一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；（1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；（2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；（3）从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）分为一个红球和两个红球，由组合数的计算古典概率即可；（2）分为零个白球，一个白球，两个白球，由组合数的计算古典概率即可；（3）由已知列不等式组可得，再分红球个数为2,3,4由组合数计算古典概率即可；（1）从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为.（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为，（3）由题意可得，解得，可能情况为：红球2个，白球3个，此时概率为，红球3个，白球2个，此时概率为，红球4个，白球1个，此时概率为，所以总分不少于7分的概率为.18.已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．答案：（1）（2）4，解析：思路：（1）根据离心率得到的关系,再将已知点代入椭圆方程,联立解得,从而写出椭圆方程.（2）设出直线方程并与椭圆联立,利用韦达定理和距离公式表示出弦长和点到直线的距离,写出三角形面积表达式,用均值不等式求出最大值及对应的直线方程.（1）由题意得，且，所以，将代入椭圆方程得，结合，得，，所以椭圆C的方程为；（2）设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，，由消去，整理得，由可得，且，，，点P到直线的距离为，，当且仅当，即时(满足)取得等号，即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．答案：（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增（2）（3）证明：因为有两个极值点，所以，有两个实数根，所以可得，设，将代入，得，所以，所以要证，只需证，即．设，则．令，则，可知在上为增函数．又，所以时，在上为增